라빈 암호체계

라빈 암호(Rabin cryptosystem)는 미하엘 라빈이 1979년1월에 발표한, 소인수분해 기반 공개키 암호(비대칭 암호)이다.

공개키로 암호화하고, 개인키로 복호화한다.

중국인의 나머지정리(Chinese Remainder Theorem, CRT)를 활용한다.

절차

밥이 앨리스에게 암호문을 보내고, 앨리스는 이를 해독한다.

키 생성(key generation)

• 앨리스는 매우 크며 서로 다른 두 소수 p, q을 고른다. 계산 편의를 위해 $p\equiv q\equiv 3{\pmod {4}}$를 사용해도 좋다.
• n = pq을 구한 뒤 밥에게 보낸다.
• n은 공개키, p와q는 앨리스의 개인키이다.

암호화(encryption)

• 밥은 앨리스에게 보낼 평문 m을 고른다. $m\in P=\{1,2,\cdots ,n-1\}$
• 밥은 암호문 $c=m^{2}{\pmod {n}}$을 보낸다.

복호화(decryption)

• 앨리스는 암호문 c를 받고, n을 아는 상황이다.
• $m_{p}={\sqrt {c}}{\pmod {p}},m_{q}={\sqrt {c}}{\pmod {q}}$이고, $p*y_{p}+q*y_{q}=1$를 만족하는 $y_{p},y_{q}$를 찾는다.
  • m이 합성수이면, 효율적으로 찾는 방법이 발견되지 않았다.
  • m이 소수이거나, 두 소수의 곱이면 중국인의 나머지정리로 푼다.
• 중국인의 나머지정리를 이용하면, 근 네 개가 나타나며 이 가운데 하나가 mod n에 대해 m과 같다. 근은 아래와 같다.
  • $r_{1}=p*y_{p}*m_{p}+q*y_{q}*m_{q}{\pmod {n}}$
  • $-r_{1}=n-r_{1}$
  • $r_{2}=p*y_{p}*m_{p}-q*y_{q}*m_{q}{\pmod {n}}$
  • $-r_{2}=n-r_{2}$
• $r_{1},r_{2}$를 계산했다면, $\gcd(|r_{1}-r_{2}|,n)=p\ or\ q$이므로 p,q를 알 수 있다. 따라서 n을 쉽게 소인수분해 할 수 있다.
  • $p\equiv q\equiv 3{\pmod {n}}$이면, 아래 성질을 이용해 더 쉽게 풀 수 있다.
    • $m_{p}=c^{{1 \over {4}}(p+1)}{\pmod {p}},\ m_{q}=c^{{1 \over {4}}(q+1)}{\pmod {q}}$에서 c의 지수가 정수로 나온다.
    • $(m_{p})^{2}\equiv c^{{1 \over {2}}(p+1)}\equiv c*c^{{1 \over {2}}(p-1)}\equiv c*({c \over {p}}){\pmod {p}},{c \over {p}}$is Legendre symbol
    • $c\equiv m^{2}{\pmod {pq}}\Rightarrow c\equiv m^{2}{\pmod {p}}$
    • $\therefore ({c \over p})=1\Rightarrow (m_{p})^{2}\equiv c{\pmod {p}}$

특징

효율성(efficiency)

암호화에서 Square modulo를 계산하기 때문에, 3차 이상을 계산해야 하는 RSA에 비해 효율적이다.

복호화에서 two modular exponentiations와 중국인의 나머지정리를 적용하므로 효율성은 RSA와 비슷하다.

효과성(effectiveness)

암호화 함수가 4 to 1 함수이므로, 복호화 과정에서 4가지 서로 다른 결과가 나오고 이중 3가지는 가짜 결과이기 때문에, 푸는 과정에서 진짜 결과를 잘 추론해야 한다. 특히 숫자 값을 암호화한 경우 모호성 제거 스킴(disambiguation scheme)를 사용해야 한다. 이 단점을 개량해서 [암호문1 : 평문1]을 유지하는 알고리즘이 쓰인다.

 보안성(security)

Rabin 알고리즘은 소인수 분해 문제와 동치이다. (RSA에서는 동치성이 증명되지 않았다.) 따라서 동치성이 증명되거나, 소인수분해 일반공식이 등장할 때까지 상당히 안전하다.

선택 암호문 공격(chosen ciphertext attack)에 취약할 수 있다.

제작 시 quadratic residue modulo n을 사용하므로, 이와 관련된 공격이 가능하다.