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Relación reflexiva para niños

Enciclopedia para niños
Relación homogénea Relación reflexiva Relación no reflexiva Conjunto preordenado Relación de dependencia Conjunto parcialmente ordenado Relación de equivalencia Orden total Acotado Orden total acotadoRelación binaria 101.svg

En matemáticas, una relación reflexiva o refleja es una relación binaria R sobre un conjunto A, de manera que todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir,

\forall x\in A, \; xRx.

En tal caso, se dice que R cumple con la propiedad de reflexividad.

Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces se dice que es irreflexiva, antirreflexiva o antirrefleja, lo que denotamos formalmente por:

\forall x\in A, \; \neg(xRx)

En este caso, se dice que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.

Representación

Sea R una relación reflexiva o antirreflexiva aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

Notación Relación reflexiva Relación antirreflexiva
Como pares ordenados \forall x\in A, \; (x, x)\in R \forall x\in A, \; (x, x)\notin R
Como matriz de adyacencia La diagonal principal de la matriz contendrá solo 1's, es decir, \forall i=\{1, ..., n\}, \; (a_{i,i})_{n\times n}=1. La diagonal principal de la matriz contendrá solo 0's, es decir, \forall i=\{1, ..., n\}, \; (a_{i,i})_{n\times n}=0.
Como grafo El grafo contendrá bucles en todos sus nodos. El grafo no contendrá bucles en ninguno de sus nodos.

Ejemplos

Sea A un conjunto cualquiera:

  • Sea (A, \ge), \ge ("mayor o igual que") es reflexiva, pero >\, ("mayor estricto que") no lo es.
  • Sea (A, \le), \le ("menor o igual que") es reflexiva, pero <\, ("menor estricto que") no lo es.
  • Sea (A, =)\,, =\, (la igualdad matemática), es reflexiva.
  • Sea (A, \subseteq), \subseteq (la inclusión de conjuntos), es reflexiva.
  • Sea (\mathbb{N}\backslash\{0\}, \backslash), \backslash\, (la divisibilidad) es reflexiva.
  • Sea X el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de paralelismo || entre rectas es reflexiva, porque toda recta es paralela a sí misma.
  • Sea X el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de perpendicularidad \bot entre dos rectas es antirreflexiva, porque no hay rectas que sean perpendiculares a sí mismas.
  • Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso alguien puede ser padre o madre de sí mismo.

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Reflexive relation Facts for Kids Propiedades de una relación binaria homogénea:

  • Relación irreflexiva
  • Relación simétrica
  • Relación antisimétrica
  • Relación transitiva
  • Relación total
  • Relación bien fundada
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