Epigrafico (matematica)

In analisi matematica, l'epigrafico di una funzione

$f:A\to \mathbb {R}$

definita su un insieme $A$ è l'insieme di punti che stanno al di sopra o sul grafico della funzione:

Errore del parser (funzione sconosciuta '\f'): {\displaystyle \mbox{epi} f = \{ (x, \mu) \, : \, x \in A,\, \mu \in \mathbb{R},\, mu\ge \f(x) \} \subseteq A\times \mathbb{R}}

Se $A$ è un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{n}$, l'epigrafico è un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Proprietà

Convessità

Nell'ipotesi:

$A=\mathbb {R} ^{n}$

Una funzione è convessa se e solo se il suo epigrafico è un insieme convesso.

Funzioni lineari

L'epigrafico di una funzione affine reale

$g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

è un semispazio di $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Semicontinuità

Una funzione è inferiormente semicontinua se e solo se il suo epigrafico è chiuso.