Epigrafico (matematica)

In analisi matematica, l'epigrafico di una funzione

$f:A\to \mathbb {R}$

definita su un insieme $A$ è l'insieme di punti che stanno al di sopra o sul grafico della funzione:

${\mbox{epi}}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in A,\,\mu \in \mathbb {R} ,\,f(x)\geq \mu \}\subseteq A\times \mathbb {R}$

Se $A$ è un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{n}$, l'epigrafico è un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Proprietà

Convessità

Nell'ipotesi:

$A=\mathbb {R} ^{n}$

Una funzione è convessa se e solo se il suo epigrafico è un insieme convesso.

Funzioni lineari

L'epigrafico di una funzione affine reale

$g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

è un semispazio di $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Semicontinuità

Una funzione è inferiormente semicontinua se e solo se il suo epigrafico è chiuso.