Преглед на кодот на Кноидален бран

[[Податотека:Periodic_waves_in_shallow_water.jpg|десно|мини|300x300пкс| Бомбардерите на американската армија летаат над речиси периодично отекување во плитка вода, блиску до брегот на [[Панама]] (1933). Острите гребени и многу рамните корита се карактеристични за кноидалните бранови.]]
Во [[хидродинамика]]та, '''кноидалниот бран''' е нелинеарно и точно периодично [[бран]]ово решение на равенката Кортевег-де Врис. Овие решенија се во однос на Јакобиевата елиптична функција ''cn'', поради што се измислени ''cn'' кноидалните бранови. Тие се користат за да се опишат површинските гравитациски бранови со прилично долга [[бранова должина]], во споредба со длабочината на водата.

Решенијата на кноидалните бранови биле изведени од Кортевег и де Врис, во нивниот труд од 1895 година во кој тие исто така ја предлагаат нивната дисперзивна равенка со долги бранови, сега позната како равенка Кортевег-де Вриј. Во границата на [[Бесконечност|бесконечна]] [[бранова должина]], кноидалниот бран станува осамен бран.

Равенката Бенџамин-Бона-Махони го подобрила однесувањето на кратки [[Бранова должина|бранови должини]], во споредба со равенката Кортевег-де Вриј, и е уште една еднонасочна бранова равенка со решенија на кноидни бранови. Понатаму, бидејќи равенката Кортевег-де Вриј е приближување на Бусинеск равенките за случајот на еднонасочно ширење на брановите, кноидните бранови се приближни решенија за Бусинеск равенките.

Решенијата на кноидните бранови може да се појават и во други апликации освен површинските гравитациски бранови, на пример за да се опишат јонските акустични бранови во физиката на [[плазма]]та.<ref>{{Наведување|title=Physics of intense beams in plasmas|first=M.V.|last=Nezlin|publisher=CRC Press|year=1993|isbn=978-0-7503-0186-2|page=205}}</ref>
[[Податотека:Cnoidal_wave_m=0.9.svg|десно|мини|600x600пкс| Кноиден бран, кој се одликува со поостри гребени и порамни корита отколку во синусен бран. За прикажаниот случај, елиптичниот параметар е ''m''&nbsp;=&nbsp;0,9.]]
[[Податотека:Ile_de_ré.JPG|десно|мини|300x300пкс]]

== Заднина ==

=== Равенките Кортевег-де Врис и Бенџамин-Бона-Махони ===
[[Податотека:Water_wave_theories.svg|десно|мини|338x338пкс| Валидност на неколку теории за периодични бранови на вода<ref>{{Наведување|first=B.|last=Le Méhauté|year=1976|title=An introduction to hydrodynamics and water waves|publisher=Springer|isbn=978-0-387-07232-6}}</ref> Светло-сината област го дава опсегот на валидност на теоријата на кноидалните бранови; светло-жолта за [[Ејрова бранова теорија|теоријата на воздушни бранови]] ; и испрекинати сини линии се разграничуваат помеѓу потребниот ред во теоријата на бранови на Стоукс. Светло-сивото засенчување го дава проширувањето на опсегот со нумерички апроксимации користејќи теорија на функција-проток од петти ред, за високи бранови ( ''H''&nbsp;>&nbsp;¼&nbsp;H <sub>кршење</sub> ).]]
Равенката Кортевег-де Врис (КдВ равенка) може да се користи за да се опише еднонасочното ширење на слабо нелинеарни и долги бранови - каде што долгиот бран значи: има долги бранови должини во споредба со просечната длабочина на водата - на површинските гравитациски бранови на течниот слој. КдВ равенката е дисперзивна бранова равенка, вклучувајќи ги и дисперзиите на [[честота]]та и [[Замав|амплитудните]] ефекти на дисперзија. Во неговата класична употреба, КдВ равенката е применлива за бранови должини ''λ'' што надминуваат околу пет пати од [[Просек|просечната]] длабочина на водата ''h'', така што за ''λ''&nbsp;>&nbsp;5&nbsp;''ч'' ; а за периодот ''τ'' поголем од <math>\scriptstyle 7 \sqrt{h/g}</math> со ''g'' јачината на гравитациското забрзување.<ref name="Dingemans_718">Dingemans (1997) pp. 718–721.</ref> За да се предвиди позицијата на КдВ равенката во опсегот на апроксимации на класичните бранови, таа се разликува на следниве начини:

* '''Равенката Кортевег-де Врис''' — го опишува напредното ширење на слабо нелинеарни и дисперзивни бранови, за долги бранови со ''λ''&nbsp;>&nbsp;7&nbsp;''ж''.
* '''Равенките за плитка вода''' - исто така се нелинеарни и имаат амплитудна дисперзија, но без дисперзија на честотата; тие важат за многу долги бранови, ''λ''&nbsp;>&nbsp;20&nbsp;''ж''.
* '''Равенките''' на Бусинеск - го имаат истиот опсег на валидност како и равенката КдВ (во нивната класична форма), но овозможуваат ширење на брановите во произволни насоки, па не само бранови што се шират напред. Недостаток е што равенките на Бусинеск често се потешки за решавање од КдВ равенката; а во многу примени рефлексиите на брановите се мали и може да се занемарат.
* '''[[Ејрова бранова теорија|Теорија на воздушни бранови]]''' — има целосна честотна дисперзија, толку валидна за произволна длабочина и бранова должина, но е линеарна теорија без амплитудна дисперзија, ограничена на бранови со ниска амплитуда.
* '''Стоуксова бранова теорија''' — пристап од низа на пертурбации за опис на слабо нелинеарни и дисперзивни бранови, особено успешен во подлабока вода за релативно кратки бранови должини, во споредба со длабочината на водата. Меѓутоа, за долгите бранови често се претпочита пристапот на равенките на Бусинеск - како што се применува и во КдВ равенката. Тоа е затоа што во плитка вода, на серијата на пертурбации на Стоукс им требаат многу термини пред да се приближи кон решението, поради големите врвови и долгите рамни корита на нелинеарните бранови..

КдВ равенката може да се изведе од равенките на Бусинеск, но потребни се дополнителни претпоставки за да може да се одвои ширењето на напредниот бран. За практични примени, равенката Бенџамин-Бона-Махони (ББМ равенка) е претпочитана во однос на КдВ равенката, модел кој се шири напред сличен на КдВ, но со многу подобро однесување на дисперзија на честотата на пократки бранови должини. Дополнителни подобрувања во перформансите на кратки бранови може да се добијат со изведување на еднонасочна бранова равенка од современ подобрен модел, валиден за уште пократки бранови должини.<ref name="Dingemans_689">Dingemans (1997) pp. 689–691.</ref>

=== Кноидни бранови ===
Решенијата на кноидните бранови на КдВ равенката биле претставени од Кортевег и де Врис во нивниот труд од [[1895]] година, кој напис е заснован на докторската теза на Де Врис во [[1894]] година.  Солитарните бранови решенија за нелинеарни и дисперзивни долги бранови биле пронајдени порано од Бусинеск во 1872 година и [[Џон Страт|Рејли]] во 1876 година. Потрагата по овие решенија била поттикната од набљудувањата на овој осамен бран од Расел, и во природата и во лабораториските експерименти.<ref name="Dingemans_689"/> Кноидните бранови решенија на КдВ равенката се стабилни во однос на мали пертурбации.<ref>{{Наведување|journal=Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics|year=1977|volume=30|number=1|pages=91–105|doi=10.1093/qjmam/30.1.91|title=On the stability of cnoidal waves|first=P.G.|last=Drazin|author-link=Philip Drazin}}</ref>

Површинската кота ''η'' ( ''x'', ''t'' ), во функција на хоризонталната положба ''x'' и времето ''t'', за кноиден бран е дадена со:

: <math>\eta(x,t) = \eta_2 + H\, \operatorname{cn}^2\, \left( \begin{array}{c|c} \displaystyle 2\, K(m)\, \frac{x-c\,t}{\lambda} & m \end{array} \right), </math>

каде што ''H'' е висината на бранот, ''λ'' е [[Бранова должина|брановата должина]], ''c'' е [[Фазна брзина|брзината на фазата]] и ''η <sub>2</sub>'' е надморската височина. Понатаму, cn е една од елиптичните функции на Јакоби, а ''K'' (''m'' ) е целосниот елиптичен интеграл од првиот вид; и двете се зависни од елиптичниот параметар ''m''. Последново, ''m'', го одредува обликот на кноидалниот бран. За ''m'' еднаков на нула, кноидалниот бран станува косинус функција, додека за вредности блиску до еден, ноидалниот бран добива врвови и (многу) рамни корита. За вредности од ''m'' помали од 0,95, кноидалната функција може да се приближи со тригонометриски функции.<ref>{{Наведување|title=Calculation and approximation of the cnoidal function in cnoidal wave theory|last=Yunfeng Xu|last2=Xiaohe Xia|last3=Jianhua Wang|year=2012|journal=Computers & Fluids|volume=68|pages=244–247|doi=10.1016/j.compfluid.2012.07.012}}</ref>

Важен бездимензионален параметар за нелинеарни долги бранови ( ''λ''&nbsp;≫&nbsp;''h'' ) е [[Урселов број|Урселовиот број]]:

: <math>U = \frac{H\, \lambda^2}{h^3} = \frac{H}{h}\, \left( \frac{\lambda}{h} \right)^2.</math>

За мали вредности на ''U'', каде ''U''&nbsp;<&nbsp;5,<ref>Due to the way it has been normalised, the [[Ursell parameter]] indicates linear theory is applicable when ''U''&nbsp;≪&nbsp;32&nbsp;''π<sup>2</sup>&nbsp;/&nbsp;3&nbsp;≈&nbsp;100.''</ref> може да се користи линеарна теорија, а при повисоки вредности треба да се користат нелинеарни теории, како теоријата на кноидните бранови. Зоната на разграничување помеѓу - трет или петти ред - теории на Стоукс и каноидни бранови е во опсегот 10-25 од [[Урселов број|Урселовиот број]].<ref>{{Наведување|title=Basic wave mechanics: for coastal and ocean engineers|first=R.M.|last=Sorensen|publisher=Wiley-Interscience|year=1993|isbn=978-0-471-55165-2}}, p. 61.</ref> Како што може да се види од формулата за [[Урселов број|Урселовиот број]], за дадена релативна висина на бранот ''H'' / ''h'' [[Урселов број|Урселовиот број]] - а со тоа и нелинеарноста - расте брзо со зголемување на релативната бранова должина ''λ'' / ''h''.

Врз основа на анализата на целосниот нелинеарен проблем на површинските гравитациски бранови во рамките на теоријата на [[потенцијален проток]], горенаведените кноидни бранови може да се сметаат за термин од најнизок ред во серијата на пертурбации. Теориите за кноидни бранови од повисок ред остануваат валидни за пократки и понелинеарни бранови. Теоријата за каноидни бранови од петти ред била развиена од Фентон во [[1979]] година.<ref>{{Наведување|title=A high-order cnoidal wave theory|first=J.D.|last=Fenton|year=1979|journal=Journal of Fluid Mechanics|volume=94|number=1|pages=129–161|doi=10.1017/S0022112079000975|bibcode=1979JFM....94..129F}}</ref> Детален опис и споредба на теориите за кноидни бранови од петти и петти ред се дадени во написот за преглед на Фентон.<ref>{{Наведување|contribution=Nonlinear wave theories|first=J.D.|last=Fenton|year=1990|title=Ocean Engineering Science|series=The Sea|editor1-first=B.|editor1-last=Le Méhauté|editor2-first=D.M.|editor2-last=Hanes|publisher=Wiley Interscience|volume=9A|pages=3–25}}</ref>

Описите на кноидните бранови, преку ренормализација, исто така се добро прилагодени на брановите на длабока вода, дури и на бесконечна длабочина на вода; како што открил Кламонд.<ref>{{Наведување|title=Steady finite-amplitude waves on a horizontal seabed of arbitrary depth|first=D.|last=Clamond|journal=Journal of Fluid Mechanics|year=1999|volume=398|number=1|pages=45–60|doi=10.1017/S0022112099006151|bibcode=1999JFM...398...45C}}</ref><ref>{{Наведување|title=Cnoidal-type surface waves in deep water|first=D.|last=Clamond|journal=Journal of Fluid Mechanics|year=2003|volume=489|pages=101–120|doi=10.1017/S0022112003005111|bibcode=2003JFM...489..101C}}</ref> Опис на интеракциите на кноидните бранови во плитка вода, како што се наоѓа во вистинските мориња, е даден од Озборн во [[1994]] година.<ref>{{Наведување|title=Shallow water cnoidal wave interactions|first=A.R.|last=Osborne|year=1994|journal=Nonlinear Processes in Geophysics|volume=1|pages=241–251|doi=10.5194/npg-1-241-1994|number=4|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00303007/file/npg-1-241-1994.pdf}}</ref>

=== Површински напон ===
Во случај кога ефектите на површинскиот напон се (исто така) важни, тие може да се вклучат во решенијата за кноидни бранови за долги бранови.<ref>{{Наведување|first=J.-M.|last=Vanden-Broeck|first2=M.C.|last2=Shen|title=A note on solitary and cnoidal waves with surface tension|journal=Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik|volume=34|pages=112–117|year=1983|doi=10.1007/BF00962619}}</ref>

== Решенија за периодични бранови ==
=== Равенка Кортевег-де Врис ===
Равенката како што се користи за бранови на вода и во димензионална форма, е:<ref name="Dingemans_692">Dingemans (1997) pp. 692–693.</ref>

: <math>\partial_t \eta + \sqrt{gh}\; \partial_x \eta + \tfrac{3}{2}\, \sqrt{\frac{g}{h}}\; \eta\, \partial_x \eta + \tfrac{1}{6}\, h^2\, \sqrt{gh}\; \partial_x^3 \eta = 0, </math>
{{Скриено-почеток|title={{pad|3em}} ''Детали''}}

; Non-dimensionalisation
All quantities can be made [[dimensionless quantity|dimensionless]] using the gravitational acceleration ''g'' and water depth ''h'':

:<math>\tilde{\eta} = \frac{\eta}{h},</math> {{Фатирање|2em}} <math>\tilde{x} = \frac{x}{h}</math> {{Фатирање|2em}}и {{Фатирање|2em}} <math>\tilde{t} = \sqrt{\frac{g}{h}}\, t.</math>

Добиената недимензионална форма на КдВ равенката е <ref name=Dingemans_692/>

:<math>\partial_\tilde{t} \tilde{\eta} + \partial_\tilde{x} \tilde{\eta} + \tfrac{3}{2}\, \tilde{\eta}\, \partial_\tilde{x} \tilde{\eta} + \tfrac{1}{6}\, \partial_\tilde{x}^3 \tilde{\eta} = 0,</math>

; Врска со стандардна форма
Формата

:<math>\partial_\hat{t} \phi + 6\, \phi\ \partial_\hat{x} \phi + \partial_\hat{x}^3 \phi =0</math>

се добива преку трансформацијата

:<math>\hat{t} = \tfrac16\, t, \,</math> {{Фатирање|4em}} <math>\hat{x} = x - t\,</math> {{Фатирање|2em}} и {{Фатирање|2em}} <math> \phi = \tfrac32\, \eta, \,</math>

но оваа форма повеќе нема да се користи во оваа изведба.

; Бранови кои се шират со фиксна форма
Се бараат решенија за периодични бранови, кои се движат со [[фазна брзина]] ''c''. Овие постојани бранови треба да бидат од следново: 
:<math>\eta = \eta(\xi)\,</math> {{Фатирање|2em}} with <math>\xi</math> бранова фаза: {{Фатирање|2em}} <math>\xi = x - c\, t.\,</math>

Следствено, парцијалните деривати во однос на просторот и времето стануваат:

:<math>\partial_x \eta = \eta'\,</math> {{Фатирање|2em}} и {{Фатирање|2em}} <math>\partial_t \eta = -c\, \eta', \,</math>

каде што ''η'' го означува изводотна ''η''(''ξ'') во однос на [[параметар|аргумент]] ''ξ''.

Користејќи ги овие во КдВ равенката, се добива следнава [[обична диференцијална равенка]] од трет ред:<ref name=Dingemans_701>Dingemans (1997) стр. 701.</ref>

:<math>\tfrac16\, \eta''' + \left( 1 - c \right)\, \eta' + \tfrac32\, \eta\, \eta' = 0.\,</math>

; Интеграција во обична диференцијална равенка од прв ред
Ова може да се интегрирано еднаш, за да се добие :<ref name=Dingemans_701/>

:<math>\tfrac16\eta'' + \left( 1 - c \right)\, \eta + \tfrac34\, \eta^2 = \tfrac14 r, \, </math>

со ''r'' и [[константа на интеграција]]. Откако ќе се множи со 4&nbsp;''η'''' и ќе се интегрира уште еднаш <ref name=Dingemans_701/>

:<math>\tfrac13 \left( \eta' \right)^2 + 2\, \left( 1 - c \right)\, \eta^2 + \eta^3 = r\, \eta + s, \,</math>

[[File:KdV cubic polynomial.svg|thumb|right|250px|.]]
со ''s'' уште една константа на интеграција. Ова е напишано во форма

{{NumBlk|:|<math>\tfrac13 \left( \eta' \right)^2 = f(\eta)\,</math> {{pad|2em}} with {{pad|2em}} <math>f(\eta) = -\eta^3 + 2\, \left( c - 1 \right)\, \eta^2 + r\, \eta + s.\,</math>|{{EquationRef|A}}}}

Кубниот полином ''f''(''η'') станува негативен за големи позитивни вредности на ''η'', а позитивен за големи негативни вредности на ''η''. Бидејќи површинската кота ''η'' е [[реален број|реално вреднувано]], исто така и константите на интеграција ''r'' и ''s'' се реални. Полиномот ''f'' може да се изрази во однос на неговите [[корен на функција|корени]] ''η<sub>1</sub>'', ''η<sub>2</sub>' ' и ''η<sub>3</sub>'':<ref name=Dingemans_708>Dingemans (1997) pp. 708–715.</ref>

{{NumBlk|:|<math>f(\eta) = - \left( \eta - \eta_1 \right)\, \left( \eta - \eta_2 \right)\, \left( \eta - \eta_3 \right).</math>|{{EquationRef|B}}}}

Бидејќи ''f''(''η'') е реално вреднувана, трите корени ''η<sub>1</sub>'', ''η<sub>2</sub>'' и '' η<sub>3</sub>'' се или сите три реални, или инаку едното е реално, а преостанатите две се пар од [[комплексен конјугат]]. Во вториот случај, со само еден корен со реална вредност, постои само една елевација ''η'' на која ''f''(''η'') е нула. И, следствено, само една кота на која површината [[наклон]] ''η'' е нула. Како и да е, бараме решенија слични на брановите, со две издигнувања - бранот [[сртот (физика)|сртот]] и [[коритото (физика)]] - каде што наклонот на површината е нула. Заклучокот е дека сите три корени на ''f''(''η'') треба да бидат реално вреднувани.

Без губење на општоста, се претпоставува дека трите вистински корени се подредени како: 
:<math>\eta_1 \ge \eta_2 \ge \eta_3.\,</math>

; Решение на обично-диференцијална равенка од прв ред{{EquationNote|A}}) може да се види дека постојат само реални вредности за наклонот ако ''f''(''η'') е позитивно. Ова кореспондира со ''η<sub>2</sub>''&nbsp;≤&nbsp;''η''≤&nbsp;''η<sub>1</sub>'', што според тоа е опсегот помеѓу висината на површината осцилира, видете го и графикот на ''f(''η''). Овој услов е задоволен со следнава претстава за котата ''η''(''ξ'') :<ref name=Dingemans_708/>

{{NumBlk|:|<math>\eta(\xi) = \eta_1\; \cos^2\, \psi(\xi) + \eta_2\, \sin^2\, \psi(\xi),</math>|{{EquationRef|C}}}}

во согласност со периодичниот карактер на бараните бранови решенија и со ''ψ''(''ξ'') фазата на [[тригонометриските функции]] sin и cos. Од оваа форма, следните описи на различни поими во равенки ({{EquationNote|A}}) и ({{EquationNote|B}}) може да се добијат:

:<math>
  \begin{align}
    \eta - \eta_1 &= - \left( \eta_1 - \eta_2 \right)\; \sin^2\, \psi(\xi), \\
    \eta - \eta_2 &= + \left( \eta_1 - \eta_2 \right)\; \cos^2\, \psi(\xi), \\
    \eta - \eta_3 &= \left(\eta_1 - \eta_3 \right) - \left( \eta_1 - \eta_2 \right)\; \sin^2\, \psi(\xi), && \text{and} \\
    \eta' &= -2\, \left( \eta_1 - \eta_2 \right)\; \sin\, \psi(\xi)\; \cos\, \psi(\xi)\;\; \psi'(\xi) 
      && \text{with} \quad \psi'(\xi) = \frac{\text{d}\psi(\xi)}{\text{d}\xi}.
  \end{align}
</math>

Using these in equations ({{EquationNote|A}}) и ({{EquationNote|B}}), се добива следната обична диференцијална равенка која се однесува на ''ψ'' и ''ξ'', по неколку манипулации :<ref name=Dingemans_708/>

:<math>\frac43\, \left( \frac{\text{d}\psi}{\text{d}\xi} \right)^2 = \left(\eta_1 - \eta_3 \right) - \left( \eta_1 - \eta_2 \right)\; \sin^2\, \psi(\xi), </math>

со десната страна сè уште позитивна, бидејќи ''η<sub>1</sub>''&nbsp;−&nbsp;''η<sub>3</sub>''&nbsp;≥&nbsp;''η<sub >1</sub>''&nbsp;−&nbsp;''η<sub>2</sub>''. Без губење на општоста, можеме да претпоставиме дека ''ψ''(''ξ'') е монотона функција, бидејќи ''f''(''η'') нема нули во интервалот ''η<sub >2</sub>''&nbsp;<&nbsp;''η''&nbsp;<&nbsp;''η<sub>1</sub>''. Така, горната обична диференцијална равенка може да се реши и во однос на тоа што ''ξ''(''ψ'') е функција од ''ψ'':<ref name=Dingemans_708/>

:<math>\frac{1}{\Delta}\, \frac{\text{d}\xi}{\text{d}\psi} = \pm\, \frac{1}{\sqrt{1 - m \sin^2\, \psi}},</math>

со:

:<math>\Delta^2 = \frac43\, \frac{1}{\eta_1 - \eta_3}</math> {{Фатирање|2em}} and {{Фатирање|2em}} <math>m = \frac{\eta_1 - \eta_2}{\eta_1 - \eta_3},</math>
каде што ''m'' е таканаречениот елиптичен параметар,<ref name=AS_590>Abramowitz & Stegun (1965) стр. 590.</ref><ref name=m_vs_k>Елиптичниот параметар ''m'' се разликува од елиптичниот модул ''k'': ''m''&nbsp;=&nbsp;''k<sup>2< /sup>''. Видете Abramowitz & Stegun (1965) стр. 590.</ref> задоволува ''0''&nbsp;≤&nbsp;''m''&nbsp;≤&nbsp;1 (бидејќи ''η<sub>3</sub>''&nbsp;≤&nbsp;'' η<sub>2</sub>''&nbsp;≤&nbsp;''η<sub>1</sub>'').<ref name=Dingemans_708/>

{{NumBlk|:|<math>\xi = \pm\, \Delta\, \int_0^\psi \frac{\text{d}\hat{\psi}}{\sqrt{1 - m\, \sin^2 \hat{\psi}}} = \pm\, \Delta\, F(\psi|m),</math>|{{EquationRef|D}}}}

со ''F''(''ψ''|''m'') [[нецелосен елипсовиден интеграл од првиот вид]]. [[Елиптичните функции Јакоби]] cn и sn се инверзи на ''F''(''ψ''|''m'') дадени со

:<math>
  \cos\, \psi = \operatorname{cn} \left( \begin{array}{c|c} \displaystyle \frac{\xi}{\Delta} & m \end{array} \right)
</math> {{Фатирање|3em}} и{{Фатирање|3em}} <math>
  \sin\, \psi = \operatorname{sn} \left( \begin{array}{c|c} \displaystyle \frac{\xi}{\Delta} & m \end{array} \right).
</math>

Со употреба на равенка ({{EquationNote|C}}), е пронајдено добиеното кноидно-брановно решение на КдВ равенката <ref name=Dingemans_708/>

:<math>
  \eta(\xi) = 
    \eta_2 
    + \left( \eta_1 - \eta_2 \right)\, \operatorname{cn}^2 \left( \begin{array}{c|c} \displaystyle \frac{\xi}{\Delta} & m \end{array} \right).
</math>

What remains, is to determine the parameters: ''η<sub>1</sub>'', ''η<sub>2</sub>'', ''Δ'' and ''m''.

; Relationships between the cnoidal-wave parameters
First, since ''η<sub>1</sub>'' is the crest elevation and ''η<sub>2</sub>'' is the trough elevation, it is convenient to introduce the [[wave height]], defined as ''H''&nbsp;=&nbsp;''η<sub>1</sub>''&nbsp;−&nbsp;''η<sub>2</sub>''. Consequently, we find for ''m'' and for ''Δ'':

:<math>m = \frac{H}{\eta_1-\eta_3}</math> {{Фатирање|3em}} и {{Фатирање|3em}} <math>\frac{\Delta^2}{m}=\frac{4}{3\,H}</math> {{Фатирање|3em}} па{{Фатирање|3em}} <math>\Delta=\sqrt{\frac{4}{3}\frac{m}{H}}.</math>

Решението на каноидниот бран може да се запише како:

:<math>\eta(\xi) = \eta_2 + H\, \operatorname{cn}^2 \left( \begin{array}{c|c} \displaystyle \frac{\xi}{\Delta} и m \end{array} \right).</math>

Второ, коритото се наоѓа на ''ψ''&nbsp;=&nbsp;½&nbsp;''π'', така што растојанието помеѓу ''ξ''&nbsp;=&nbsp;0 и ''ξ''&nbsp;=&nbsp ;½&nbsp;''λ'' е, со ''λ'' [[бранова должина]], од равенката ( {{EquationNote|D}}):

:<math>\tfrac12\, \lambda = \Delta\, F\left( \begin{array}{c|c} \tfrac12\,\pi & m \end{array} \right) = \Delta\, K(m),</math> {{Фатирање|3em}} давајќи{{Фатирање|3em}} <math>\lambda = 2\, \Delta\, K(m) = \sqrt{\frac{16}{3}\frac{m}{H}}\; K(m),</math>

каде што ''K''(''m'') е [[целосен елипсовиден интеграл од првиот вид]]. Трето, бидејќи бранот осцилира околу средната длабочина на водата, просечната вредност на ''η''(''ξ'') треба да биде нула. Значи<ref name=Dingemans_708/>

:<math>
  \begin{align}
    0 &= \int_0^{\lambda} \eta(\xi)\; \text{d}\xi 
       = 2\, \int_0^{\tfrac12\lambda} \left[ \eta_2 + \left( \eta_1 - \eta_2 \right)\, 
                          \operatorname{cn}^2\, \left( \begin{array}{c|c} \displaystyle \frac{\xi}{\Delta} & m \end{array} \right) \right]\; \text{d}\xi
    \\
      &= 2\, \int_0^{\tfrac12\pi} \Bigl[ \eta_2 + \left( \eta_1 - \eta_2 \right)\, \cos^2\, \psi \Bigr]\, \frac{\text{d}\xi}{\text{d}\psi}\; \text{d}\psi
       = 2\, \Delta\, \int_0^{\tfrac12\pi} \frac{\eta_1 - \left( \eta_1 - \eta_2 \right)\, \sin^2\, \psi}{\sqrt{1 - m\, \sin^2\, \psi}}\; \text{d}\psi
    \\
      &= 2\, \Delta\, \int_0^{\tfrac12\pi} \frac{\eta_1 - m\, \left( \eta_1 - \eta_3 \right)\, \sin^2\, \psi}{\sqrt{1 - m\, \sin^2\, \psi}}\; \text{d}\psi
       = 2\, \Delta\, \int_0^{\tfrac12\pi} \left[ \frac{\eta_3}{\sqrt{1 - m\, \sin^2\, \psi}} 
                                                + \left( \eta_1 - \eta_3 \right)\, \sqrt{1 - m\, \sin^2\, \psi} \right]\; \text{d}\psi
    \\
      &= 2\, \Delta\, \Bigl[  \eta_3\, K(m) + \left( \eta_1 - \eta_3 \right)\, E(m) \Bigr]
       = 2\, \Delta\, \Bigl[  \eta_3\, K(m) + \frac{H}{m}\, E(m) \Bigr],
  \end{align}
</math>

каде што ''E''(''m'') е [[целосен елипсовиден интеграл од вториот вид]]. Следниве изрази за ''η<sub>1</sub>'', ''η<sub>2</sub>'' и ''η<sub>3</sub>'' како функција на елиптичниот параметар ''m'' и висината на бранот ''H'' резултат:<ref name=Dingemans_708/>

:<math>\eta_3 = -\, \frac{H}{m}\, \frac{E(m)}{K(m)},</math> {{Фатирање|4em}} <math>\eta_1 = \frac{H}{m}\, \left( 1 - \frac{E(m)}{K(m)} \right)</math> {{Фатирање|2em}} and {{Фатирање|2em}} <math>\eta_2 = \frac{H}{m}\, \left( 1 - m - \frac{E(m)}{K(m)} \right).</math>

Четврто, од равенките ({{EquationNote|A}}) and ({{EquationNote|B}}) a relationship can be established between the [[phase speed]] ''c'' and the roots ''η<sub>1</sub>'', ''η<sub>2</sub>'' and ''η<sub>3</sub>'':<ref name=Dingemans_708/>

:<math>c = 1 + \tfrac12\, \left( \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 \right) = 1 + \frac{H}{m}\, \left( 1 - \frac12\, m - \frac32\, \frac{E(m)}{K(m)} \right). </math>

The relative phase-speed changes are depicted in the figure below. As can be seen, for ''m''&nbsp;>&nbsp;0.96 (so for 1&nbsp;−&nbsp;''m''&nbsp;<&nbsp;0.04) the phase speed increases with increasing wave height ''H''.  This corresponds with the longer and more nonlinear waves.  The nonlinear change in the phase speed, for fixed ''m'', is proportional to the wave height ''H''.  Note that the phase speed ''c'' is related to the wavelength ''λ'' and [[period (physics)|period]] ''τ'' as:

:<math>c = \frac{\lambda}{\tau}.</math>

; Résumé of the solution
All quantities here will be given in their dimensional forms, as valid for [[surface gravity wave]]s before [[non-dimensionalisation]]. 
{{Скриено-крај}}

=== Равенка Бенџамин-Бона-Махони ===
Равенката Бенџамин-Бона-Махони (ББМ равенка), или регуларната равенка на долг бран (RLW) е во димензионална форма дадена со:<ref name="Dingemans_694">Dingemans (1997) p. 694–696.</ref>

: <math>\partial_t \eta + \sqrt{g\,h}\, \partial_x \eta + \tfrac32\, \sqrt{\frac{g}{h}}\, \eta\, \partial_x \eta - \tfrac16\, h^2\, \partial_t\, \partial_x^2 \eta = 0.</math>

Сите величини имаат исто значење како и за КдВ равенката. Равенката BBM често се претпочита пред равенката КдВ бидејќи има подобро однесување на кратки бранови.<ref name="Dingemans_694"/>

== Наводи ==
{{наводи}}

{{Физичка океанографија}}

[[Категорија:Бранови]]