리의 세 번째 정리

리 이론에서 리의 세 번째 정리(영어: Lie's third theorem)는 모든 유한 차원 실수 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 는 어떤 실수 리 군 $G$ 의 리 대수라는 정리이다. 이 정리는 리군-리 대수 대응의 일부이다.

역사적으로 세 번째 정리는 다르지만 관련된 결과를 나타낸다. 현대적으로 다시 표현된 소푸스 리의 앞선 두 정리는 매끄러운 다양체에서 군 작용의 무한소 변형과 관련된다. 목록의 세 번째 정리는 국소 리 군의 무한소 변환에 대한 야코비 항등식을 명시한다. 반대로, 벡터장의 리 대수가 있는 경우 이 리 대수의 적분은 국소 리 군 작용을 제공한다. 현재 세 번째 정리로 알려진 결과는 원래 정리에 대한 본질적이고 대역적인 역 정리를 제공한다.

역사

단일 연결 실수 리 군 범주와 유한 차원 실수 리 대수 사이의 동치성은 일반적으로 (20세기 후반 문헌에서) 카르탕의 정리 또는 엘리 카르탕이 증명한 카르탕-리 정리라고 불린다. 소포스 리는 이전에 마우러-카르탕 방정식의 국소적 가해성, 즉 유한 차원 리 대수 범주와 국소 리 군 범주 사이의 동치성이라는 국소 버전을 증명했다.

리는 그의 결과를 3개의 직접 정리와 3개의 역 정리로 나열했다. 카르탕 정리의 무한소 변형은 본질적으로 리의 세 번째 역 정리였다. 영향력 있는 책^[1]에서 장피에르 세르는 이를 리의 세 번째 정리라고 불렀다. 이 이름은 역사적으로 다소 오해의 소지가 있지만 일반화와 관련하여 자주 사용된다.

세르는 그의 책에서 두 가지 증명을 제공했다. 하나는 아도 정리에 기초한 것이고 다른 하나는 엘리 카르탕의 증명을 자세히 설명한 것이다.

증명

리의 세 번째 정리에 대한 여러 가지 증명이 있으며, 각각은 서로 다른 대수적이거나 기하학적인 방법을 사용한다.

대수적 증명

고전적인 증명은 간단하지만 증명이 대수적이고 아주 비자명한 아도 정리에 의존한다.^[2] 아도 정리에 따르면 모든 유한 차원 리 대수는 행렬로 표현될 수 있다. 결과적으로 행렬 지수 함수를 통해 이러한 행렬 대수를 적분하면 원래 리 대수를 적분한 리 군이 생성된다.

코호몰로지적 증명

좀 더 기하학적인 증명은 엘리 카르탕이 했다^[3]. 이 증명은 중심의 차원에 대한 귀납법을 사용하며 슈발레-엘렌베르크 복합체를 연관시킨다.^[4]

기하학적 증명

뒤스터마트와 콜크는 2000년에 다른 기하학적 증명을 발견했다.^[5] 이전의 증명과 달리 이는 구성적 증명이다. 적분 결과인 리 군은 리 대수의 경로들이 이루는 (무한 차원) 바나흐 리 군과 적합한 리 부분 군의 몫으로 구성된다. 이 증명은 리 준군과 리 준대수에 대한 리 세 번째 정리의 일반화를 위한 길을 열었기 때문에 리 이론^[6]에 영향을 미쳤다.^[7]

같이 보기

미분 방정식의 리 군 적분자

각주

↑ Jean-Pierre Serre (1992)[1965] Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures Given at Harvard University, page 152, Springer ISBN 978-3-540-55008-2
↑ Tao, Terence (2011년 5월 10일). “Ado's theorem”. 《What's new》 (영어). 2022년 9월 18일에 확인함.
↑ Van Est, Willem (1987). “Une démonstration de E. Cartan du troisième théorème de Lie” [A proof of Elie Cartan of Lie's third theorem]. 《Actions Hamiltoniennes des groupes, troisième théorème de Lie, travaux en cours》 (프랑스어) (Paris: Hermann) 27: 83–96.
↑ Ebert, Johannes. “Van Est's exposition of Cartan's proof of Lie's third theorem” (PDF).
↑ Duistermaat, J. J.; Kolk, J. A. C. (2000). 《Lie Groups》. Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-642-56936-4. ISBN 978-3-540-15293-4.
↑ Sjamaar, Reyer (2011년 10월 25일). “Hans Duistermaat's contributions to Poisson geometry”. arXiv:1110.5627 [math.HO].
↑ Crainic, Marius; Fernandes, Rui (2003년 3월 1일). “Integrability of Lie brackets”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 157 (2): 575–620. doi:10.4007/annals.2003.157.575. ISSN 0003-486X.

Cartan, Élie (1930), “La théorie des groupes finis et continus et l'Analysis Situs”, 《Mémorial Sc. Math.》 XLII, 1–61쪽
Hall, Brian C. (2015), 《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction》, Graduate Texts in Mathematics 222 2판, Springer, doi:10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666
Helgason, Sigurdur (2001), 《Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces》, Graduate Studies in Mathematics 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454

외부 링크

수학 백과사전(EoM)

[1] Jean-Pierre Serre (1992)[1965] Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures Given at Harvard University, page 152, Springer ISBN 978-3-540-55008-2

[2] Tao, Terence (2011년 5월 10일). “Ado's theorem”. 《What's new》 (영어). 2022년 9월 18일에 확인함.

[3] Van Est, Willem (1987). “Une démonstration de E. Cartan du troisième théorème de Lie” [A proof of Elie Cartan of Lie's third theorem]. 《Actions Hamiltoniennes des groupes, troisième théorème de Lie, travaux en cours》 (프랑스어) (Paris: Hermann) 27: 83–96.

[4] Ebert, Johannes. “Van Est's exposition of Cartan's proof of Lie's third theorem” (PDF).

[5] Duistermaat, J. J.; Kolk, J. A. C. (2000). 《Lie Groups》. Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-642-56936-4. ISBN 978-3-540-15293-4.

[:5-6] Sjamaar, Reyer (2011년 10월 25일). “Hans Duistermaat's contributions to Poisson geometry”. arXiv:1110.5627 [math.HO].

[7] Crainic, Marius; Fernandes, Rui (2003년 3월 1일). “Integrability of Lie brackets”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 157 (2): 575–620. doi:10.4007/annals.2003.157.575. ISSN 0003-486X.

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