អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា

ក្រាប​នៃ​អនុគមន៍​ពហុហ្គាំម៉ា​​តាមបណ្តោយអ័ក្សពិត ពណ៌ទឹកក្រូច m = 0, ពណ៌លឿង m=1, ពណ៌បៃតង m=2, ពណ៌ក្រហម m=3 និងពណ៌ខៀវ m=4

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍​ពហុហ្គាំម៉ា​នៃលំដាប់ m គឺកំនត់ជាដេរីវេលោការីតទី (m + 1) នៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា​៖

$\psi ^{(m)}(z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi (z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z)$

ទីនេះ

$\psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}$

គឺជា​អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា និង $\ \Gamma (z)$ គឺជា​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា ។ អនុគមន៍ $\ \psi ^{(1)}(z)$ ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា​អនុគមន៍ទ្រីហ្គាំម៉ា (trigamma function) ។

លោការីតនៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា និង អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​ដំបូងមួយចំនួនក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិច

$\ \ln \Gamma (z)$	$\ \psi ^{(0)}(z)$	$\ \psi ^{(1)}(z)$	$\ \psi ^{(2)}(z)$	$\ \psi ^{(3)}(z)$	$\ \psi ^{(4)}(z)$

និយមន័យតាមអាំងតេក្រាល

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាអាចតំណាងជាអាំងតេក្រាល

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{(m+1)}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt$

ដែលមានប្រសិទ្ធភាព Re z >0 និង m > 0 ។ ចំពោះ m = 0 សូមមើលនិយមន័យនៃ​អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា ។

ទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាមានទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា

$\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}$

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

$k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

ចំពោះ $m>1$ និងចំពោះ $m=0$ រូបមន្តផលគុណនៃអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា៖

$k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

តំណាងស៊េរី

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​មានតំណាងស៊េរី

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}$

ដែលមានប្រសិទ្ធភាពចំពោះ $\ m>0$ និងចំពោះចំនួនកុំផ្លិច $\ z$ មិនមែនជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន​។ តំណាង​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេសរសេរ​បង្រួមឡើងវិញជាអនុគមន៍នៃ​អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function)

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z)$

អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function) អាចត្រូវបានគេស្គាល់ជា​អនុគមន៍ទូទៅ​នៃអនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​ចំពោះ​​លំដាប់​មិនមែនជាចំនួនគត់ $\mathbb {C} \backslash \mathbb {Z} ^{-}$

ស៊េរីតាយល័រ

ស៊េរីតាយល័រត្រង់ចំនុច z=1 គឺ

$\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\,$

ដែលទាល់ចំពោះ $\ |z|<1$ ។ ទីនេះ $\zeta (n)\,$ គឺជា​អនុគមន៍ហ្សេតារីម៉ាន (Riemann zeta function)