Хелмхолцова равенка – елиптична парцијална диференцијална равенка:
каде претставува Лапласов оператор, е бранов број, а амплитуда.
Нехомогената Хелмхолцова равенка го има обликот:
Може да се забележи дека во Хелмхолцовата равенка нема оператори кои претставуваат изводи по време. Хелмхолцовата равенка може да се добие од брановата равенка:
- (1)
Се претпоставува дека брановата функција се решава со сепарација на променливите по простор и време:
- (2)
Заменувајќи го изразот (2) во изразот (1) се добива следнава равенка:
- (3)
Левата страна на равенката (3) зависи само од просторните координати, а десната страна од времето. Заради сето тоа, во општ случај двете страни на равенката се еднакви на некоја константа, па се добиваат две равенки:
- (4)
и
- (5)
Преуредувајќи ја равенката (4) се добива:
- (6)
а преуредувајќи ја равенката (5) со помош на супституција се добива:
Притоа k е бранов вектор, , а ω е аголна честота.
Решавање на Хелмхолцовата равенка со сепарација на променливите
[уреди | уреди извор]
За Хелмхолцовата равенка:
- (7)
Лапласовиот оператор во поларни координати се запишува како:
Заради тоа равенката (7) станува:
- (8)
Се прави обид равенката да се реши со сепарација на променливите:
каде Θ мора да биде периодична со периода 2π. Од каде следи:
- (9)
и
- (10)
Решенијата од (9) и (10) се:
каде е Беселова функција, која е решение на Беселовата равенка:
Во сферни координати општото решение на Хелмхолцовата равенка е:
каде
и се сферни Беселови функции, а : ги претставува сферните хармоници.
Нехомогената Хелмхолцова равенка:
се решава со помош на Гриновата функција, односно:
Бидејќи е:
тогаш е тридимензионална Гринова функција:
Горенапишаните равенки може да се напишат во векторски облик како:
а Гриновата функција како:
Решението на нехомогената Хелмхолцова равенка тогаш може да се прикаже со Гриновата функција како:
Лапласова равенка
- Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
- Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
- Хелмхолцови равенки