Epigrafico (matematica)

Una funzione è convessa sse la regione sopra al suo grafico (in verde) è un insieme convesso. Questa regione è l'epigrafico della funzione.

In analisi matematica, l'epigrafico di una funzione

$f:A\to \mathbb {R}$

definita su un insieme $A$ è l'insieme di punti che stanno al di sopra o sul grafico della funzione:

${\mbox{epi}}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in A,\,\mu \in \mathbb {R} ,\mu \geq \ f(x)\}\subseteq A\times \mathbb {R}$

Se $A$ è un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{n}$, l'epigrafico è un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Proprietà

Convessità

Nell'ipotesi:

$A=\mathbb {R} ^{n}$

Una funzione è convessa se e solo se il suo epigrafico è un insieme convesso. Un insieme A è detto convesso se i segmenti che hanno estremi in A sono tutti suoi sottoinsiemi

Funzioni lineari

L'epigrafico di una funzione affine reale

$g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

è un semispazio di $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Semicontinuità

Una funzione è inferiormente semicontinua se e solo se il suo epigrafico è chiuso.