Densità degli stati

In meccanica quantistica, un sistema non può assumere energie arbitrarie, ma è invece vincolato ad occupare dei livelli energetici discreti. A ciascun livello possono corrispondere uno o più stati quantistici. In questo contesto, la densità degli stati è una distribuzione usata in fisica statistica e dello stato solido per indicare quanti stati siano potenzialmente disponibili ad un dato sistema quantistico ad una data energia.

Definizione ed applicazioni

La densità degli stati $g(\epsilon )$ è definita come il numero degli stati disponibile a un sistema quantistico in un intervallo di energia di ampiezza $\delta \epsilon$ centrato in $\epsilon$ diviso per l'ampiezza stessa di tale intervallo,

$g(\epsilon )={\frac {\#stati\ in\ [\epsilon -\delta \epsilon /2,\epsilon +\delta \epsilon /2]}{\delta \epsilon }}.$

Tramite la relazione di dispersione $\epsilon ({\bf {k}})$, che lega l'energia di uno stato al suo impulso ${\bf {k}}$, si può scrivere la densità di stati come

$g(\epsilon )={\frac {g_{s}}{V}}\sum _{\bf {k}}\delta (\epsilon -\epsilon ({\bf {k}})),$

con $\delta (\epsilon )$ la distribuzione delta di Dirac, e $g_{s}$ il fattore di degenerazione legato allo spin. Per esempio, se lo spin è $1/2$, $g_{s}$ sarà $2$. In generale infatti: $g_{s}=2s+1$ dove $s$ è appunto il numero di spin.

Nel limite termodinamico in cui in un intervallo di energia di ampiezza $\delta \epsilon$ sia contenuto un numero elevato di stati, la somma nell'espressione precedente può essere estesa a un integrale dove la misura dello spazio degli impulsi è $d^{d}k/(2\pi \hbar )^{d}$, ottenendo così l'espressione

$g(\epsilon )=\int {\frac {d^{d}k\,d^{d}x}{(2\pi \hbar )^{d}}}\,\delta (\epsilon -\epsilon ({\bf {k}})).$

Le densità di stati così ottenute possono successivamente essere usate come pesi per calcolare osservabili termodinamiche in maniera agevole tramite la trasformazione

$\int {\frac {d^{d}k\,d^{d}x}{(2\pi \hbar )^{d}}}\,\to \int d\epsilon \,g(\epsilon ),$

che rimpiazza un integrale in $2d$ variabili con un integrale in una sola variabile. Questo cambio di variabili è vantaggioso qualora la funzione di distribuzione del sistema e le osservabili di interesse siano esprimibili in maniera semplice in termini dell'energia.

Esempio: gas di fermioni liberi

La relazione di dispersione del sistema è semplicemente $\epsilon ({\bf {k}})={\bf {k}}^{2}/2m$, con $m$ la massa delle particelle. Il calcolo della $g(\epsilon )$ in tre dimensioni porta a

$g(\epsilon )={\frac {{\sqrt {2}}Vm^{3/2}}{\hbar ^{3}\pi ^{2}}}\epsilon ^{1/2}.$

Ricordando che i fermioni seguono la statistica di Fermi-Dirac

$f_{FD}(\epsilon ,T)={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}},$

dove $\mu$ è il potenziale chimico, $T$ la temperatura e $k_{B}$ la costante di Boltzmann e che, a $T=0$, $f_{FD}(\epsilon )$ è una funzione gradino che vale $1$ per $\epsilon <\mu$ e $0$ altrimenti, si può calcolare, ad esempio, il numero di particelle nel sistema in funzione dell'energia di Fermi $\epsilon _{F}=\mu$ è dato da

$N=\int _{0}^{\epsilon _{F}}d\epsilon \,g(\epsilon ),$

mentre a temperatura finita diviene

$N_{T}=\int _{0}^{\infty }d\epsilon \,{g(\epsilon )}{f_{FD}(\epsilon ,T)}.$