Funzione indicatrice

In matematica, nel campo della teoria degli insiemi, se $A$ è un sottoinsieme dell'insieme $X$ , la funzione indicatrice, o funzione caratteristica di $A$ è quella funzione da $X$ all'insieme $\{0,1\}$ che sull'elemento $x\in X$ vale $1$ se $x$ appartiene ad $A$ , e vale $0$ in caso contrario.

Definizione

La funzione indicatrice di un sottoinsieme $A$ di $X$ è una funzione

\mathbf {1} _{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace

definita come

\mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A\\0&{\mbox{se}}\ x\notin A\end{matrix}}\right.

La funzione indicatrice di $A$ è talvolta indicata con $\chi _{A}(x)$ oppure $I_{A}(x).$

Proprietà fondamentali

La funzione che associa un sottoinsieme $A$ di $X$ alla sua funzione indicatrice $\mathbf {1} _{A}$ è iniettiva; il suo codominio è l'insieme delle funzioni $\mathbf {f} \colon X\to \{0,1\}.$

Se $A$ e $B$ sono due sottoinsiemi di $X,$ allora

\mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}\qquad {\mbox{e}}\qquad \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}.

Più in generale, supponiamo che $A_{1},\ldots ,A_{n}$ sia una collezione di sottoinsiemi di $X.$ Per ogni $x\in X$ si ha che il prodotto

\prod _{k=1}^{n}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))

è chiaramente un prodotto di $0$ e $1.$ Questo prodotto ha il valore $1$ proprio in corrispondenza degli $x\in X$ che non appartengono a nessuno degli insiemi $A_{k}$ ed è $0$ altrove. Cioè

\prod _{k=1}^{n}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.

Sviluppando il prodotto a destra e a sinistra,

\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\varnothing \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}

Dove $|F|$ è la cardinalità di $F.$ Questa è una delle forme del principio di inclusione-esclusione.

Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella combinatoria. La notazione è usata in altri casi, ad esempio in teoria della probabilità: se $X$ è uno spazio di probabilità con misura di probabilità $P$ e $A$ è un insieme misurabile, allora $\mathbf {1} _{A}$ diventa una variabile casuale la cui media è uguale alla probabilità di $A:$

E(\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A).

Questa identità è usata in una dimostrazione semplice della disuguaglianza di Markov.

Se $A$ è l'insieme di tutti i numeri positivi di $X$ compreso lo zero se ne è incluso allora si può scrivere

\mathbf {1} _{A}(x)=\mathbf {1} _{X^{+}}(x)=\mathrm {sgn} \left(\mathrm {sgn} (x)+1\right).

Analisi convessa

In analisi convessa, una branca dell'analisi matematica che studia funzioni e insiemi convessi, spesso con applicazioni alla teoria dell'ottimizzazione, si utilizza un'altra definizione di funzione indicatrice, che si rivela più utile per gli strumenti della disciplina: una funzione indicatrice è qui rappresentata da una $\chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ tale che