Математикалық индукция

Индукция (латынша - қоздыру, тудыру) — дербес жеке түсініктер негізінде ақиқаттығы пайымдалатын жалпылама түсінік тұжырымдау.

$~{\sqrt {-n}}={\sqrt {\left(-1\right)n}}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {n}}$

Математикалық индукция

М. и. — аксиомалар негізінде жалпы түсінік дәлелдеу әдісі.

Толымсыз индукция

Т. и. — дербес түсініктердің кейбір жайттары (толық емес) ғана ескеріліп жалпылама түсінік тұжырымдау әдісі.

Толымсыз индукция арқылы тұжырымдалатын қорытындының ақикат та, жалған да болуы мүмкін. Осы кемшілігіне қарамастан сандар қасиеттерін зерттеуде бұл әдістің маңызы ерекше. Сандардың қасиеттері көпшілік жағдайда бақылаулар нәтижесінде ашылып, соңынан дәлелденіп отырған. Математикалық индукция принципі—

натурал $~x$ параметріне тәуелді $~A(x)$ түсінігі $~A(1)$ үшін дәлелденген болса және кез келген $~n$ натурал сан үшін$~A(n)$ пікірі де тура деп кабылданатын болжамнан $~A(n+1)$ үшін де тура болатындығы дәлелденсе, онда $~A(x)$ түсінігі х-тің барлық натурал мәні үшін орындалады

Бұл әдістің мазмұны мынадай: дәлелденетін түсінік бір дербес (жеке) жағдай үшін, айталық, $~n=1$ пікір үшін тексерілген болсын. Осы пікірдің $~n=k$ болған кезде де тура болатындығынан бұл пікірдің $~n$-нің келесі мәні, яғни $~n=k+$1 үшін де тура болатындығы дәлелденген болсын. Сонда мынадай тұжырым айта аламыз: пікір $~n=1$-ге тең болған кезде тексерілді, дәлелденген жайт бойынша бұл $~n=1+1=2$ үшін де тура болады, $~n=2-$ге тең болған кезде дүрыс болуы себепті, ол $~n=2+1=3$ болған кезде де орындалады т.с.с., пікір n-нің барлық мәндерінде тура болады. Олай болса, кез келген натурал n үшін қандай да бір түсінікті дәлелдеу үшін, екі сатылы дәлелдеме қажет: бірінші сатыда пікірдің $~n=1$болған жағдайда тура болатындығы және екінші сатыда осының әрқашан тура болуы себепті оның $~n=k$ болған кезде тура болуынан бұл пікірдің $~n=k+1$ болған жағдайда да тура болатындығы тұжырымдалды. Қорыта айтқанда, бүл әдістің ең қарапайым нобайы мынадай: біз қандай да бір пікірдің $~n=1$ болған жағдайда тура болатынын дәлелдейміз (индукция базисі), сонан соң $~n=k$ үшін пікірдің тура болатындығын болжап (индукция болжамы), оның $~n=k+1$үшін де тура болатынын дәлелдейміз (индукциялық қадам).

Математикалық индукция әдісін $~n$ натурал санына тәуелді болатын пікірлер үшін ғана пайдалануға болады. Негізінен бұл әдіс мынадай мәселелерді шешу үшін қолданылады:

1. жеке (дербес) жағдайлардағы пайымдаулардан қандай да бір заңдылықты байқап, оның тура болатындығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейді;
2. кейбір формулалардың тура болатындығы математикалық индукция әдісімен дәлелденеді.

• Математикалық индукция аксиомасы

Тарихы

Математикалық индукция әдісін жеке маңызды әдіс ретінде түсіну Блез Паскаль мен Герсонидтен басталады, дегенмен қолданудың жекелеген жағдайлары ежелгі уақытта Проклус пен Эвклидте кездеседі. Әдістің қазіргі атауын де Морган 1838 жылы енгізген.