Metodo degli indivisibili

In matematica il metodo degli indivisibili è un procedimento introdotto negli anni successivi al 1640 da Bonaventura Cavalieri per il calcolo di aree e volumi e che ha contribuito allo sviluppo del calcolo integrale. Esso si può far derivare dal principio di Cavalieri:

"Se due solidi hanno uguale altezza e se le sezioni tagliate da piani paralleli alle basi e ugualmente distanti da queste stanno sempre in un dato rapporto, anche i volumi dei solidi staranno in questo rapporto."

Questo enunciato, noto anche come principio di Cavalieri degli indivisibili, contiene in sé elementi base del calcolo integrale. Il termine usato da Cavalieri, indivisibile, potrebbe tradursi con l'espressione moderna di figura geometrica di spessore infinitesimo. Per cercare di giustificare questa affermazione osserviamo come egli dimostrò un teorema che, utilizzando la notazione del calcolo infinitesimale, è equivalente alla formula moderna:

\int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\frac {a^{n+1}}{n+1}}.

Vediamolo nel piano, nel caso $n=1$ : per dimostrare questa formula egli confrontava le potenze dei segmenti di un parallelogramma paralleli alle basi con le corrispondenti potenze dei segmenti dell'uno o dell'altro dei due triangoli in cui la diagonale divide il parallelogramma.

Il parallelogramma $AFDC$ viene diviso dalla diagonale $CF$ in due triangoli e si considera il segmento $HE$ chiamandolo indivisibile del triangolo $CDF$ parallelo alla base $CD$ . Prendendo $BC=FE$ e tracciando $BM$ parallelo a $CD$ si individua un indivisibile $BM$ del triangolo $ACF$ il quale è sovrapponibile a $HE$ e quindi equivalente ad esso.

È possibile accoppiare tutti gli indivisibili contenuti nel triangolo $CDF$ con i corrispondenti indivisibili uguali contenuti nel triangolo $ACF$ ; i due triangoli hanno dunque aree uguali. Poiché il parallelogramma è la somma degli indivisibili contenuti nei due triangoli, è chiaro che la somma delle prime potenze dei segmenti contenuti in uno dei due triangoli componenti è uguale alla metà della somma delle prime potenze dei segmenti contenuti nel parallelogramma: in termini moderni: : $\int _{0}^{a}x\,dx={\frac {a^{2}}{2}}$ .

Con ragionamenti simili Cavalieri dimostrò che la somma dei quadrati dei segmenti in un triangolo era 1/3 della somma dei quadrati contenuti nel parallelogramma; per i cubi mostrò che il rapporto era 1/4, fino a giungere nel 1647 all'enunciato generale per le potenze n-esime.

Questo teorema aprì la strada a numerosi procedimenti di calcolo effettivo (algoritmi) di aree e volumi, procedimenti successivamente inquadrati nel calcolo infinitesimale.

Si possono fare alcuni esempi di calcolo utilizzando il metodo degli indivisibili: si è visto come Cavalieri considerò una figura piana convessa come costituita dalle infinite corde che essa intercetta su un fascio di rette parallele e, successivamente, ciascuna di queste corde come un rettangolo avente per base la corda e un'altezza piccolissima (in linguaggio moderno ogni indivisibile è rappresentato dal prodotto $f(x)dx$ , che rappresenta l'area del rettangolo di base $f(x)$ e altezza $dx$ ). Allo stesso modo considerò un solido convesso come costituito dalle sezioni con un sistema di piani paralleli chiamando indivisibile il cilindro avente come base la sezione e altezza piccolissima.

Esempio 1: Area del triangolo

Un indivisibile è una corda parallela alla base. L'indivisibile distante $x$ dal vertice si può scrivere in funzione di $x$ (ossia è una $f(x)$ ).

Per la similitudine dei triangoli $ACB$ e $DCE$ si ha:

AB:CH=DE:CK

cioè

b:h=f(x):x

allora

f(x)={\frac {b\cdot x}{h}}.

L'area dell'indivisibile è ${\frac {b\cdot x}{h}}\,dx$ . L'area di ABC è la somma delle aree degli indivisibili così ottenuti, al variare di $x$ da $0$ a $h$ , cioè:

\int _{0}^{h}{\frac {b}{h}}\cdot x\,dx={\frac {b}{h}}\cdot \int _{0}^{h}x\,dx={\frac {b}{h}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot h^{2}={\frac {1}{2}}\cdot b\cdot h

che è la nota formula dell'area del triangolo.

Esempio 2: Volume del cono

Un indivisibile è un cerchio parallelo alla base, distante $x$ dal vertice, di raggio $R$ ( $=f(x)$ ).

Per similitudine si ha:

r:h=f(x):x

da cui si ottiene

f(x)={\frac {r}{h}}\cdot x.

Il volume di tale indivisibile è quello del cilindro di raggio di base $R$ e altezza $dx$ : Il volume del cono è dato dalla somma di tutti gli indivisibili così ottenuti, al variare di $x$ da $0$ a $h$ , cioè:

\int _{0}^{h}\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\cdot x^{2}\,dx=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}\,dx=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}{\frac {1}{3}}h^{3}={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.

Esempio 3: Volume della sfera

Un indivisibile, un cerchio parallelo al cerchio massimo, distante $x$ dalla superficie sferica, ha raggio $R$ che si può calcolare utilizzando il teorema di Pitagora:

R^{2}=r^{2}-(r-x)^{2}=2rx-x^{2}.

Il volume dell'indivisibile è quello del cilindro con lo stesso raggio di base e altezza dx:

\pi (2rx-x^{2})\,dx.

Il volume della sfera è il doppio della somma di tutti gli indivisibili così ottenuti al variare di $x$ da $0$ a $r$ , cioè:

2\int _{0}^{r}\pi (2rx-x^{2})\,dx=4\pi r\int _{0}^{r}x\,dx-2\pi \int _{0}^{r}x^{2}\,dx=4\pi r{\frac {r^{2}}{2}}-2\pi {\frac {r^{3}}{3}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

Il volume della semisfera è

{\frac {2}{3}}\pi r^{3}=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}

cioè è la differenza tra il volume di un cilindro e di un cono aventi entrambi raggio di base e altezza uguale al raggio della sfera; sezionando i tre solidi con un medesimo piano variabile, si trovano tre aree di cui quella del cilindro è la somma delle altre due.

Su questi calcoli sono fondati i calcoli del volume della sfera di Galileo e Torricelli.

Bibliografia

(LA) Bonaventura Cavalieri, Exercitationes geometricae sex, Bologna, Monti, 1647.
(EN) Enrico Giusti, Bonaventura Cavalieri and the Theory of Indivisibles, Bologna, Cremonese, 1980.
Amir Alexander, Infinitamente piccoli. La teoria matematica alla base del mondo moderno, Torino, Codice edizioni, 2015, ISBN 978-887578544-4.
Umberto Bottazzini, Infinito, Bologna, il Mulino, 2018, ISBN 978-88-15-26735-1.