カテナリー曲線

カテナリー曲線（カテナリーきょくせん、catenary）または懸垂曲線（けんすいきょくせん）または懸垂線（けんすいせん）とは、ロープや電線などの両端を持って垂らしたときにできる曲線である。カテナリーの名はホイヘンスによるもので、ラテン語でチェーンを意味する "catena" に由来する。カテナリー曲線をあらわす式を最初に得たのはヨハン・ベルヌーイ、ライプニッツらで、1691年のことである。

曲線の方程式

懸垂線の意味から、それは唯一つの頂点を持ち、頂点における法線を軸として線対称であるものと仮定することになる。そのうえで、曲線は一様の質量密度を持ち、それに伴って曲線自身の自重が各点の張力を決定するものとして、微分方程式をつくり、その解曲線としてカテナリーの数学モデルを定式化することができる。

カテナリー上で頂点からの弧長が s₀ であるような点 (x₀, y₀) において、その接線が x 軸の正の向きと成す角を θ₀ と置いたとき、この点に掛かる張力 T₀ は s₀ に比例し、T₀ の鉛直成分 T₀sin(θ₀) は重力 g（に曲線の質量密度 w を掛けたもの）と釣り合っている。水平方向の釣り合いを考えれば T₀ は 1/cos(θ₀) に比例する必要があるので、結局のところ適当な比例定数 l, k などを入れて

{\begin{cases}T_{0}=ls_{0}\\T_{0}\sin(\theta _{0})=wg\\T_{0}=k/\cos(\theta _{0})\\\tan(\theta _{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=x_{0}}\\s_{0}=\int _{0}^{x_{0}}ds&(ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}})\end{cases}}

という条件が得られる。これを解いて、カテナリーの標準的なモデルは

y=a\,\mathop {\rm {cosh}} \!\left({\frac {x}{a}}\right)=a\!\left({e^{x/a}+e^{-x/a} \over 2}\right)

という形に書くことができる。これが双曲線関数 y = cosh(x) と相似であることは直ちにわかる。またこのモデルは、y 軸を対称の軸とし、この軸と頂点 (0, a) で直交する。頂点 (0, a) の十分近くでは

y=a+{\frac {x^{2}}{2a}}

という放物線によって近似される。

実例

二つの支持物に張られた電線のたるみ（弛度）などをあらわす曲線でもある。また力学的に安定しているため、建築、橋梁においてもカテナリーアーチとして使用されている。また、カテナリーは電気車の給電線そのものを指す場合もある。

電力線などを敷設する場合、使用する電線の長さは電線は自重によるたるみを考慮し、実際の径間よりも長い電線を用意する必要がある。このとき、径間 S [m]、電線長 L [m]、たるみ D [m]、電線の水平張力を T [N]、電線 1 [m]あたりの重量を W [N/m]とするととしたとき、双曲線関数 sinh, cosh などを用いると、それぞれの関係は、

L = 2C × sinh(S / 2C)
C = T / W （C はカテナリ数と呼ばれる）
L = S + (8 × D²) / (3 × S) （近似式）

このとき、電線とたるみの長さは、支持点からの引張力や、電線の重さによっても変化する。たるみは以下のようになる。

D = C(cosh(S / 2C) - 1)
D = (W × S²) / (8 × T) [m] （近似式）

曲線の方程式

実例

関連項目