Insieme complemento

Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, il complemento di un insieme è l'insieme degli elementi che non appartengono a quell'insieme. Gli insiemi complemento si dividono nei complementi relativi (detti anche insieme differenza) e nei complementi assoluti.

Complemento relativo

Il complemento relativo (o la differenza) di $A$ rispetto a $B$:
$~B\setminus A=A^{c}\cap B$

Avendo due insiemi $A$ e $B$, il complemento di $A$ rispetto a $B$ o l'insieme differenza $B$ meno $A$, è formato dai soli elementi di $B$ che non appartengono ad $A$. Esso si indica solitamente come $B\setminus A$ oppure come $B-A$. Formalmente abbiamo:

$B\setminus A=B-A=\{x\in B\wedge x\notin A\}$

Si noti che l'insieme differenza $B-A$ è un sottoinsieme dell'insieme $B$.

Esempi

• $\lbrace 1,2,3,4,5\rbrace -\lbrace 3\rbrace =\lbrace 1,2,4,5\rbrace$
• $\lbrace a,b,c,d\rbrace -\lbrace c,d,e,f\rbrace =\lbrace a,b\rbrace$
• $\lbrace 1,2,3\rbrace -\lbrace 2,3,4\rbrace =\lbrace 1\rbrace$
• $\lbrace 2,3,4\rbrace -\lbrace 1,2,3\rbrace =\lbrace 4\rbrace$

Proposizioni

Se $A$, $B$ e $C$ sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:

• $C-\left(A\cap B\right)=\left(C-A\right)\cup \left(C-B\right)$
• $C-\left(A\cup B\right)=\left(C-A\right)\cap \left(C-B\right)$
• $C-(B-A)=(A\cap C)\cup (C-B)$
• $(B-A)\cap C=(B\cap C)-A=B\cap (C-A)$
• $(B-A)\cup C=(B\cup C)-(A-C)$
• $A-A=\varnothing$
• $\varnothing -A=\varnothing$
• $A-\varnothing =A$

Complemento assoluto

Il complemento assoluto $A^{c}$ (in rosso) di $A$ (in bianco):
$~A^{c}=\varnothing ^{c}\setminus A$

Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

Differenza tra un cubo e una sfera parzialmente sovrapposti

Se è definito un insieme universo $U$, si definisce complemento assoluto di $A$ come il complemento relativo di $A$ rispetto ad $U$. Formalmente abbiamo:

$A^{c}=\neg A=U-A=\{x\in U{\text{ e }}x\notin A\}$

Il complemento assoluto, indicato anche come $\sim A$, rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.

A titolo di esempio, se l'insieme universale è l'insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell'insieme dei numeri dispari è l'insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

Se $A$ e $B$ sono sottoinsiemi di un insieme universo $U$, allora valgono le seguenti identità.

Leggi di De Morgan:

• $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c};$
• $(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.$

Leggi di complementarità:

• $A\cup A^{c}=U;$
• $A\cap A^{c}=\varnothing ;$
• $\varnothing ^{c}=U;$
• $U^{c}=\varnothing ;$
• Se $A\subseteq B$, allora $B^{c}\subseteq A^{c}$ (ciò segue dall'equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale).

Involuzione o legge del doppio complemento:

• $(A^{c})^{c}=A.$

Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:

• $A-B=A\cap B^{c};$
• $(A-B)^{c}=A^{c}\cup B.$

Le prime due leggi di complementarità mostrano che se $A$ è un sottoinsieme non vuoto di $U$, allora $\{A,A^{c}\}$ è una partizione di $U$.

Bibliografia

• Seymour Lipschutz, Topologia, Sonzogno, Etas Libri, 1979.
• (EN) Paul Halmos (1960): Naive set theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.
• (FR) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann.

Voci correlate

• Unione
• Intersezione
• Differenza simmetrica
• Sottoclasse
• Teoria degli insiemi

Collegamenti esterni

• (EN) complement, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Insieme complemento / Insieme complemento (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.