수론 에서 모듈러 산술 (영어 : modular arithmetic ) 또는 합동 산술 (合同算術)은 정수의 합과 곱을 어떤 주어진 수의 나머지에 대하여 정의하는 방법이다. 정수환 의 몫환
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
환 구조로 생각할 수 있다.
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
정수 라고 하자. 정수환
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
주 아이디얼
(
n
)
{\displaystyle (n)}
몫환
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
{
0
,
1
,
…
,
n
−
1
}
{\displaystyle \{0,1,\dots ,n-1\}}
일대일 대응 하며, 이는 정수를
n
{\displaystyle n}
나머지 로 생각할 수 있다. 즉, 환 준동형
ϕ
n
:
Z
→
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \phi _{n}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /(n)}
을, 정수를
n
{\displaystyle n}
임의의 두 정수
a
,
b
∈
Z
{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
법
n
{\displaystyle n}
(法
n
{\displaystyle n}
영어 : congruent modulo
n
{\displaystyle n}
)이라고 한다.
a
=
b
+
k
n
{\displaystyle a=b+kn}
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
ϕ
n
(
a
)
=
ϕ
n
(
b
)
∈
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \phi _{n}(a)=\phi _{n}(b)\in \mathbb {Z} /(n)}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
동치류 에 속한다.이는 기호로는
a
≡
b
(
mod
n
)
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}
이라고 한다. 정수의 합동은 동치 관계 를 이룬다.
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
가환환 이므로, 임의의 가환환에서와 마찬가지로 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈 을 정의할 수 있으며, 덧셈과 곱셈은 결합 법칙 · 교환 법칙 을 따르고, 또한 분배 법칙 이 성립한다.
ϕ
n
:
Z
→
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \phi _{n}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /(n)}
환 준동형 이므로, 임의의
a
,
b
,
c
∈
Z
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }
a
b
≡
c
(
mod
n
)
{\displaystyle ab\equiv c{\pmod {n}}}
ϕ
n
(
a
)
ϕ
n
(
b
)
=
ϕ
n
(
c
)
{\displaystyle \phi _{n}(a)\phi _{n}(b)=\phi _{n}(c)}
마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
a
+
b
≡
c
(
mod
n
)
{\displaystyle a+b\equiv c{\pmod {n}}}
ϕ
n
(
a
)
+
ϕ
n
(
b
)
=
ϕ
n
(
c
)
{\displaystyle \phi _{n}(a)+\phi _{n}(b)=\phi _{n}(c)}
마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
a
≡
−
b
(
mod
n
)
{\displaystyle a\equiv -b{\pmod {n}}}
ϕ
n
(
a
)
=
−
ϕ
n
(
b
)
{\displaystyle \phi _{n}(a)=-\phi _{n}(b)}
n
{\displaystyle n}
소인수 분해 가
n
=
∏
p
p
n
p
{\displaystyle n=\prod _{p}p^{n_{p}}}
라고 하자. 그렇다면 중국인의 나머지 정리 가환환 의 동형이 존재한다.
Z
/
(
n
)
≅
∏
p
Z
/
(
p
n
p
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /(p^{n_{p}})}
즉, 두 개 이상의 소인수를 갖는 수에 대한 모듈러 산술은 그 소인수들(의 거듭제곱)에 대한 합동류들을 성분별로 취급하는 것과 같다.
일반적으로,
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
체 가 아니므로, 모듈러 산술에서 나눗셈은 일반적으로 정의되지 않는다. 다만, 만약
n
{\displaystyle n}
소수 라면
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
체 를 이루며, 이 경우 0이 아닌 모든 수의 역수가 존재한다.
합성수
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
서로소 인 수만이 가역원 이다 (역수를 정의할 수 있다). 이는 오일러의 정리 에 따라
a
ϕ
(
n
)
≡
1
(
mod
n
)
{\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
이기 때문이다 (
ϕ
{\displaystyle \phi }
오일러 피 함수 ). 즉,
n
{\displaystyle n}
ϕ
(
n
)
{\displaystyle \phi (n)}
가역원 이며, 가역원
a
{\displaystyle a}
a
ϕ
(
n
)
−
1
{\displaystyle a^{\phi (n)-1}}
2가 아닌 소수
p
{\displaystyle p}
Z
/
(
p
k
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{k})}
ϕ
(
p
k
)
=
p
k
−
1
(
p
−
1
)
{\displaystyle \phi (p^{k})=p^{k-1}(p-1)}
개가 있으며 (
ϕ
{\displaystyle \phi }
오일러 피 함수 ), 그 가역원군 은 순환군이다.
(
Z
/
(
p
k
)
)
×
≅
Z
ϕ
(
p
k
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} /(p^{k}))^{\times }\cong Z_{\phi (p^{k})}}
k
>
1
{\displaystyle k>1}
Z
/
(
2
k
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(2^{k})}
(
Z
/
(
2
k
)
)
×
≅
Z
2
×
Z
2
k
−
2
{\displaystyle (\mathbb {Z} /(2^{k}))^{\times }\cong Z_{2}\times Z_{2^{k-2}}}
일반적 합성수의 경우, 가역원군은 중국인의 나머지 정리 에 따라서
(
Z
/
(
∏
p
p
n
p
)
)
×
≅
∏
p
(
Z
/
(
p
n
p
)
)
×
{\displaystyle \left(\mathbb {Z} /\left(\prod _{p}p^{n_{p}}\right)\right)^{\times }\cong \prod _{p}(\mathbb {Z} /(p^{n_{p}}))^{\times }}
이다.
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
아이디얼 과 소 아이디얼 및 극대 아이디얼 의 개념을 정의할 수 있다.
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
n
{\displaystyle n}
주 아이디얼 이다. 즉,
(
d
)
{\displaystyle (d)}
d
∣
n
{\displaystyle d\mid n}
이 아이디얼들 가운데, 소 아이디얼인 것은
d
{\displaystyle d}
소수 인 경우이다. 즉,
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
n
{\displaystyle n}
주 아이디얼 들이다.
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
따라서,
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
크룰 차원 은 다음과 같다.
dim
Z
/
(
n
)
=
{
1
n
=
0
−
∞
n
=
1
0
n
≠
0
,
1
{\displaystyle \dim \mathbb {Z} /(n)={\begin{cases}1&n=0\\-\infty &n=1\\0&n\neq 0,1\end{cases}}}
이는 대수기하학 적으로 다음과 같이 해석할 수 있다.
n
{\displaystyle n}
소인수 분해 가
n
=
∏
i
=
1
k
p
i
n
i
{\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}}
라면, 중국인의 나머지 정리 에 따라서
Z
/
(
n
)
≅
∏
i
=
1
k
Z
/
(
p
i
n
i
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\cong \prod _{i=1}^{k}\mathbb {Z} /(p_{i}^{n_{i}})}
가환환 의 범주에서의 곱 이므로, 아핀 스킴 의 범주에서의 쌍대곱 이 된다. 즉,
Spec
Z
/
(
n
)
=
⨆
i
=
1
k
Spec
Z
/
(
p
i
n
i
)
{\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} /(n)=\bigsqcup _{i=1}^{k}\operatorname {Spec} \mathbb {Z} /(p_{i}^{n_{i}})}
가 된다. 각
Z
/
(
p
i
n
i
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(p_{i}^{n_{i}})}
소 아이디얼
(
p
i
)
{\displaystyle (p_{i})}
국소환 이며, 따라서 위상 공간 으로서는 한원소 집합 이다. 즉, 아핀 스킴
Spec
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} /(n)}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
(만약
n
=
0
{\displaystyle n=0}
정수환 의 스펙트럼이므로, 1차원이다.
n
=
1
{\displaystyle n=1}
자명환 의 스펙트럼은 공집합 이다.)
14와 20 그리고 −4는 법 6에 대하여 합동이다. 이를 식으로 나타내면
14
≡
20
≡
−
4
(
mod
6
)
{\displaystyle 14\equiv 20\equiv -4{\pmod {6}}}
이다.
이 부분의 본문은 중국인의 나머지 정리입니다.
