Dilatazione temporale gravitazionale

La dilatazione temporale gravitazionale o dilatazione gravitazionale del tempo è l'effetto del tempo che passa a differenti velocità (rates) in regioni di diverso potenziale gravitazionale; minore è il potenziale gravitazionale (più vicino al centro di un oggetto massivo), più lento vanno gli orologi (clocks). Albert Einstein originariamente ha previsto questo effetto nella sua teoria della relatività e da allora è stato confermato dalle prove della relatività generale.

Ciò è stato dimostrato osservando che gli orologi atomici a differenti altitudini (e perciò a diverso potenziale gravitazionale) mostreranno alla fine tempi differenti. Gli effetti rilevati in tali esperimenti sono estremamente piccoli, con differenze misurate in nanosecondi.

La dilatazione temporale gravitazionale venne per prima descritta da Albert Einstein nel 1907 come una conseguenza della relatività ristretta nelle strutture (frames) accelerate di riferimento. Nella relatività generale, è considerata come la differenza nel passaggio di tempo proprio a posizioni diverse come descritte da un tensore metrico di spazio-tempo. L'esistenza della dilatazione temporale gravitazionale venne per la prima volta confermata direttamente dall'esperimento di Pound-Rebka.

Definizione

Gli orologi che sono distanti da corpi massivi (o che sono a potenziali gravitazionali più elevati) vanno più veloci, mentre gli orologi vicini ai corpi massivi (o che si trovano a potenziali gravitazionali più bassi) vanno più lenti. Questo succede perché la dilatazione temporale gravitazionale si manifesta nelle strutture di riferimento accelerate o in virtù del principio di equivalenza, nel campo gravitazionale di oggetti massivi.

Si può inoltre manifestare tramite ogni altro tipo di sistema di riferimento accelerato come un dragster in accelerazione o uno space shuttle. Oggetti ruotanti come giostre e ruote panoramiche sono soggette alla dilatazione temporale gravitazionale per effetto del loro momento angolare.

Questo viene sostenuto dalla teoria generale della relatività a causa del principio di equivalenza il quale stabilisce che tutti i sistemi di riferimento accelerati sono fisicamente equivalenti a un campo gravitazionale della stessa forza. Per esempio, una persona che sta sulla superficie della terra sperimenta lo stesso identico effetto di una persona che sta in una navicella spaziale che accelera a 9,8 N/kg (la forza del campo gravitazionale terrestre). Secondo la relatività generale, la massa inerziale e la massa gravitazionale sono la stessa. Non tutti i campi gravitazionali sono "curvi" o "sferici"; alcuni sono piatti come nel caso di un dragster o di un'astronave in accelerazione. Ogni tipo di carico g contribuisce alla dilatazione temporale gravitazionale.

• In un scatola (box) accelerata, l'equazione rispetto a un osservatore di base arbitrario è $T_{d}=e^{gh/c^{2}}$, dove
  • $T_{d}$ è la dilatazione temporale totale a una posizione distante,
  • $g$ è l'accelerazione del box come misurato dall'osservatore di base, e
  • $h$ è la distanza "verticale" tra gli osservatori.

Quando $gh$ è molto più piccolo di $c^{2}$, può anche essere utilizzata l'approssimazione del "campo debole" lineare $T_{d}=1+gh/c^{2}$.

• Su un disco rotante quando l'osservatore di base è situato al centro del disco e ruota insieme ad esso (rendendo la loro osservazione dello spazio-tempo non inerziale), l'equazione è $T_{d}={\sqrt {1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2}}}$, dove
  • $r$ è la distanza dal centro del disco (che è la posizione dell'osservatore di base), e
  • $\omega$ è la velocità del momento angolare del disco.

Non è un caso che in un sistema inerziale di riferimento questo diventa la nota dilatazione temporale della velocità ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ ).

All'esterno di una sfera non rotante

Un'equazione comune utilizzata per determinare la dilatazione gravitazionale del tempo è derivata dalla metrica di Schwarzschild, la quale descrive lo spazio-tempo in prossimità di un oggetto sfericamente simmetrico massivo non rotante. L'equazione è:

$t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {r_{0}}{r}}}}$, dove

• $t_{0}$ è il tempo proprio tra gli eventi A e B rispetto a un osservatore che scandisce lento (slow-ticking) all'interno di un campo gravitazionale,
• $t_{f}$ è la coordinata tempo tra gli eventi A e B rispetto a un osservatore che scandisce veloce (fast-ticking) a una distanza arbitrariamente grande dall'oggetto massivo (questo presume che l'osservatore che scandisce veloce stia utilizzando le coordinate di Schwarzschild, un sistema di coordinate dove un orologio a distanza infinita dalla sfera massiva scandisce il tempo a un secondo per secondo della coordinata tempo, mentre gli orologi più vicini lo scandirebbero a una velocità inferiore),
• $G$ è la costante gravitazionale,
• $M$ è la massa dell'oggetto che crea il campo gravitazionale,
• $r$ è la coordinata radiale dell'osservatore (analoga alla distanza classica dal centro dell'oggetto, ma è in effetti una coordinata di Schwarzschild),
• $c$ è la velocità della luce, e
• $r_{0}=2GM/c^{2}$ è definito come raggio di Schwarzschild di M. Se una massa collassa in modo che la sua superficie si trovi a meno di questa coordinata radiale (o, in altre parole, copre un'area inferiore a $4\pi G^{2}M^{2}/c^{4}$), allora l'oggetto esiste dentro un buco nero.

Orbite circolari

Nella metrica di Schwarzschild, gli oggetti a caduta libera possono trovarsi in orbite circolari se il raggio orbitale è maggiore di ${\frac {3}{2}}\cdot r_{0}$. La formula per un orologio a riposo è data sopra; per un orologio in un'orbita circolare, la formula è invece

$t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {r_{0}}{r}}}}$

Cose importanti da sottolineare

• Secondo la relatività generale, la dilatazione gravitazionale del tempo coesiste insieme al sistema di riferimento accelerato.

• La velocità della luce in un luogo è sempre uguale a c secondo l'osservatore che vi si trova. La prospettiva dell'osservatore stazionario corrisponde al tempo proprio del luogo. Ogni regione infinitesimale dello spazio-tempo può avere il suo tempo proprio che corrisponde alla dilatazione gravitazionale del tempo, dove la radiazione elettromagnetica e la materia possono in ugual modo essere influenzate, poiché sono fatte della stessa essenza (come dimostrato in molte verifiche che coinvolgono la famosa equazione $E=mc^{2}$). Tali regioni sono significative anche se non sono occupate da un osservatore. Un ritardo di tempo è misurato per i segnali che vengono curvati in prossimità del sole, diretti verso Venere e ribalzanti verso la Terra, lungo più o meno un percorso simile. Non c'è violazione della velocità della luce in questo senso, finché un osservatore è costretto a osservare soltanto i fotoni che intercettano le facoltà di osservazione e non quelle che passano in profondità con più (o anche meno) dilatazione gravitazionale del tempo.

Conferma sperimentale

La dilatazione temporale gravitazionale è stata misurata sperimentalmente utilizzando orologi atomici posti su aerei. Gli orologi a bordo di aeroplani erano leggermente più veloci rispetto a quelli sulla terra ferma. L'effetto è abbastanza significativo tanto che i satelliti artificiali del GPS hanno bisogno di sottoporre i loro orologi a correzione.

La dilatazione gravitazionale del tempo è anche stata confermata dall'esperimento di Pound e Rebka, dalle osservazioni degli spettri della nana bianca Sirio B e dagli esperimenti con segnali di tempo spediti alla e dalla sonda marziana Viking 1.

Bibliografia

• (EN) Einstein, Albert. "Relativity : the Special and General Theory by Albert Einstein." Progetto Gutenberg. (Relativity : the Special and General Theory by Albert Einstein
• (EN) Einstein, Albert. "The effect of gravity on light" (1911), tradotto e ristampato in The Principle of Relativity (On the Influence of Gravitation on the Propagation of Light)
• (EN) Nave, C.R. "Gravity and the Photon." Hyperphysics. Black Hole. Gravity and the Photon. Escape Energy for Photon

Voci correlate

• Spostamento verso il rosso gravitazionale
• Esperimento di Hafele-Keating
• Paradosso dei gemelli