Criteri di divisibilità

In aritmetica, i criteri di divisibilità sono degli algoritmi che permettono di verificare la divisibilità di un numero per un fattore senza eseguire la divisione esplicita.

Consistono in una serie di operazioni sulle cifre che compongono il numero. Tali operazioni dovrebbero essere sufficientemente semplici da potersi fare a mente, o comunque essere più rapide rispetto alla divisione.

Poiché i criteri di divisibilità manipolano direttamente le cifre del numero, dipendono dalla base in cui il numero viene espresso. In pratica però si considerano solamente i criteri per i numeri in base 10. Alcuni criteri permettono anche di conoscere il resto della divisione, e quindi calcolano il modulo, altri si limitano a dare un risultato sì / no.

Inoltre, vale la regola generale per cui un numero è divisibile per X se lo è contemporaneamente per tutti i fattori di X. Così si può affermare ad esempio che un numero è divisibile per 6 se lo è sia per 2 che per 3. Nel caso il criterio parli di "ultime cifre", si intende sempre quelle più a destra.

Principali criteri di divisibilità dei numeri interi

Divisibilità per 2

Un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua ultima cifra decimale è pari, vale a dire 0, 2, 4, 6, 8.

• dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti a_i che compaiono nella somma

$N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}$

i termini a_i10ⁱ sono tutti divisibili per 2 se i>0, quindi se N è divisibile per 2 lo è anche

$N-(a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})$

cioè a₀, che quindi è 0, 2, 4, 6 o 8.

Viceversa se a₀ è 0, 2, 4, 6 o 8 una volta che lo sommiamo al numero

$(a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})$

che è anch'esso divisibile per 2 otteniamo ancora un multiplo di 2, dunque N sarà divisibile per 2.

Esempio: 26 è divisibile per 2 perché finisce con 6.

Divisibilità per una potenza di 2

Più in generale, un numero è divisibile per $2^{k}$ se lo è il numero composto dalle k cifre più a destra del numero.

Divisibilità per 3

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un suo multiplo. Nel caso tale somma sia un numero maggiore di 9, si può eseguire di nuovo l'operazione. Quindi ad esempio da 493827 si ottiene 33 e da qui 6. Il risultato è pari al resto modulo 9, e se lo si divide per 3 si può anche ottenere il resto modulo 3; inoltre non è necessario sommare eventuali cifre 9 presenti nel numero.

• dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti a_i che compaiono nella somma

$N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}$

supponiamo che la somma

$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}$

sia divisibile per 3, questo si può tradurre in aritmetica modulare dicendo che

$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}\equiv 0{\pmod {3}}$

ovvero

$a_{0}\equiv -(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}){\pmod {3}}$

sostituendo in N si ha

$N\equiv -(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k})+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\equiv 9a_{1}+99a_{2}+\cdots +(10^{k}-1)a_{k}$

che risulta evidentemente essere un multiplo di 3.

Divisibilità per 4

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4, o equivalentemente le ultime due cifre sono tali che la sua penultima è dispari e l'ultima è 2 oppure 6, oppure la sua penultima cifra è pari e l'ultima è 0, 4, 8.

• dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti a_i che compaiono nella somma

$N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}$

Se il numero finisce per 00 è divisibile per 100 che a sua volta è divisibile per 4.

Supponiamo che le ultime due cifre

$a_{0}+a_{1}10$

formino un multiplo di 4; in ogni caso anche le cifre rimanenti

$a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}$

formeranno un multiplo di 4 (in quanto formano un multiplo di 100), quindi anche la loro somma, cioè N, è multiplo di 4.

Esempio: 424 è divisibile per 4 perché le ultime 2 cifre sono 2 e 4, che formano 24, che è multiplo di 4

Divisibilità per 5

Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5.

• dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti a_i che compaiono nella somma

$N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}$

i termini a_i10ⁱ sono tutti divisibili per 5 se i>0, quindi se N è divisibile per 5 lo è anche

$N-(a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})$

cioè a₀, che quindi è 0 o 5.

Viceversa se a₀ è 0 o 5 una volta che lo sommiamo al numero

$(a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})$

che è anc'esso divisibile per 5 otteniamo ancora un multiplo di 5, dunque N sarà divisibile per 5.

Esempio: 565 è divisibile per 5 perché finisce con 5

Divisibilità per una potenza di 5

Similmente al caso con le potenze di 2, un numero è divisibile per $5^{k}$ se lo sono le k cifre più a destra del numero.

Divisibilità per 6

Un numero è divisibile per 6 se è divisibile per 2 e per 3.

Divisibilità per 7

Qualsiasi numero è divisibile per 7 se la somma tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7.

Esempio: 68089; calcoliamo 6808 + 9×5 = 6853; non sapendo se 6853 sia divisibile per 7 basta ripetere la procedura. 685 + 3×5 = 700, che è evidentemente un multiplo di sette. Pertanto 68089 è multiplo di 7.

• dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti a_i che compaiono nella somma

$N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}$

che possiamo scrivere più sintenticamente

$N=a_{0}+10\times b$

nel linguaggio dell'aritmetica modulare sappiamo che che N è divisibile per 7 se e solo se

$N\equiv 0{\pmod {7}}$

ovvero

$a_{0}+10\times b\equiv 0{\pmod {7}}$

e se moltiplichiamo tutto per 5 (che è l'inverso aritmetico di 10 modulo 7) abbiamo

$5\times a_{0}+5\times 10\times b\equiv 0{\pmod {7}}$

ovvero

$5\times a_{0}+b\equiv 0{\pmod {7}}$

poiché

$50\equiv 1{\pmod {7}}.$

Va ricordato che questo criterio (al contrario dei successivi) non consente il calcolo del resto della divisione per 7, solo la verifica della divisibilità.

Un secondo criterio di divisibilità per 7, come quello per 13, sfrutta anche il fatto che 1001 è fattorizzabile come 7 × 11 × 13, e quindi si può iniziare a ridurre il numero dato a uno con al più tre cifre (vedi sotto il criterio di divisibilità per 1001). Tali cifre, prese da destra a sinistra, devono essere moltiplicate rispettivamente per 1, 3 e 2 (mnemonicamente si può vedere la cosa come "legge 132") e i risultati sommati tra di loro.

Un altro criterio di divisibilità per 7 consiste nel prendere la cifra più a sinistra del numero, moltiplicarla per 3 e sommarla a quella immediatamente più a destra, eliminando eventuali fattori 7 e continuando fino alla cifra più a destra. Nell'esempio del numero 493827, le operazioni da compiere sono:

• 4 × 3 + 9 = 21 $\rightarrow$ 0;
• 0 × 3 + 3 = 3;
• 3 × 3 + 8 = 17 $\rightarrow$ 3;
• 3 × 3 + 2 = 11 $\rightarrow$ 4;
• 4 × 3 + 7 = 19 $\rightarrow$ 5.

La stessa operazione si può anche fare da destra a sinistra; in questo caso il moltiplicatore è 5.

Per numeri grandi, è possibile dividerli in gruppi di tre cifre da destra a sinistra, inserendo segni alternati fra ogni gruppo: il risultato deve essere divisibile per 7.

Ad esempio "1491826": 826 - 491 + 1 = 336 e, utilizzando uno dei criteri precedenti, 33 + (6 × 5) = 63 quindi è divisibile.

Divisibilità per 8

Un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se lo è il numero formato dalle sue ultime 3 cifre. Esempio: 1128 è divisibile per 8 perché anche 128 lo è

Un'altra possibilità è data dal prendere la terzultima cifra, raddoppiarla, sommarla alla penultima, raddoppiare il risultato e sommarlo all'ultima: se il risultato finale è multiplo di 8 allora anche il numero originale lo è.

Esempio: 15736 si fa 7×2 = 14; 14+3 = 17; 17×2 = 34; 34+6 = 40. Dato che 40 è un multiplo di 8, anche 15736 lo è.

Divisibilità per 9

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per nove. Nel caso tale somma sia un numero maggiore di 9, si può reiterare l'operazione.

Quindi ad esempio da 493827 si ottiene 33 e da qui 6. Il risultato è pari al resto modulo 9, e se lo si divide per 3 si può anche ottenere il resto modulo 3; inoltre non è necessario sommare eventuali cifre 9 presenti nel numero.

Divisibilità per 10,100,1000...

Un numero è divisibile per 10,100,1000... se la sua ultima cifra è formata rispettivamente da 1,2,3... zeri. ad esempio 40 è divisibile per 10,300 lo è per 100 e 4000 lo è per 1000...

Divisibilità per 11

Un numero è divisibile per 11 se contando da destra verso sinistra la differenza (in valore assoluto) tra la somma delle sue cifre che occupano posto pari e la somma delle cifre che occupano posto dispari dà come risultato 0, 11, un multiplo di 11. Ad esempio "8.291.778" è divisibile perché: (8+7+9+8)-(7+1+2) = 32-10 = 22

ALTRO METODO

Un metodo più semplice è il seguente: se vuoi sapere se un numero come 6.210.881.011.742 è divisibile per 11, basta sommare 2 cifre alla volta da DX a SX come in questo esempio: (42+17+01+81+08+21+6) 42+17=59 59+01=60 60+81=141 141+08=149 149+21=170 170+6=176 Infine: 76+1=77 77 è un numero divisibile per 11, quindi il numero dal quale siamo partiti (6.210.881.011.742/11=564.625.546.522) è divisibile per 11. (F.B)

Divisibilità per 12

Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4.

Divisibilità per 13

Qualsiasi numero è divisibile per 13 se la somma tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il quadruplo della cifra delle unità è 0, 13 o un suo multiplo.

Esempio: 12285; calcoliamo 1228 + 5×4 = 1248; non sapendo se 1248 sia divisibile per 13 basta ripetere la procedura. 124 + 8×4 = 156. Anche qui si ripete la procedura: 15 + 6×4 = 39, cioè 13×3. Pertanto 12285 è multiplo di 13.

• dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti a_i che compaiono nella somma

$N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}$

che possiamo scrivere più sintenticamente

$N=a_{0}+10\times b$

nel linguaggio dell'aritmetica modulare sappiamo che che N è divisibile per 13 se e solo se

$N\equiv 0{\pmod {13}}$

ovvero

$a_{0}+10\times b\equiv 0{\pmod {13}}$

e se moltiplichiamo tutto per 4 (che è l'inverso aritmetico di 10 modulo 13) abbiamo

$4\times a_{0}+4\times 10\times b\equiv 0{\pmod {13}}$

ovvero

$4\times a_{0}+b\equiv 0{\pmod {13}}$

poiché

$40\equiv 1{\pmod {13}}.$

Va ricordato che questo criterio, analogamente al criterio di divisibilità per 7, non consente il calcolo del resto della divisione per 13 ma solo la verifica della divisibilità.

Divisibilità per 25

un numero naturale è divisibile per 25 se le sue ultime 2 cifre a destra sono 00, 25 ,50 ,75.

Divisibilità per 1001

Per verificare se un numero è divisibile per 1001, lo si divide in terzetti di cifre a partire da destra. Se contando da destra verso sinistra la differenza (in valore assoluto) tra la somma dei terzetti che occupano posto pari e la somma dei terzetti che occupano posto dispari dà come risultato 0, 1001, un multiplo di 1001, allora il numero di partenza è divisibile per 1001. Ad esempio "514.291.778" è divisibile perché: (778+514)-(291) = 1292-291 = 1001

Voci correlate

• Divisore