Discussione:Principio d'induzione

Ho corretto due errori sul Principio del boe dio induzione forte:

Il primo è che non si può prescindere dallo 0. Diversamente qualsiasi insieme che non contenga lo 0 (anche l'insieme formato da un solo numero, purché diverso da 0) soddisferebbe le due proprietà senza coprire tutti i naturali: per la seconda si noti che tutte le volte che i primi m numeri appartengono all'insieme (cioè mai), anche m+1 vi appartiene (è noto dall'antichità che se la premessa è falsa, l'implicazione è sempre vera) .

Il secondo è che la formulazione dell'induzione forte richiede ipotesi (apparentemente) più stringenti sull'insieme di partenza (e non apparentemente più deboli): infatti tutti i numeri precedenti m devono appartenergli per permettere l'ingresso di m. Nell'altro caso, invece, è sufficiente verificarlo per il solo numero che precede. Tutti gli insiemi "fortemente induttivi" sono quindi "debolmente induttivi". --Filos96 00:14, 28 giu 2007 (CEST)

"d'induzione" Vs "di induzione"

Sono sicuramente corrette entrambe le diciture però è più diffusa la dicitura "di induzione" rispetto a quella apostrofata, come dimostrano queste ricerche con google: [1] [2]

Vince nettamente "Principio di induzione" con 19.400 risultati contro 630. --Pokipsy76 15:33, 5 set 2007 (CEST)

• L'italiano non è una democrazia :) --BW Insultami 17:00, 12 set 2007 (CEST)

Annullamento ultime modifiche

Le ultime modifiche avevano diversi problemi che mi hanno fatto optare per l'annullamento. Spiego di seguito i problemi:

• il quinto assioma di Peano, da quello che mi risulta è proprio il principio di induzione

Negativo. Il V assioma dice "se U contiene 0, o 1, etc etc allora contiene N". Il principio d'induzione dice che se una proprietà vale per 0 o 1, etc etc allora vale per ogni numero N. Vedi, p. es. E. Giusti, Analisi matematica, cap 1, o questa pagina, teorema 2.3.3, o en.wiki . Sono assiomi differenti, in quanto uno parla di insiemi, l'altro di proprietà dei numeri, e non è detto che coindidano sempre--BW Insultami 05:06, 8 set 2007 (CEST)

A me non risulta questa distinzione tra "principio di induzione" e "assioma di induzione": ho sempre ritenuto che le due espressioni fossero intercambiabili. I riferimenti che mi dai non supportano questa distinzione. Se vedi qui chiama "induction axiom" quello che tu chiami "principio di induzione" e qui viene chiamato "induction principle" quello che tu chiami "assioma di induzione".--Pokipsy76 09:24, 8 set 2007 (CEST)

• si può anche parlare in termini di "proprietà" anzichè di insiemi ma 1) è matematicamente meno rigoroso e 2) non è consistente con il paragrafo sottostante in cui si sfrutta la definizione che parla di insiemi.

1) non è vero che sia meno rigoroso, tanto che in logica si parla di proprietà e non di insiemi. Ad esempio, se parli di proprietà, allora valgono anche per gli "insiemi" deviati del paradosso di Russell che contengono sè stessi, che ovviamente non sono "insiemi" per la teoria degli insiemi 2) È da correggere anche il successivo, allora. --BW Insultami 05:06, 8 set 2007 (CEST)

1) Non è meno rigoroso perchè proprietà e insiemi sono in relazione biunivoca, tuttavia in matematica si parla molto più spesso di "insiemi" che non di "proprietà": uno studente tipicamente si domanda "ma che cosa si intende qui per "proprietà" per poi rendersi conto che di fatto stiamo facendo riferimento all'usuale teoria degli insiemi.

2) Non mi è chiaro perchè vada "corretto" e dove sia l'errore.--Pokipsy76 09:24, 8 set 2007 (CEST)

• Il principio di induzione forte non è più restrittivo del principio di induzione essendo equivalente; inoltre la dimostrazione proposta dell'equivalenza non dimostra l'equivalenza ma solo una delle due implicazioni (la più semplice)

Vero, è da dimostrare anche l'inverso. Comunque quello non è il principio d'induzione forte, è la versione forte del V assioma di peano. --BW Insultami 05:06, 8 set 2007 (CEST)

• le parti discorsive sono più leggibili se si usa l'espressione "per ogni" piuttosto che il simbolo $\forall$

OK --BW Insultami 05:06, 8 set 2007 (CEST)

• In numero naturale#notazioni si può leggere che nella maggiorparte della letteratura matematica e in wikipedia l'insieme dei naturali si assume contenga lo 0.

Opinabile: che la maggior parte lo consideri, non vuol dire nè tutti, nè la versione originale degli assiomi di Peano. Va comunque lasciato che alcuni iniziano da 1, altri da zero. --BW Insultami 05:06, 8 set 2007 (CEST)

La discussione sul fatto che può contenere o no lo 0 è stata fatta nella voce numero naturale che viene linkata ogni volta che si parla di numero naturali, non mi sembra ragionevole rinfrescare la faccenda in ogni pagina in cui spunta fuori lo 0!! Inoltre la mia precisazione era dovuta al fatto che nell'articolo è stato sostituito 0 con 1 sostenendo che fosse lo standard per i naturali, cosa che non è.--Pokipsy76 09:24, 8 set 2007 (CEST)

--Pokipsy76 11:11, 7 set 2007 (CEST) Detto questo, ripristino alcune parti e correggo i lcorreggibile --BW Insultami 05:06, 8 set 2007 (CEST) Negati

Dico la mia:

• Il principio di induzione è il V assioma di Peano, lo dice anche en:wiki (cercate "Peano" sulla voce inglese). Che si parli di proprietà o di numeri, è la stessa cosa: parlare di numeri qui è più rigoroso, perché esiste la voce numero naturale mentre non esiste proprietà (matematica). D'altra parte, nella pratica è più utile parlare di proprietà. Direi quindi che ci potrebbero stare entrambe le formulazioni (quelle che sono state sostituite l'una con l'altra con le ultime modifiche).
• La scrittura "Se ${\mathcal {P}}(n)\rightarrow {\mathcal {P}}(n+1)$" non è molto chiara, almeno per chi il principio di induzione non lo conosce già. Suggerisco di scrivere con parole "Se vale la proprietà P(n) allora vale la P(n+1)".
• Suggerisco di scrivere fin dall'inizio che in questa voce i naturali iniziano da 1 o 0, altrimenti non si capisce perché il punto di inizio sembra variabile. In questo contesto, forse è meglio 1.

Ciao, Ylebru dimmela 11:36, 8 set 2007 (CEST)

• L'articolo così com'era prima partiva dalla definizioen emdiante insiemi e mostrava nel paragrafo "dimostrazioni per induzione" come da qui si poteva parlare equivalentemente di "proprietà". Se iniziamo a parlare di "proprietà" bisogna riformulare anche il resto e non vedo il motivo di tutta questa modifica.
• Non capisco questa preferenza per far iniziare l'insieme dei naturali da 1 anzichè 0 in questo particolare contesto considerando che comunque nella voce si parla anche di estendere il principio di induzione a situazioni in cui si parte da qualsiasi altro numero naturale.--Pokipsy76 12:51, 8 set 2007 (CEST)

Per Entrambi: il V assioma di Peano è detto anche assioma d'induzione. Non è il principio d'induzione, che è un'altra cosa. Per l'apostrofo: in italiano è corretto con l'apostrofo, vedi Wikipedia:manuale di stile. Ora perchè il principio d'induzione è un'altra cosa? Perchè l'assioma di peano si applica ai soli insiemi, mentre il principio d'induzione no: è vero che un insieme è definito da una proprietà dei suoi elementi, ma esistono proprietà che non deteminano alcun insieme: vedi ad es. la proprietà di essere autologico del Paradosso di Russell: l'insieme non esiste, perchè contradditorio, ma la proprietà esiste eccome. E poi la proprietà che $\sum n={\frac {n(n+1)}{2}}$ che insieme avrebbe? La modifica si spiega leggendo un qualunque testo di analisi: anche su en.wiki il principio d'induzione (en:mathematical induction) parla di proprietà nella forma data nella voce, e non di contenimento di insiemi, come invece è il V assioma di Peano, che tra l'altro è equivalente al principio d'induzione: l'uno dimostra l'altro. Per la questione 0 o 1, di solito si esplicita la scelta di inzerire lo zero con le scritture $\mathbb {N} _{0}$ o simili. Tuttavia, vi sollecito a riguardare su una fonte primaria: su tutti i miei testi a riguardo si distinguono gli assiomi dal principio d'induzione, anche se sull'enciclopedia matematica Utet il V assioma di Peano viene chiamato assioma d'induzione. Se troviamo entrambe le versioni, le mettiamo entrambe.--BW Insultami 16:07, 10 set 2007 (CEST) Riferimenti: E. giusti, analisi matematica 1, cap I, oppure qui, qui (pdf) o qui.

Mi rendo conto che esistono testi che si riferiscono alle spressioni "principio di induzione " e "5° assioma di Peano" nei modi che dici tu. Il problema è che ce ne sono altri altrettanto autorevoli che usano quei vocaboli in modo intercambiabile, quindi non mi è chiaro quale sia "l'autorità" di riferimento che permetterebbe di dire che i due concetti vanno tenuti distinti. Sulla base di quello che abbiamo in letteratura la cosa più ragionevole sembra essere considerare le espressioni come intercambiabili. Tra l'altro in matematica le proprietà e gli insiemi sono la stessa cosa quindi non avrebbe proprio senso usare nomi diversi per due modi di esprimere la stessa cosa. Non è che "l'uno dimostra l'altro", luno *è* l'altro, l'eventuale "dimostrazione" dovrebbe consistere nella semplice osservazione che in matematica le proprietà sono insiemi (il che non costituirebbe neppure una dimostrazione).--Pokipsy76 10:46, 12 set 2007 (CEST)

Non sono d'accordo sull'ultima affermazione: esistono proprietà che non determinano insiemi, quale ad esempio $\sum n={\frac {n(n+1)}{2}}$, e addiritura proprietà che, pur riferendosi a teoria degli insiemi, non determinano insiemi: ad esempio la proprieta "eterologica" del paradosso di Russell. Quindi, a mio avviso, non regge tutto il discorso sull'intercambiabilità. Siccome la mia laurea in matematica è sotto-utilizzata, a mandare in giro aerei su uno schermo radar, non mi azzardo a dire che è errato considerarli equivalenti. Visto che, come autorità, posso citarti il predetto E. Giusti, ISBN 9788833956848, cap 1, e l'enciclopedia matematica UTET, Assiomi di Peano, più, se vuoi, http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/lolli/appunti/Cap8.05.pdf §12.2, e http://win.matematicamente.it/Maida/Maidaritm.htm propendo a distinguerli. Se non sei d'accordo, possiamo parlarne in conclave al baretto di matematica. --BW Insultami 17:09, 12 set 2007 (CEST)

Va bene, sentiremo l'opinione del conclave :) ... appena ho tempo pongo il questito lì.--Pokipsy76 21:53, 12 set 2007 (CEST)

La proprietà $\sum _{1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ determina l'insieme S degli n per cui tale proprietà è effettivamente vera. Mostrare questa proprietà per ogni n equivale a mostrare che l'insieme S è tutto N: questo è proprio un esempio in cui i due concetti coincidono. Scusate non rispondo al resto, vado di fretta. Ylebru dimmela 15:11, 13 set 2007 (CEST) P.S.:La tua laurea è sopra-utilizzata, visto che (a differenza mia) ti serve per ottenere risultati concreti nel mondo reale :-)

Spiegazione per chi non è esperto di matematica?

Scusate ma mi stavo domandando senza polemica se non sia il caso di inserire o una spiegazione comprensibile anche a chi non capisce il "matematichese" in modo che Wikipedia oltre ad essere doverosamente ricca di "formalismi" sia anche doverosamente "universalmente" comprensibile per il lettore medio non esperto della disciplina trattata, in questo caso la matematica ma poteva essere qualsiasi altra disciplina.

Mi rendo conto che è un grande sforzo ma se una enciclopedia non è comprensibile a tutti non è neppure utile a tutti: seppure sia disponibile per tutti, non essendo comprensibile a tutti non è davvero accessibile tutti. Mi scuso per il gioco di parole...

Questo perché l'utilità della cultura e del mezzo di diffusione è direttamente proporzionale alla sua semplicità di comprensione anche per coloro che non hanno dimestichezza diretta con la disciplina trattata.

Grazie

Cordiali saluti.

Principio di induzione e template F

cb La discussione proviene dalla pagina Discussioni progetto:Matematica.
– Il cambusiere Gce ★★★+4 17:52, 3 nov 2019 (CET)

Ho notato che Principio d'induzione ha un template {{F}}. Avrei capito un {{C}} o una serie di note {{chiarire}}, ma non riesco proprio a capire che fonti servano per definire un assioma e i suoi risultati. Qualcuno mi spiega? -- .mau. ✉ 14:03, 23 ott 2014 (CEST)

Immagino (non l'ho messo io) che la voce sul principio di induzione necessiti, come ogni altra voce di wikipedia, di fonti scritte autorevoli (ad esempio testi noti) che parlino di tale argomento, nella fattispecie il principio di induzione appunto. Per quanto sia un assioma non è tramandato per via orale, è stato descritto in articoli e spiegato e analizzato in testi didattici ecc. Vedi forse en:wiki, lì ci sono diverse fonti per il principio di induzione, magari ti fai un'idea.--Mat4free (msg) 14:16, 23 ott 2014 (CEST)

e a che serve una fonte autorevole? a renderlo più vero? a renderlo più accettabile? Paradossalmente dal mio punto di vista una voce senza fonti è Assioma della scelta, che afferma che è stato definito da Zermelo nel 1904 ma non mette una fonte al riguardo. (Adesso vado a mettercela io, non è quello il punto). Qui l'assioma è definito, le sue conseguenze sono direttamente mostrate, e basta - si fa per dire - mettercisi su per capire se funziona o no. -- .mau. ✉ 15:32, 23 ott 2014 (CEST)

Direi che questa pagina può risponderti meglio di me: https://it.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Uso_delle_fonti .--Mat4free (msg) 17:17, 23 ott 2014 (CEST)

diciamo che forse su Wikipedia e fonti qualcosa ne so. Il mio punto iniziale resta intatto, tanto che nemmeno tu sai che fonte si potrebbe mettere. -- .mau. ✉ 10:00, 24 ott 2014 (CEST)

probabilmente in bibliografia va un buon testo di matematica discreta (almeno per verificare l'enunciato dell'assioma). su "Errori e fraintendimenti" mi viene il dubbio se l'esempio dei cavalli sia attestato in letteratura, soprattutto visto che implica un utilizzo errato del principio d'induzione. dubbio molto simile per l'analogia con l'effetto domino. --valepert 10:10, 24 ott 2014 (CEST)

l'esempio dei cavalli me l'avevano fatto all'università, ma anche se non fosse attestato che cambierebbe? Quello è appunto un controesempio che mostra come se non ci sono le ipotesi di base l'assioma non si può usare. Concordo (come nel caso di Assioma della scelta che indicare quando il principio di induzione è stato usato esplicitamente per la prima volta può essere utile. Continuo ad avere forti dubbi che mettere un qualsivoglia testo di fondamenti della matematica come fonte abbia senso. Ma i controesempi te li provi da solo, non servono fonti per mostrare che sono controesempi. Se stai parlando di gruppi abeliani finiti e affermi che è possibile che due elementi non nulli se moltiplicati diano zero, e scrivi che per esempio in Z₆ 2*3 = 0, vuoi mettere una fonte? -- .mau. ✉ 10:24, 24 ott 2014 (CEST)

@ .mau. Per chiarire: la mia non è una polemica =). Infatti immagino che ne sappia più tu di me su Wikipiedia, ma proprio per questo mi stupisce la domanda e forse in realtà non riesco a coglierla del tutto. Cerco di rispondere per quel che ne ho capito io delle fonti leggendo la pagina indicata e per quel che ho capito della tua domanda. Mi scuso in anticipo se risulto offensivo e/o non esaustivo. Nella pagina sul principio di induzione non ci sono riferimenti, questo vuol dire, ad esempio, che: l'informazione non è molto verificabile, un utente interessato non saprebbe dove e come approfondire l'argomento, è meno evidente che non si tratti di plagio o ricerche originali o opinioni personali del singolo utente. Io penso che le fonti (un po' come la bibliografia in un libro) non riguardano solo la singola frase o la singola citazione (ovviamente servono anche a questo), ma tutto l'argomento nel complesso. Quindi riportare libri e/o articoli che parlano in generale del principio di induzione può essere utile alle sopracitate questioni. Ora io non so a memoria i libri che parlano di principio di induzione, ma come ho già scritto comincerei da quelli scritti in en:wiki anche se sono in inglese, è meglio che niente.--Mat4free (msg) 10:35, 24 ott 2014 (CEST)

[× Conflitto di modifiche] un testo bibliografico rimane comunque utile per permettere l'approfondimento. per quanto riguarda l'esempio dei cavalli, in un testo di Martin Davis ho trovato un esercizio simile ("incorrect proof that purports to use mathematical induction to prove that all flowers have the same color!") la cui soluzione è ovviamente lasciata come esercizio al lettore. però la sua spiegazione del principio d'induzione si limita a 3 pagine (esempi inclusi) e menzionarla nella voce sembra eccessivo anche a me. --valepert 10:40, 24 ott 2014 (CEST)

Riprovo da capo. In un teorema o una definizione matematica, per me il concetto di "fonte" è limitato a spiegare, quando è possibile, quando è entrato a far parte del corpus matematico; non serve a spiegare perché l'affermazione è "vera", perché quello è automaticamente visibile dalla voce stessa. In questo momento (a parte spostare la definizione intuitiva prima di quella formale) ho aggiunto un link alla Treccani :-) e il riferimento alle due opere in cui si è iniziato a parlare di induzione matematica, ma ribadisco che dal mio punto di vista la voce andava bene già da prima. Semplicemente, adesso ci sono più informazioni che all'atto pratico non serviranno a nessuno. Per il resto, immagino che tutte queste proposizioni sono presenti in un testo standard, chessò la Garzantina di matematica: vogliamo mettere un link alla Garzantina per ciascuna di esse? -- .mau. ✉ 12:10, 24 ott 2014 (CEST)

Personalmente quello che non capisco non è tanto il sostenere che la voce non necessita del template F, ma insistere sul fatto che non servano fonti per una pagina di un sito che senza fonti non vale nulla, perchè scritto da IP e utenti anonimi. All'atto pratico le fonti servono per sapere se quello che c'è scritto nella voce non se l'è inventato un vandalo connesso dal McDonald's.Gli unici casi in cui le linee guida vanno di 1 millimetro nella direzione di non utilizzare fonti sono relativi ad affermazioni ovvie anche ai bambini (il tipico esempio è "il cielo è azzurro"). --^musaz † 12:23, 24 ott 2014 (CEST)

(confl. da ˆmusaz, che ha scritto la stessa cosa in meno parole) @.mau.: quando ho iniziato a contribuire a WP provavo sovente un certo fastidio per richieste generiche di "fonti" laddove mi sembrava (in ambito matematico) che non ce ne fosse alcun bisogno. Poi mi sono in parte ricreduto. Continuo, in verità, a dissentire dai templates sparsi a tappeto (che lasciano il sospetto di un approccio del tutto "automatico": non sto nemmeno a leggere la voce, non vedo bibliografia né note -> ci metto un F - potrebbe farlo perfino un bot): se questo è il "lavoro sporco", mi sembra che il "lavoro pulito" sarebbe cercare di mettere una fonte, non un template. La mancanza assoluta di testi di riferimento apre la possibilità che la voce sia, in tutto o in parte (nei contenuti fondamentali come le definizioni, intendo), una ricerca originale. In quel caso non è così, ma in generale bisogna essere esperti del settore per saperlo.

Piglia una voce come questa. Come diavolo faccio a sapere se questa definizione matematica esiste davvero in letteratura, e non è un'invenzione dell'utente che ha creato la voce? (nb su Google non trovo nulla, 236 risultati praticamente tutti derivati da it:wiki. Poi magari è la traduzione italiana di un termine inglese che in letteratura si trova: ma uno lo deve scoprire su en:wiki?). Certo che questo non è il caso del principio d'induzione: ma siccome tu sollevi una questione generale, il punto è che in una fase precoce di it:wiki si sono create mote voci di matematica con quello che si trova "in tutti i libri", considerando superfluo indicarne anche solo uno. Ora bisognerebbe fare un passo avanti. Nel caso del principio di induzione, basterebbe mettere questa come fonte.

Diverso è il caso dei template NN, sparsi altrettanto a raffica: se è indicato un libro di testo come fonte, pretendere che si indichi a che pagina si trova ciascuna proposizione o formula, perfino quando della proposizione si fornisce la dimostrazione nella voce, è veramente irritante.

Però, se partiamo tutti dal principio che l'indicazione delle fonti non è necessaria perché sta scritto nelle linee guida, ma è necessaria (anche in matematica) per potersi accertare che l'estensore della voce si sia effettivamente basato sulla letteratura appropriata, allora non è difficile trovare una prospettiva condivisa. Certo che - automatismo per automatismo - anche appiccicare a posteriori una fonte qualsiasi giusto per tappare il buco, senza controllare che dica effettivamente quello che sta scritto nella voce, non è che migliori più di tanto l'attendibilità di WP, anzi potenzialmente maschera il problema laddove c'è effettivamente: la vera garanzia è che ad editare sia chi conosce davvero l'argomento (e siano più persone, soprattutto).

Tornando al personale, a me (anche) in questo aspetto Wikipedia ha dato una lezione utile (nella RL matematica). Ora, ad esempio, insisto sempre che nelle tesi di laurea non solo ci sia una buona bibliografia, ma che si indichi puntualmente - sezione per sezione - se il contenuto è originale, o da dove è stato preso (in quel caso, all'opposto di WP, si vuole evitare che venga fatto passare per opera autonoma del candidato qualcosa che è semplicemente un riassunto di libri di testo): e trovo che fra studenti e colleghi questa sensibilità all'indicazione delle fonti è quasi del tutto assente nella pratica didattica (è ovviamente presente, invece, nella ricerca). Dovremmo rifletterci. --Guido (msg) 13:02, 24 ott 2014 (CEST)

ma per le voci "di base" si può immaginare che la fonte sia sempre la stessa, no? e allora perché ripeterla in tutte le pagine? È molto più semplice avere una metafonte sul progetto. Ovvio che su voci non di base la necessità di fonti specifiche sia molto maggiore, ma non è questo il punto su cui si sta discutendo. Per dire, ho appena aggiunto un riferimento per Aritmetica di Robinson, spero apprezzerete :-) -- .mau. ✉ 16:34, 24 ott 2014 (CEST)

Sono d'accordo che ci saranno molte voci che avranno fonti comuni, ma, anche se non so bene cosa intendi con "metafonte sul progetto", io penso che debbano esserci riferimenti ad ogni voce, anche se ripetuti, perché non è detto che io utente vada a guardare il progetto o sappia necessariamente quali voci siano collegate per cercarmi dei riferimenti. Detto questo non so se ci siano già state in passato discussioni su questo argomento o proposte alternative. Concludo ribadendo che anche io sono contrario allo spam di template e penso che alcuni (come fanno in en:wiki) potrebbero essere messi nelle pagine di discussione della voce, invece che in bella mostra ad inizio voce (su {{F}} sono meno convinto di questo, ma ne sono convinto per esempio per {{S}}), ma non so se sia questo il posto per porre tale questione =).--Mat4free (msg) 18:45, 24 ott 2014 (CEST)

Su wikipedia esistono voci che trattano argomenti disparati, il problema è che si è preso a modello di voce esempi che sono troppo lontani dalle voci scientifiche. Voci su episodi storici o su cantanti pop raccontano una serie di fatti ognuno dei quali riferibile ad un singolo articolo di giornale, un annuncio ufficiale oppure anche un punto preciso di un resoconto fatto dai protagonisti. Un voce di carattere scientifico, come quella su un teorema, su una teoria, o anche su un evento storico più generale come questa, descrivono un unico concetto, il cui insieme deve essere letto per intero e confrontato con le fonti riportate in bibliografia. Qualora davvero si facesse corrispondere ad ogni frase un numero blu, cioè un preciso punto di una qualsiasi fonte, o si starebbe facendo un lavoro inutile, oppure ancora peggio si starebbe facendo un mostruoso collage senza nessuna garanzia sulla sua qualità. Ogni voce dovrebbe riportare una bibliografia, magari anche i riferimenti agli articoli originali, questo basta a garantire la verificabilità di una voce. X-Dark (msg) 10:52, 25 ott 2014 (CEST)