Overleg:Reeks (wiskunde)

ouder overleg gearchiveerd naar Overleg:Reeks (wiskunde)/archief en Overleg:Reeks (wiskunde)/archief2 ivm laadbaarheid van deze pagina

Stemmen uit het reeks-moeras

Laatste bericht: 5 jaar geleden60 berichten7 personen in overleg

- Die Summe der Glieder einer Folge (oder eines Teils der Folgenglieder) wird als Reihe bezeichnet. [2]

- Damit habe ich meine Schwierigkeiten. In den Beispielen werden die Reihen immer als Summe angegeben. Das bedeutet für mich jetzt, dass eine Reihe lediglich eine einzige Zahl ist (nämlich Die Summe, wie auch immer die aussieht), und nicht mehrere Elemente enthält wie eine Folge. [3]

- Reihen unterscheiden sich von Folgen dadurch, dass die einzelnen Glieder der Reihe summiert werden. Folglich kann jede Folge in eine Reihe überführt werden. [4]

- Bildet man nun aus den Gliedern einer Folge bis zum jeweiligen Element jeweils eine Summe und notiert diese Summen, so hat man eine Reihe. [5]

- ... series which is defined as the summation of the elements of a sequence. [6]

- The addition of the terms of a sequence, is known as series. (id.)

- When the elements of the sequence are added together, they are known as series. (id.)

- A "series" is what you get when you add up all the terms of a sequence. [7]

- A series is a sum of numbers. [...] A series is composed of a sequence of terms that are added up. [8]

- ... a series is just adding up or summing a group of numbers. Thus, a series has a sequence bearing terms (variables or constants) that were added. [...] In summary, the two terms “series” and “sequence” are understandably causing much confusion to many. [9]

- An arithmetic series is the sum of an arithmetic sequence. [10]

- Une série, c'est une suite définie d'une façon particulière à partir d'une autre suite, mais cela reste une suite. Réciproquement toute suite peut être définie comme une série. [11]

- Une suite est une famille de nombres, numérotés par l'ensemble des entiers. Une série, c'est pareil. Sauf qu'au lieu de s'intéresser aux nombres eux-mêmes et à leur comportement (limite), on va plutôt s'intéresser aux sommes partielles . [12]

- A series is like a sequence, but instead of the terms being separate we are interested in their sum. [13]

- If the sequence had tended toward a fixed number as n increased mathematicians would have said that the sequence converged. [...] In a series, when mathematicians talk of convergence they mean that the infinite sequence sums to a finite number. [14]
-- Hesselp (overleg) 28 apr 2019 22:29 (CEST)Reageren

+3k bladvulling... Archiveren? Mvg, Trewal 28 apr 2019 22:49 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

"A sequence or a series is simply a function N to R -- the same in both cases"

De laatste drie (van de 15) citaten hierboven, 28 apr 2019 20:29, zijn in lijn met de observatie dat de keuze tussen "rij" en "reeks" niet duidt op verschillende wiskundige inhoud, maar op verschillende context: (13) "Une série, c'est pareil", (14) "A series is like a sequence", (15) "the sequence tends toward .. [...] the series sums to ..".
Hetzelfde geldt evenzeer voor het volgende citaat-16 uit StackExchange, Search on Mathematics Educators, een vraag-en-antwoord-site voor betrokkenen bij onderwijs in wiskunde; geplaatst 30 maart 2014, door 'user 757' :

-(16) "Historically it seems that "sequence" is the interloper. "Series" was used to denote both concepts going as far back as Wallis, usually with the qualifier "infinite"; sometimes "progression" is used to denote what we call a sequence. Our current use of "sequence" in the theory of series did not become common until later, perhaps around 1900, as did the prominence of the term "partial sum."
In modern terms, one might say that a sequence or a series is simply a function f: N→R -- the same in both cases.
I think the significance of these observations is that a sequence and a series are not (readily) distinguished by what they are. They are distinguished by how they are used. We speak of the "sum" of series and the limit of the "terms." The words "sequence" and "partial sum" began to be used, I suppose, to help clarify the intended use."
-- Hesselp (overleg) 29 apr 2019 18:07 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

Es gibt konvergente Zahlen und divergente Zahlen

-(17) W. Rosenheinrich, Reihen und ihre Anwendungen, 2009,
blz. 6: "Man beachte, daß sie sich grundlegend unterscheiden: eine Folge ist eine Menge von unendlich vielen Zahlen (oder sonstigen Objekten), eine Reihe dagegen eine einzige Zahl, die durch Summation über eine Folge entsteht! ";
blz. 7: "Wenn die Folge S_n bei n→∞ gegen einen eigentlichen (d. h. endlichen) Grenzwert S konvergiert, so nennt man die oben beschriebene Reihe konvergent" .
De combinatie van beide citaatzinnen leert ons wat konvergente Zahlen zijn. Ja?
Of is het even 'nieuwe-kleren-van-de-keizer'-achtig als het "uitbreiding van de optelling", het "formele som", en het "bepaalde combinatie van een rij en z'n somrij" in de huidige artikel-versie? Of het "oneindige som" waar Madyno (hier, 12 april 2019) reclame voor maakt? -- Hesselp (overleg) 4 mei 2019 12:47 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

"SUITE, en Algèbre, est la même chose que série. Voyez SÉRIE."

-(18) Aldus (zie kopje) het lemma 'SUITE' in de fameuze Encyclopédie de Diderot et d'Alembert, 1751-'65, tome XV blz.649.

-(19) Opmerkelijk is ook, in het lemma SÉRIE ou SUITE, de zin "Ainsi ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}},\ {\tfrac {1}{4}},\ {\tfrac {1}{8}},\ {\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{32}},\ {\tfrac {1}{64}},\ }$ &c. forment une suite qui s'approche toujours de la quantité 1, & qui lui devient enfin égale, quand cette suite est continuée à l'infini.", tome XV blz. 93. De gegeven termen vormen een suite/série die het getal 1 benadert, en niet het getal 0(!); de somlimiet stond centraal, niet de termlimiet.
Verder kan nog gezegd dat de juistgenoemde Franse zin een opvallend precieze vertaling is van het Engelse "Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto." in de Cyclopaedia uit 1728 van E. Chambers, Volume 2 blz. 59.

Dat was 1728, en tot op de dag van vandaag is er voor de Nederlandstalige aanduiding "reeks" geen welgedefinieerd wiskundig begrip aangewezen dat afwijkt van wat met "oneindige getallenrij" bedoeld wordt. -- Hesselp (overleg) 6 mei 2019 18:06 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

"Een reeks in de wiskunde is een rij, beschouwd samen met zijn rij van partiële sommen"

Vertaald (ook het kopje hierboven) uit Wikipedia-Esperanto ~~es:Serio (matematiko)~~ eo:Serio (matematiko): "Er bestaat geen formeel verschil tussen de noties rij en reeks. Elke rij kan ook als een reeks worden beschouwd. Het verschil treedt alleen op als het gaat om convergentie: 'reeks' verwijst naar somconvergentie en 'rij' naar termconvergentie." -- Hesselp (overleg) 7 mei 2019 17:00 (CEST) Ik kan de taalcode voor Esperanto niet vinden; wie? (:es: blijkt Spanje te zijn). Reageren

De taalcode voor Esperanto is "eo". De Wikischim (overleg) 8 mei 2019 10:23 (CEST)Reageren

Wat hierboven door Hesselp gepresenteerd wordt als een in het Nederlands vertaald citaat van wat er in dat Wikipedia-artikel staat, klopt van geen kanten. Op tal van punten is het een wel hele vrije vertaling wat dus niet kan als je het presenteert als citaat. Nog problematischer wordt het met "... 'reeks' verwijst naar somconvergentie en 'rij' naar termconvergentie." wat zo stellig helemaal niet voorkomt in het Wikipedia-artikel. Zie ook de OP van Hesselp waar hij aangaf dat hij Google Translate had gebruikt en wat daar uit kwam zelf had opgeschoond (terwijl hij zo te zien de originele tekst maar amper begrijpt). - Robotje (overleg) 24 mei 2019 17:15 (CEST)Reageren

Voor mijn (meervoudige) weerwoord op Robotje's in nogal forse termen gestelde kritiek, zie deze sectie 'Vertaling' op mijn persoonlijke overlegpagina. Hij weigert om met een 'betere' NL-versie voor die ene zin te komen. -- Hesselp (overleg) 24 mei 2019 20:18 (CEST)Reageren

Het is ene Hesselp die met een betrouwbare vertaling moet komen. Robotje hoeft dat echt niet te doen. The Banner Overleg 24 mei 2019 20:24 (CEST)Reageren

Precies. Hesselp kwam met een tekst die hij presenteerde als een citaat maar dan in het Nederlands van wat er in dat artikel zou staan inclusief dubbele aanhalingstekens aan het begin en eind van de tekst. Als ik in dat zogenaamde citaat tal van problemen constateer houdt dat niet in dat ik met een eigen vertaling moet komen. Degene die met een vertaling komt (in nota bene citaat-vorm) is verantwoordelijk dat het een betrouwbare vertaling is. Hesselp erkende op zijn OP dat hij Google Translate had gebruikt. Het zinsdeel "... ĉar por serio oni interesiĝas pli pri la konverĝo de la vico v de partaj sumoj, ol pri tiu de u." had Google Translate volgens Hesselp vertaald in "... omdat het voor een reeks meer geïnteresseerd is in de convergentie van de rij v van gedeeltelijke hoeveelheden dan in dat van de reeks." In zijn zogenaamde citaat hierboven werd dat "... 'reeks' verwijst naar somconvergentie en 'rij' naar termconvergentie." Opmerkelijk is dan o.a. dat de constructie 'pli <x> ol <y>' die wel in de bron staat opeens totaal verdwenen is in het daarop gebaseerde zogenaamde citaat. Die constructie hoor je te vertalen in de trand van 'meer <x> dan <y>'. Als iemand schrijft "Mi estas pli forta ol Karel." dan zou ik dat vertalen als "Ik ben sterker dan Karel." en zeer zeker niet als "Ik ben sterk en Karel niet." Het gaat om een vergelijking tussen de twee waarbij de ene sterker is dan de ander wat niet wil zeggen dat de ik-figuur sterk is (denk aan de situatie dat ze beide niet sterk zijn maar de ik-figuur is wel iets sterker dan Karel) en ook niet dat Karel niet sterk is (denk aan de situatie dat beide sterk zijn maar de ik-figuur is zelfs nog sterker dan Karel). In de output van Google Translate stond volgens Hesselp dus "... omdat het voor een reeks meer geïnteresseerd is in de convergentie van de rij v van gedeeltelijke hoeveelheden dan in dat van de reeks." en daar is die constructie met " ... meer geïnteresseerd is in ... dan in ..." wel herkenbaar maar dat heeft Hesselp eruit gehaald. Hiermee is duidelijk dat die vertaling niet deugd. Ook het kopje van deze discussie is misleidend. Ook daar wordt het gepresenteerd als een citaat maar dan in het Nederlands vertaald. In het origineel staat "Serio en matematiko estas vico u, konsiderata kune kun ties vico v de partaj sumoj: ..." Google Translate maakt daarvan "Een reeks in de wiskunde is een reeks u, beschouwd samen met zijn rij v van gedeeltelijke sommen: ..." en bij het kopje werd dat "Een reeks in de wiskunde is een rij, beschouwd samen met zijn rij van partiële sommen" Tsja, waar is in dat zogenaamde citaat dan de 'reeks u' en de 'rij v' gebleven? - Robotje (overleg) 25 mei 2019 08:46 (CEST)Reageren

@Robotje. Ik stel voor om de versie van Google Translate hier maar verder helemaal te vergeten, ook wat de titelzin betreft. Verder blijf ik erg nieuwsgierig naar jouw 'betere' NL-vertaling van de slotzin "La diferenco aperas nur, ...". Met name naar hoe je het 'la diferenco' op een niet-tegenstrijdige manier laat aansluiten op het voorafgaande 'ne ekzistas formala diferenco'. -- Hesselp (overleg) 25 mei 2019 10:08 (CEST)Reageren

Opnieuw: Robotje hoeft geen vertaling te geven. Jij moet zorgen voor een betrouwbare vertaling. The Banner Overleg 25 mei 2019 10:36 (CEST)Reageren

@The Banner. Ook al vind jij dat, ik blijf toch erg nieuwsgierig naar een 'betere' NL-vertaling van die laatste Esperanto-zin. Van Robotje, van jou, of van een ander. -- Hesselp (overleg) 25 mei 2019 14:23 (CEST)Reageren

Tja, gezien jouw tegenstribbelen om met een betrouwbare vertalingen (en bijbehorende bronnen) te komen, teken ik formeel bezwaar aan tegen het gebruik van deze tekst. The Banner Overleg 25 mei 2019 17:11 (CEST) Nog afgezien van het feit dat Wikipedia niet als bron voor Wikipedia kan dienen.Reageren

"een goede definitie voorhanden", "die definitie is er ook" (Bob.v.R, 2015)

Beide zinsneden in het kopje staan in een overlegbijdrage van Bob.v.R, 29 nov 2015 14:51 (CET), in zijn zinnen:
"Ik deel deze perceptie [gekeken moet worden naar wat wiskunde-auteurs bedoelen als ze dat reeks-woord gebruiken] niet, aangezien er een goede definitie voorhanden is, die door bronnen kan worden onderbouwd." en "Eerst moet er een definitie van een reeks worden gegeven (en die definitie is er ook, dus we hoeven daar niet naar te zoeken), ..." .

Dat is (was) weliswaar makkelijk gezegd, maar na meer dan drie jaar vragen wijst nog niets erop dat de stoplappen "uitbreiding van de optelling", "formele som" en "bepaalde combinatie van een rij en z'n somrij" met inhoudelijk ondersteunende bronnen voldoende toegelicht kunnen worden. (Over het "rij-somrij-combinatie" zegt Bob.v.R alleen - 3 dec 2015 21:41 (CET) - dat deze benaming afkomstig is uit het corresponderende artikel op enwikipedia.) -- Hesselp (overleg) 8 mei 2019 18:11 (CEST)Reageren

Een oneindige reeks is in de wiskunde iets anders dan de optelling van eindig veel termen

Bovenstaand kopje zegt hetzelfde als de beginzin van de huidige artikelversie. De mededeling is helemaal waar, alleen bitter weinig informatief. -- Hesselp (overleg) 9 mei 2019 20:42 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

Vormen de driehoeksgetallen een rij of een reeks ?

De driehoeksgetallen staan te boek als de rij A000217 in OEIS. Anderzijds zien velen ze als gevormd uit de optelling van de natuurlijke getallen, en dus zou de aanduiding reeks beter passen. De vraag in het kopje kwam bij me op bij het lezen van deze Franse FUTURA-bron, sectie #5: "Une série, c'est une suite définie d'une façon particulière à partir d'une autre suite, mais cela reste une suite. Réciproquement toute suite peut être définie comme une série.
Il n'y a entre les deux termes qu'une différence de vocabulaire pour désigner le même objet mathématique du point de vue de sa construction."
Een bepaalde rij/reeks heeft toch niet één unieke 'construction' ? -- Hesselp (overleg) 10 mei 2019 17:41 (CEST)Reageren

Een individueel driehoeksgetal is te schrijven als een eindige som. De oneindige rij van driehoeksgetallen is een rij. Bob.v.R (overleg) 10 mei 2019 18:20 (CEST)Reageren

Okee, een rij (dus ook de driehoeksgetallenrij) is een rij. Daar zijn we het gelukkig over eens. Maar zou die, gezien de veelvuldig genoemde en bij velen bekende constructie-wijze van die driehoeksgetallenrij, niet ten minste óók met recht "reeks" genoemd mogen worden?¹

En zou je hier een voorbeeld kunnen noemen van wat volgens jou beslist onder de "reeksen" valt, maar niet onder de "rijen"?² (Misschien het wiskundig object dat jij 'harmonische reeks' noemt?³) -- Hesselp (overleg) 10 mei 2019 19:47 (CEST)Reageren

De rij van driehoeksgetallen is wiskundig gezien een rij. Inderdaad, hierover zijn we het kennelijk eens. Wel bestaat er daarnaast een divergente reeks waarvan de partiële sommen driehoeksgetallen zijn. Reageren op de 2e vraag lijkt me nu niet nodig, Hesselp kent de voorbeelden zelf immers ook. Bob.v.R (overleg) 10 mei 2019 22:32 (CEST)Reageren

A. 'Reageren' betekent hier dus niet 'beantwoorden': op géén van mijn drie vragen (zie toegevoegde nummering) komt een antwoord.

B. De opmerking over een zekere 'divergente reeks' die zou 'bestaan' is niet te interpreteren, behalve wanneer "reeks" hier als synoniem voor "rij" mag worden gelezen. Bedoel je dat laatste, Bob.v.R ? -- Hesselp (overleg) 11 mei 2019 07:49 (CEST)Reageren

Ik kan die opmerking prima interpreteren hoor: Bob.v.R bedoelt de divergente reeks

1+2+3+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }n

, waarvan de partiële sommen driehoeksgetallen zijn. Mvg, Trewal 11 mei 2019 10:33 (CEST)Reageren

Inderdaad Trewal, en zelfs Hesselp kan moeilijk volhouden dat hij niet 'weet' wat een divergente reeks is. Bob.v.R (overleg) 11 mei 2019 14:39 (CEST)Reageren

Op mijn drie genummerde vragen hier komt geen antwoord van Trewal, en opnieuw geen antwoord van Bob.v.R .

Op mijn vraag "Bedoel je dat laatste, Bob.v.R ?" (hier, punt B) lijkt me het antwoord van beide 'ja' te zijn. Want:
waar in een wiskundetekst "divergente reeks" in de praktijk voorkomt, wordt daarmee bedoeld: 'een oneindige getallenrij zonder somlimiet'; ook genoemd: 'een niet-sommeerbare rij'. (Kan iemand tegenvoorbeelden laten zien?)

Het is overigens naar mijn inschatting weinig gangbaar om de aanduiding "reeks" (en niet "rij") te gebruiken buiten situaties waarin de partieelsommenrij en/of de eventuele som van zo'n rij/reeks beschouwd wordt. Ditzelfde geldt voor de twee door Trewal getoonde notatievormen voor een rij/reeks, met plustekens als termscheiders dan wel het sigma-symbool.

Nog op de laatste opmerking van Bob.v.R (hier): In deze overleg-versie heb ik beschreven wat in bronnen te vinden is mbt. 'de betekenis' van 'convergente reeks' (en dus ook z'n pendant 'divergente reeks'). De rol daarin van wat ik zelf over de betekenis pretendeer te weten - en ook wat Bob.v.R daaromtrent pretendeert te weten - dient zo minimaal mogelijk te zijn. -- Hesselp (overleg) 11 mei 2019 20:06 (CEST)Reageren

Of nog iets minimaler. Madyno (overleg) 13 mei 2019 09:21 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

"Natuurlijk is iedere rij een reeks: hij is de somrij van z'n verschilrij."

De zin hierboven staat op blz. 320 van Getallen van natuurlijk naar imaginair (Frans Keune, 2009, Epsilon Uitgaven; wetenschappelijke reeks nr. 65). Ook hier te vinden, na Propositie 14.30. Helaas vermeldt de auteur niet of het omgekeerde ook geldt: is iedere reeks (volgens hem) een rij? Kent hij een voorbeeld van een reeks die niet een rij is?

De zin ervoor luidt: "Een rij die op deze manier [uitgaande van z'n verschilrij] gegeven is noemt men vaak een reeks."
Auteur Keune zal dus met enig recht kunnen zeggen dat de driehoeksgetallenrij ${\textstyle \,({\tfrac {1}{2}}n(n+1)\,)_{n\geq 1}\,}$ vaak reeks genoemd wordt. Maar ik verwacht niet dat hij zal kunnen waarmaken dat de rij ${\textstyle \,({\tfrac {1}{2}}n(n+1)\,)_{n\geq 1}\,}$ een reeks is. Evenmin zal hij kunnen waarmaken dat de rij ${\textstyle \,(\,a(1-r^{n})/(1-r)\,)_{n\geq 1}\,}$ een meetkundige reeks is. (In Definitie 14.33 zegt hij alleen dat die rij 'zo genoemd wordt'. Het is overigens ook geen meetkundige rij.
Er valt dus wel wat af te dingen op de stellige bewering in het kopje. -- Hesselp (overleg) 13 mei 2019 00:02 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

"Merk op dat de reeks Σ_k≥0 a_k iets anders is dan de rij (a_k)_k≥0 ."

Dit staat in punt 3.19 op blz. 54 van het Dictaat Functies en Reeksen door E.P. van den Ban (2015, Universiteit Utrecht).
Het woord "reeks" (of "reeksen") komt op deze pagina 54 acht keer voor. Een expliciete definitie van de losse term ontbreekt. Wel lijkt gezegd te worden dat de (deels verbale, deels symbolische) combinatie "de reeks Σ_k≥0 a_k" hetzelfde betekent als "de partieelsommenrij van de rij (a_k)_k≥0 ".
Dit botst echter met de constatering dat met "de som van de reeks Σ_k≥0 a_k" iets heel anders bedoeld wordt dan met "de som van de partieelsommenrij van de rij (a_k)_k≥0 " .
Valt dit nog op een nette manier recht te breien? Wie? -- Hesselp (overleg) 13 mei 2019 23:25 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

"Onder een reeks ... verstaan we een uitdrukking van de vorm Σ_kεN a_k "

Hierboven constateerde ik dat in dit Dictaat Functies en Reeksen 2015, UU, blz. 54 een expliciete definitie van de losse term ("reeks") ontbreekt. Zo'n definitie blijkt wel te vinden in een aantal eerdere teksten van dezelfde auteur: zie de kopregel.
Die vindplaatsen zijn:
Inleiding Analyse (Opgaven) 2003, UU, blz. 18 regel 1, Inleiding Analyse (Opgaven) 2009, UU, blz. 22 regel 3,
Inleiding Analyse (Dictaat) 2011, UU, blz. 75 regel 17, Def. 4.13, Inleiding Analyse (Opgaven) 2013, UU, blz. 28 regel 3.

Na de definitie-zin volgt tussen haakjes een - met de jaren iets variërende - toelichting:
2003: (Een reeks is zodoende een rij, waarbij de notatie aangeeft dat we de intentie hebben te sommeren.) ,
2009, 2011, 2013: (Een reeks wordt zodoende bepaald door de rij (a_k)_k≥0 van termen, waarbij de notatie aangeeft dat we de intentie hebben te sommeren.) .
De tekst uit 2015 noemt iets dergelijks, nu echter zonder het reeks-woord: We gebruiken de notatie Σ_k≥0 a_k om aan te geven dat we de intentie hebben om de elementen van de rij (a_n) te sommeren. -- Hesselp (overleg) 15 mei 2019 12:41 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

Wel een stamboek voor integer-RIJEN, maar niet voor integer-REEKSEN ?

Waarom bestaat er naast de Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS, in 1964 gestart door N.J.A. Sloane) niet een Online Encyclopedia of Integer Series ? Als ik de termen van de dubbelingsrij 1, 2, 4, 8, 16, ... stap voor stap ga optellen, blijkt het resultaat ook weer in de OEIS te staan: rij nummer A000225. Toch maar stug blijven doorzetten: nog een keer optellen geeft als resultaat de partieelsommen 1, 4, 10, 35, 66, ... Wat blijkt? Die staat niet onder de Integer Sequences vermeld, dus zou ik hier misschien een authentieke reeks te pakken hebben? -- Hesselp (overleg) 15 mei 2019 22:46 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

Bestaan er naast absoluutconvergente REEKSEN, ook absoluutconvergente RIJEN ?

(Gesteld dat met "reeks" iets anders bedoeld wordt dan met "rij".) Zo nee, waarom zou een rij niet diezelfde eigenschap kunnen hebben? En zo ja, wie kan er een voorbeeld geven van een absoluutconvergente rij? -- Hesselp (overleg) 17 mei 2019 15:12 (CEST)Reageren

'Diezelfde' eigenschap lijkt me niet nauwkeurig geformuleerd, aangezien reeks en rij niet hetzelfde zijn. Vermoedelijk bedoelt Hesselp te vragen of je bij een rij ook 'absolute convergentie' zou kunnen definiëren, wat dan dus iets anders is dan absolute convergentie bij een reeks. Ik kan zo'n definitie bij een rij wel bedenken, maar ik weet op dit moment niet of daar ook bebronde voorbeelden van bestaan. Bob.v.R (overleg) 18 mei 2019 07:33 (CEST)Reageren

Bob.v.R schrijft (zonder kapitalen): "aangezien reeks en rij NIET hetzelfde ZIJN". Is dat "NIET" wel hard te maken?

Over de gebruiksbetekenis van "rij" door wiskundigen is weinig of geen discussie: een 'afbeelding op N'.

Voor de betekenis van "reeks" (in de wiskunde) biedt het huidige WP-artikel de keuze uit drie: (1) iets anders dan een gewone optelling, (2) formele som, (3) een bepaalde combinatie van een rij en z'n somrij. Voor geen ervan worden bewijsplaatsen genoemd in gebruikssituaties. Ze zijn mij ook niet bekend.

Zowel het woord "rij" als het woord "reeks" (in een wiskunde-tekst) zijn te lezen als "afbeelding op N". Onder de 'termen', de 'partieelsommen', de 'somrij', de 'sommeerbaarheid' en de 'som' ervan wordt bij beide woorden precies hetzelfde verstaan. Alleen mbt. "convergent" (en "convergeren") is er een historisch gegroeid nomenclatuur-verschil. Samen met "reeks" dient het gelezen als somconvergent, en met "rij" als termconvergent. Voor bewijsplaatsen zie [15] bij de noten 14-17.

Dan nog "absoluutconvergent". Zegt dit adjectief iets over de door (1) of (2) of (3) bedoelde betekenis van "reeks"?

Ik zou niet weten welke betekenis iemand bij "absoluutconvergente rij" zou willen bedenken dan: een getallenrij (met algemene term

{\textstyle t_{n}}

) waarvoor geldt dat de rij

{\textstyle \,|t_{1}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|{+}|t_{3}|,\,\cdots \,}

een limiet heeft.

Vervanging van "rij" door "reeks" geeft de meer gebruikelijke definitie-zin. -- Hesselp (overleg) 18 mei 2019 10:30 (CEST)Reageren

Bij "rij" is vanzelfsprekend ook een veel minder vergezochte definitie van 'absoluut convergent' te bedenken dan Hesselp hier doet, maar dat terzijde. Voor zover ik weet heeft men absolute convergentie wel gedefinieerd voor een reeks en niet voor een rij. Bob.v.R (overleg) 18 mei 2019 11:11 (CEST)Reageren

Bij: "een veel minder vergezochte definitie". Het "een getallenrij (met algemene term ${\textstyle t_{n}}$ ) waarvoor geldt dat de rij ${\textstyle \,|t_{1}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|{+}|t_{3}|,\,\cdots \,}$ een limiet heeft." geldt woordelijk hetzelfde voor een rij die je "reeks" noemt als voor een rij die je "rij" noemt. Dus precies even veel of even weinig 'vergezocht'.

Bij: "wel voor een reeks, niet voor een rij". Voor de zoveelste keer laat je na te vermelden waar in het taalgebruik van wiskundigen het volgens jou aanwezige betekenisverschil zou zitten. En kom nou niet weer met "dat heb ik al zo vaak uitgelegd", of met "dat staat in ieder goed boek". Het zou best eens kunnen dat er Arbcom-leden zijn die dat hier liefst door jouzelf geformuleerd willen zien.

Dit kopje betreft de eigenschap 'absoluutconvergentie'. Dat is een eigenschap die een oneindige getallenrij kan bezitten (het somhebbend zijn van z'n absolutewaardenrij"). Dat 'kan bezitten van die eigenschap' staat los van de naam die je er voor wenst te gebruiken. Omdat het hier een 'somhebbendheid' betreft, wil de traditie dat de betrokken rij de oude naam "reeks" krijgt/houdt. -- Hesselp (overleg) 18 mei 2019 17:19 (CEST)Reageren

Het betekenisverschil tussen 'rij' en 'reeks' blijkt uit de artikelen, daar hebben de leden van de ArbCom de overlegpagina's niet voor nodig. Verder maakt Hesselp hier een wel erg kromme figuur (wellicht is hij een fan van Willem van Hanegem) om zijn eigen framing vol te kunnen houden. Ik doel hier op de verzameling woorden "de eigenschap 'absoluutconvergentie'. Dat is een eigenschap die een oneindige getallenrij kan bezitten (het somhebbend zijn van z'n absolutewaardenrij")". Hesselp maakt er hier doelbewust een rommeltje van. Een rij (getallen, functies, of andere objecten) kan convergent zijn, d.w.z. dat de waarden willekeurig dicht naderen tot een zekere limiet. Het somhebbend zijn van de rij van absolute waarden formuleren we binnen de wiskunde als volgt: de reeks die behoort bij de genoemde rij is absoluut convergent. Maar Hesselp weet dit zelf ook wel, dus deze woordenwisseling is meer voor de Bühne. Bob.v.R (overleg) 18 mei 2019 19:43 (CEST)Reageren

De voorlaatste zin van Bob.v.R vul ik op twee plaatsen aan, met vette letters:

"Het somhebbend zijn van de rij van absolute waarden van een gegeven RIJ formuleren we binnen de wiskunde als volgt: de reeks (de 'iets anders dan de gegeven optelling'?, of de 'formele som'?, of de 'bepaalde combinatie van een rij en z'n somrij'?) die behoort bij de genoemde rij is absoluut convergent."

De eerst toevoeging laat zien dat het ook volgens Bob.v.R om een eigenschap van een RIJ gaat. De tweede (net als zijn beginzin) dat Bob.v.R wil vasthouden aan een soort mystieke (nieuwe-kleren-van-de-keizer) status van dat woord reeks. -- Hesselp (overleg) 18 mei 2019 20:48 (CEST)Reageren

Samengevat: Hesselp stelde een vraag, ik gaf een antwoord op die vraag, en de rest was een kinderachtig spelletje. Bob.v.R (overleg) 19 mei 2019 02:00 (CEST)Reageren

Voor meelezers: uit de divergente rij 1, -1, 1, -1, 1, ... zou men de convergente rij 1, 1, 1, 1, 1, ... kunnen afleiden, maar ik ken geen bron waarin men aan deze eigenschap een definitie heeft gekoppeld. Bob.v.R (overleg) 19 mei 2019 04:06 (CEST)Reageren

Nog eens, voor diezelfde meelezers. Bob.v.R zegt in zijn voorlaatste zin hier (zonder gekruiste volgorde):

Het somhebbend zijn van de rij van absolute waarden van een gegeven rij

wordt ook geformuleerd als:

het absoluut convergent zijn van de reeks die behoort bij de genoemde gegeven rij.

De met "het absoluut convergent zijn" aangeduide eigenschap is dus wel degelijk een eigenschap van de 'genoemde gegeven RIJ'. Dat het convergent gelezen dient als somconvergent (somhebbend) wordt ook hier aangegeven door de keuze voor het synoniem "reeks" in plaats van "rij". -- Hesselp (overleg) 20 mei 2019 17:03 (CEST)Reageren

Voor de meelezers: mocht u deze redenering van Hesselp krom en misleidend vinden: dit ligt niet aan u en ook niet aan uw device. Bob.v.R (overleg) 21 mei 2019 00:04 (CEST)Reageren

Niet voor iedereen duidelijk genoeg? Daarom de volgende vraag. Hoe zou Bob.v.R's voorlaatste zin

<Het somhebbend zijn van de rij van absolute waarden formuleren we binnen de wiskunde als volgt: de reeks die behoort bij de genoemde rij is absoluut convergent.>, anders te lezen zijn dan als:

<Een oneindige getallen-rij (eertijds veelal "reeks") waarvan de absolute termwaarden een somhebbende rij vormen, wordt vaak een absoluut convergente reeks genoemd.> ? (Waarbij het oudere "reeks" voor "rij" aangeeft dat "convergent" gelezen dient als "somconvergent / somhebbend".) -- Hesselp (overleg) 21 mei 2019 13:15 (CEST)Reageren

Watte? Heb jij ook bronnen voor jouw interpretatie? The Banner Overleg 21 mei 2019 13:49 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

Bestaan er naast fundamentaalRIJEN ook fundamentaalREEKSEN?

Georg Cantor beschreef rond 1870 reële getallen als equivalentieklassen van (Cauchyconvergente) rijen. Of ... "reeksen"? Bronnen, op jaartalvolgorde, geven:
Fundamentalreihe, 1900, D. Hilbert, Problem 2, regel 40
Série fondamentale, 1902, vertaling van de Hilbert-tekst door E. Duporcq, blz. 74, regel 2
Fundamental sequence, 1902, vertaling van de Hilbert-tekst door M.W. Newson, sectie 2, regel 27
Fundamentalreihe, 1903, F.L.G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik, Band 2, blz. 88-89, par. 77
Fundamentaalreeks, 1912, L.E.J. Brouwer, Intuïtionisme en Formalisme Inaugurale rede, blz. 16, regel 11-12
Fundamentaalreeks, 1929, H.J.E. Beth, De ontwikkeling van het getalbegrip bij het MVHO, blz. 283, regel 22
Suite fondamentale, 1960, N. Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, blz. 181, regel 25-26
Fundamentalfolge, 1971, vertaling van Bourbaki door A. Oberschelp, blz. 171
Fundamental sequence, 1994, vertaling van Bourbaki door J. Meldrum, blz. 145, regel 22
De geleidelijke verschuiving van fundamentaalreeks naar fundamentaalrij - met dezelfde betekenis - in deze bronnen, sluit aan bij de beginzin in dit concept. -- Hesselp (overleg) 20 mei 2019 17:10 (CEST)Reageren

Weet je, Hesselp, misschien ben je wel een reïncarnatie van Cantor. Madyno (overleg) 20 mei 2019 18:01 (CEST)Reageren

Bezwaar - onduidelijk The Banner Overleg 27 mei 2019 13:23 (CEST)Reageren

Tja...

Bestaan er ook korte voorstellen voor tekstwijzigingen of alleen eindeloze onleesbare verhalen? De standaard is dat degene die een tekst wil wijzigen dat onderbouwt op een duidelijke wijze. Leeslijsten zijn geen serieuze onderbouwingen. The Banner Overleg 20 mei 2019 17:28 (CEST)Reageren

"Pourqoi ne pas voir l'ensemble des series numériques réelles comme étant exactement l'ensemble des suites réelles ?"

De vraag in bovenstaand kopje (Waarom beschouwen we de verzameling van de reeksen niet als samenvallend met de verzameling van de getallenrijen?) komt voor in een uitgebreide forum-discussie (in 2011) onder de titel Définition de la notion de série numérique. Zie hier, bijdrage 16 ('Merlin') .

Ook bijdrage 12 (van 'JLT' Administrateur) in dezelfde discussie is opmerkelijk: Kunnen we niet beter de door Bourbaki in 1942 bedachte rij-somrij-koppels (séries gedoopt), vervangen door koppels van een rij en de lege verzameling ?
Dit was in reactie op bijdrage 11 ('gerardo') met: ..c'est vraiment idiot de définir la série par deux suites dont l'une se fabrique naturellement à partir de l'autre. Tout ça pour différencier la série de la suite. ('t is toch waarlijk idioot om de reeks te definiëren met twee rijen waarvan de ene uit de andere te maken is. Allemaal alleen om verschil te maken tussen een reeks en een rij.) -- Hesselp (overleg) 23 mei 2019 10:56 (CEST)Reageren

Een forum is geen betrouwbare bron, sorry. The Banner Overleg 23 mei 2019 12:03 (CEST)Reageren

Welke onderdelen in de 'overlegversie 2 mei 2019' lijken onvoldoende met bronnen onderbouwd?

Laatste bericht: 5 jaar geleden19 berichten5 personen in overleg

In de tekst van het eerder op deze pagina getoonde 'overzicht' (de uitklapper in sectie 7) heb ik inmiddels, mede nav. op- en aanmerkingen van mede-overleggers, een flink aantal wijzigingen en aanvullingen aangebracht.
Mijn vraag aan volgers van deze pagina is nu weer: welke onderdelen in deze overlegversie 2 mei 2019 zijn nu nog onvoldoende door bronnen onderbouwd om te voldoen aan de Wikipedia-standaard? En daarnaast de vraag: zijn er met bronnen onderbouwde onderdelen in de huidige artikelversie die niet aan de orde komen in het alternatief? Zo, ja, welke?

Ik kijk nog naar Madyno's bijdrage Analyse van 12 april 2019. In z'n vijfde zin zegt hij (eigen pov?) "Ik denk dat iedereen het daarmee [het in de wiskunde gemaakt worden van onderscheid tussen een begrip dat rij genoemd wordt, en een ander begrip dat reeks genoemd wordt] eens is". En ook zegt hij, in deze bijdrage van 14 april 2019 (terecht): "als encyclopedie ontkom je niet aan de vermelding van wat gangbaar is".
Hetgeen Madyno aanduidt met 'een ander begrip' blijkt nu iets te zijn waar al zeer velen min of meer hun tanden op stukgebeten hebben; zie de zeer uiteenlopende beschrijvingspogingen in sectie-6 van mijn overlegversie. (Het beschrijven van de inhoud van dat 'andere begrip' met de woorden "een oneindige som", is - helaas - een schijnoplossing; want de ~~poging~~ pogingen om te beschrijven wat met 'oneindige som' bedoeld zou kunnen zijn, zijn even divers en omstreden.) De vraag of dat 'andere begrip' waar Madyno aan denkt nu wel of niet echt bestaat, lijkt me in deze situatie een filosofische.
De diversiteit aan beschrijvingspogingen voor de inhoud van dat 'andere begrip' lijkt me belangrijk genoeg om in de artikeltekst aan de orde te komen. Daarnaast is een ieder die in Wikipedia probeert te vinden hoe hij het woord reeks in een wiskunde-tekst kan interpreteren, geholpen met de eerste twee zinnen van mijn voorstel. Waar dan nog direct bij vermeld dient, dat het met 'rij' en 'reeks' nauw samenhangende woord convergent - eveneens helaas - voor twee duidelijk verschillende eigenschappen van de termenrij kan staan. Dat is (zolang 'sommeerbare rij' niet door iedereen gebruikt wordt) heel gangbaar. -- Hesselp (overleg) 2 mei 2019 20:28 (CEST)Reageren

Het is teveel gevraagd om te verwachten dat andere gebruikers je hele tekst doornemen, terwijl er al een bestaande artikeltekst is die niet aantoonbaar fout is. Beter volg je dit advies op. Tot die tijd maak ik bezwaar tegen de voorgestelde tekst. Brimz (overleg) 4 mei 2019 15:15 (CEST)Reageren

@Brimz. Madyno laat hier, in zin 7, blijken dat het hem onduidelijk is wat wiskundigen bedoelen bij het gebruiken van het woord reeks. Dat doet de huidige tekst (in ieder geval in zijn ogen) ontoereikend (en mijns inziens dus ook fout) zijn. Dit lijkt mij een punt dat moderator Encycloon zal beschouwen als iets waar partijen het relatief makkelijk over eens kunnen zijn. Ja? -- Hesselp (overleg) 4 mei 2019 23:06 (CEST)Reageren

Misschien wordt een keer tijd dat Hesselp eindelijk eens aan de overige gebruikers duidelijkheid verschaft over wat hij eigenlijk beoogt met zijn uitklaptekst? Bob.v.R (overleg) 5 mei 2019 06:46 (CEST)Reageren

Bij plaatsing artikeltekst 23 mei 2019

Mijn vraag hierboven: "Welke onderdelen...onvoldoende...onderbouwd?" heeft noch op deze overlegpagina, noch op WP:OV tot inhoudelijke reacties geleid. Daarom meen ik niet in strijd te handelen met door de Arbitragecommissie op mij van toepassing verklaarde Maatregelen, dan wel met gangbaar gebruik binnen Wikipedia, door het plaatsen van een uitbreiding / herformulering van het WP-lemma 'Reeks (wiskunde)'. Zwaar onderbouwd met bronnen die voornamelijk hier in detail vermeld staan; dit in tegenstelling tot de eerdere versie waarbij voor de betekenisbeschrijvende aanduidingen ('uitbreiding van de gewone optelling', 'formele som', 'bepaalde combinatie van een rij en z’n somrij') voor wat wiskundigen bedoelen bij het gebruik van het woord "reeks", geen enkele relevante bron te vinden is. -- Hesselp (overleg) 23 mei 2019 17:02 (CEST)Reageren

Ik stel vast dat Hesselp doelbewust handelde in strijd met Maatregel 3 van de ArbCom-uitspraak en met de Adviezen 1 en 3 uit deze zelfde uitspraak. Bob.v.R (overleg) 23 mei 2019 19:00 (CEST)Reageren

@Bob.v.R, Of jij dat meent zo te zien, lijkt me wat minder relevant dan de opvatting hieromtrent van de Arbcom. Vraag jij ze ernaar, of zal ik dat doen? -- Hesselp (overleg) 24 mei 2019 10:41 (CEST)Reageren

@Hesselp: ik zie dat er inmiddels een blokkadeverzoek tegen je loopt. De moderatoren kunnen nu dus de ArbCom-maatregelen nog eens lezen, en bevestigen dat je geen bewerkingen van anderen ongedaan mag maken. Bob.v.R (overleg) 24 mei 2019 13:15 (CEST)Reageren

Ten tweede was bij het door jou geciteerde voorstel niet duidelijk dat het ging om een voorstel tot wijzigingen in de hoofdnaamruimte, dus dan mag je ook geen conclusies trekken uit het al of niet ontvangen van reacties. Bob.v.R (overleg) 24 mei 2019 13:20 (CEST)Reageren

@Bob.v.R: Bij je 'ten tweede'. Ik heb je, op jouw verzoek, meermalen gewezen op het pal boven dat 'geciteerde voorstel' staande "Bij het gebruik van dit overzicht als lemma-tekst, zal een groot deel van die bronnen waarschijnlijk achterwege kunnen blijven." Zie hier, 25 mrt 2019 11:57‎. Waarom zou dat, zeker in de context op die overleg-pagina, "niet duidelijk" genoeg zijn?. -- Hesselp (overleg) 24 mei 2019 20:39 (CEST)Reageren

Omdat weinig mensen jouw brij nog door willen spitten om te zien of er toevallig ook nog verwijzingen zijn naar andere secties. Er is jou vaak genoeg verteld dat teksvoorstellen concreet moeten zijn, geen spaghettiwerk. The Banner Overleg 24 mei 2019 22:21 (CEST)Reageren

Daarbij komt de eerdere weigering om duidelijk te maken wat de bedoeling was, ook na herhaalde verzoeken, zie hier. Het dan na al die vaagheid via een onopvallende bijzin 'Bij het gebruik van dit overzicht als lemma-tekst' de aap uit de mouw laten komen, als de meeste gebruikers, zoals ook The Banner terecht opmerkt, inmiddels allang afgehaakt zijn, doet de vraag rijzen waarom die duidelijkheid dan niet van aanvang af werd geboden. Bob.v.R (overleg) 25 mei 2019 06:41 (CEST)Reageren

Ik ben niet zo zeer afgehaakt als wel dat ik de neiging heb standaard bezwaar aan te tekenen tegen elk wijzigingsvoorstel dat niet kort, duidelijk en met recente bronnen onderbouwt is. Spaghettievoorstellen zijn nimmer duidelijk. The Banner Overleg 25 mei 2019 21:13 (CEST)Reageren

Ik heb nergens een kort, duidelijk, met recente bronnen onderbouwt wijzigingsvoorstel gezien. Ik ben het eens met Bob dat dit opnieuw een onbeleefd handgebaar is richting ArbCom en gemeenschap. The Banner Overleg 23 mei 2019 19:06 (CEST)Reageren

Het woord "reeks" verklaard (?) met "formele som"

In deze (op 23 mei door Madyno teruggeplaatste) versie, wordt in de sectie Definitie de betekenis van "reeks" als verklaard beschouwd middels het noemen van het (niet toegelichte en niet bebronde) woordpaar "formele som".
Een lezer die wil weten wat dat is, zou kunnen uitkomen bij WPen, waar de sectie Formal power series begint met (onderstrepimg toegevoegd): "While many uses of power series refer to their sums, it is also possible to treat power series as formal sums, meaning that no addition operations are actually performed, and the symbol "+" is an abstract symbol of conjunction which is not necessarily interpreted as corresponding to addition."

Veel duidelijker lijkt het me om te constateren dat het reeks-rij-onderscheid in het gangbare gebruik door wiskundigen, alleen zit in één nomenclatuur-punt (zie hierna) en in een notatie-gewoonte.

Als voor een oneindige getallenrij (afbeelding op N) het woord reeks (Reihe, series, série) gebruikt wordt, wijst "convergent" op een partieelsommen-limiet.
En als het - vanaf rond 1900 naast "reeks" opgekomen - woord rij (Folge, sequence, suite) gebruikt wordt, wijst "convergent" op een termen-limiet. -- Hesselp (overleg) 26 mei 2019 11:00 (CEST)Reageren

Op tweevoudig verzoek enige nadere accentueringen toegevoegd. -- Hesselp (overleg) 27 mei 2019 12:53 (CEST)Reageren

Bezwaar onleesbare spaghetti-breiwerk The Banner Overleg 26 mei 2019 22:11 (CEST)Reageren

Aangezien de verduidelijkingen gewoon in de brij zijn aangebracht en niet als een nieuw voorstel zijn ingebracht, handhaaf ik mijn bezwaar. Blijkbaar is het erg moeilijk een duidelijk kort en duidelijk voorstel te maken. The Banner Overleg 27 mei 2019 12:57 (CEST)Reageren

Bezwaar onleesbare Hessel-brij Madyno (overleg) 26 mei 2019 22:44 (CEST)Reageren

Welke onderdelen in de op 23 mei 2019 geplaatste artikeltekst lijken onvoldoende onderbouwd ?

De vraag in het kopje betreft de tekstversie:

Reeks (wiskunde) 23 mei 2019 15:04

Oneindige reeks of kortweg reeks is in de wiskunde een oudere, ten dele door 'rij' vervangen, naam voor: een oneindige rij met getallen^[1] als termen.
"Reeks" heeft de voorkeur behouden in onder meer: 'reeksvoorstelling van een getal'^[2], 'reeksontwikkeling van een functie', 'taylorreeks', 'fourierreeks', 'machtreeks' en 'binomiaalreeks'; bij veel auteurs ook in andere situaties waarin de partieelsommenrij en/of de eventuele som van zo'n getallenrij beschouwd wordt.
De dubbele betekenis van 'convergent' en 'convergeren' ^[3] leidt tot onregelmatige nomenclatuur en meerduidige notaties.

De studie van reeksen/rijen had aanvankelijk (18e eeuw) als hoofddoel het vinden van willekeurig scherpe rationale benaderingen voor de waarde van niet-rationale grootheden, en wel door opsplitsing in oneindig veel (snel genoeg klein wordende) breuk-getallen.

Onregelmatig woordgebruik

'Convergente (termconvergente) rij' naast 'convergente (somconvergente) reeks'

Het gangbare taalgebruik, ook buiten het Nederlands^[4], maakt betekenisverschil tussen enerzijds 'convergente rij' (soms: 'convergerende rij' ) en anderzijds 'convergente reeks' (soms: 'convergerende reeks' ) .
In deze combinaties gaat het bij het woord 'rij' om het convergeren van de aparte termen ( ${\textstyle \,t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\cdots \,}$ ), en bij het woord 'reeks' om het convergeren van de samengenomen termen (de partiële sommen ${\textstyle \,t_{1},\ t_{1}{+}t_{2},\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3},\,\cdots \,}$ ).
Ofwel: 'rij' + 'convergent' duidt op een termlimiet, en 'reeks' + 'convergent' op een somlimiet.

'Sommeerbare rij' naast 'sommeerbare reeks'

Vanaf het midden van de 20e eeuw wordt een rij waarvan de partieelsommem convergeren, ook "sommeerbare rij " genoemd. Het woord 'convergent' komt bij die auteurs uitsluitend voor in de combinatie 'convergente rij'.

'Sommeerbare reeks' komt al eerder voor, als benaming voor een getallenrij waarvan de partieelsommen geen limiet hebben maar waar de een of andere alternatieve 'sommatiemethode' wel tot een limiet leidt: Cesàro-sommeerbaar, Abel-sommeerbaar, Borel-sommeerbaar en andere.^[5]

'Komma-notatie' naast 'plusteken-notatie'

Voor schriftelijke notaties geldt het volgende:
Als een oneindige getallenrij 'rij' genoemd wordt, is gebruikelijk^[6]:
$\quad t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\cdots \quad \ \$ of $\quad t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\cdots ,\,t_{n},\,\cdots \quad \quad$ of $\quad (t_{n})_{n=1,2,\cdots }$
en als een oneindige getallenrij 'reeks' genoemd wordt:
$\quad t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots \quad$ of $\quad t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots {+}t_{n}{+}\cdots \quad$ of $\quad \Sigma \,t_{n}\,$ .

Meerduidige formulevormen

De vorm ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}$ (of ${\textstyle \,\sum _{n=1,2,\cdots }t_{n}\,}$ of $\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots \,$ of $\ t_{1}{+}t_{2}{+}\cdots {+}t_{n}{+}\cdots \,$ ) kan drie dingen betekenen:
(1) de limiet van de somrij (rij van partiële sommen) van de rij ${\textstyle \,(t_{n})\ }$ , (2) de somrij van de rij ${\textstyle \,(t_{n})\,}$ , (3) de rij ${\textstyle \,(t_{n})\,}$ zelf.

Voorbeeld:

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

is de som van

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

indien

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

convergeert

staat voor

het getal

{\textstyle \,\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}t_{n}\,}

is de som van de rij

{\textstyle \,t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\cdots \,}

indien de rij

{\textstyle \,t_{1},\ t_{1}{+}t_{2},\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3},\,\cdots \,}

convergeert

en met de haakjes-notatie voor rijen

het getal

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

is de som van de rij

{\textstyle \,(t_{n})_{n}\,}

indien de rij

{\textstyle \,(\sum _{n=1}^{k}t_{n})_{k}\,}

convergeert.

Absolute sommeerbaarheid van een rij, absolute convergentie van een reeks

Een getallenrij/reeks (algemene term ${\textstyle t_{n}}$ ) waarvoor geldt dat de rij ${\textstyle \,|t_{1}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|{+}|t_{3}|,\,\cdots \,}$ een limiet heeft, wordt traditioneel een absoluut convergente reeks genoemd; meer recent ook wel een absoluut sommeerbare rij. Een dergelijke rij is zelf eveneens sommeerbaar en de som blijft onveranderd onder welke permutatie van de termen dan ook.

Termen van een rij/reeks, som van een rij/reeks, limiet van een rij

In combinatie met "de termen van de . . ." of met "de som van de . . ." maakt "rij met algemene term tn" dan wel "reeks met algemene term tn" geen verschil in betekenis. Hetzelfde geldt voor "de partieelsommen van de . . ." , "de somrij van de . . ." , "het somhebbend zijn van de . . ." .

In combinatie met "de limiet van de . . ." wordt voornamelijk "rij" gebruikt. Want bij "reeks" kan er twijfel zijn of het om de limiet van de termen of om de limiet van de partieelsommen gaat, een duidelijke conventie op dit punt ontbreekt.

Cauchyproduct van twee rijen/reeksen. Stelling van Mertens

Onder het cauchyproduct van een rij/reeks met algemene term ${\textstyle a_{n}}$ en een rij/reeks met algemene term ${\textstyle b_{n}}$ , verstaat men de rij/reeks met algemene term ${\textstyle \,a_{1}b_{n}{+}a_{2}b_{n-1}{+}\cdots {+}a_{n}b_{1}\,}$ .
Stelling van Mertens: Als van twee rijen/reeksen de ene het getal A als som heeft en de andere het getal B, en (minstens) een van beide is absoluut sommeerbaar / absoluut convergent, dan heeft het cauchyproduct van die rijen het getal A×B als som.

Vroeger anders

Voor een rij met een termen-limiet waren tot rond het eind van de 19e eeuw de benamingen 'convergente rij', 'convergent sequence', 'convergente Folge', niet gebruikelijk (het Franse 'suite convergente' komt in deze betekenis wel al wat eerder voor). Men sprak - zoals ook nu nog - van "het naar een limiet streven van de termen" of ook van "het naar een limietwaarde convergeren" van de termen.

Tot in het begin van de 19e eeuw komt 'convergente (convergerende) reeks' voor als aanduiding voor een rij getallen met 0 als limiet, een nulrij. Gauss heeft expliciet gewezen op het meerduidige gebruik van 'convergente reeks'.^[7]

In het verleden werd met 'sommeerbare reeks' en 'niet-sommeerbare reeks' ook wel het al dan niet bestaan van een 'gesloten vorm' voor de partieelsommen-limiet bedoeld. Waarbij het gesloten vorm geleidelijk aan een ruimere interpretatie kreeg.

Grote variatie in beschrijvingen van wat met "oneindige reeks" bedoeld kan zijn

De geleidelijke, eind 19e eeuw begonnen, betekenisverschuiving van de woorden "convergent" en "convergeren" - van somlimiethebbend naar termlimiethebbend - heeft geleid tot een enorme verscheidenheid aan pogingen om 'de' betekenis van de aanduiding "oneindige reeks" vast te leggen. De volgende varianten zijn het vaakst in de (leerboeken-)literatuur te vinden:
- een vorm met een aanduiding van een oneindige getallenrij en met optel-tekens en enzovoort-puntjes (maar zo'n 'reeksvorm' kan zelf niet convergent of divergent zijn);
- een rij met als termen de partieelsommen van z’n verschilrij (maar dat geldt voor élke rij);
- een termenrij in combinatie met z’n partieelsommenrij (de door de Bourbaki-groep in 1942 bedachte rij-somrij-koppels, séries genaamd, hebben als enige doel de twee betekenissen van "convergent" te scheiden).

Literatuur

Encyclopédie de Diderot et d'Alembert, 1751-1772. Voor het uitgebreide lemma 'SÉRIE ou SUITE', geschreven door Jean le Rond d'Alembert, zie tome XV (1765) blz. 93. Een becommentarieerde versie staat hier.
M.J. Belinfante, Bijvoegsel van het NTvW, 1925 jrg. 1 - 4, blz. 142-160 (Convergentie en som van oneindige Reeksen)
E.J. Dijksterhuis, Bijvoegsel van het NTvW, 1927 jrg. 3 - 3/4, blz. 92-101 (over reeksen: blz. 98-101)
P.G.J. Vredenduin, Euclides, 1959 jrg. 35 - 2, blz. 49-78 (over reeksen: blz. 57-59)
P.G.J. Vredenduin, F. van der Blij, Euclides, 1967 jrg. 43 - 1, blz. 22-23 (Korrel CXL Rij en reeks)
A. Van Rooij, Nieuw Archief voor Wiskunde vijfde serie, 2009 jrg. 10 - 1, blz. 62-63 (rubriek De derde wet)
'Reeks'-loze analyseboeken (zonder de traditionele naam 'reeks' voor een rij in sommatie-contexten)
- A. van Rooij, Analyse voor Beginners, 1e druk 1986, Epsilon uitgave nr. 6 (par. 8: Sommatie)
- B. Kaper, H. Norde, Inleiding in de analyse, 1e druk 1996, Academic Service (par. 11: Sommeerbaarheid van een rij)
Mathematics Educators Stack Exchange (Vragen over de didactiek rond 'reeksen'.)
- How can I teach my students the difference between a sequence and a series? maart 2014
- For calculus students, what should be the intuition or motivation behind series? april 2014
- Whats the difference between a series and sequence? mei 2016
Les Mathématiques net, 2011, forumdiscussie over de Definition de la notion de série numérique .

Bronnen, noten en/of referenties

↑ Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies
↑ Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ . Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal.
Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ :
– kettingbreuk-voorstelling, als limiet van de 'getrapte breuken'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}1/(a_{2}{+}1/(\cdots {+}a_{n})/n\,}$
– oneindigproduct-voorstelling, als limiet van de 'partieelproducten'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \,\cdots \,\cdot a_{n})\,}$
– cesàrosom-voorstelling, als limiet van de gemiddelde partieelsommen; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,}$ .
↑ (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet; en ook nog (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.
↑ Vertalingen van 'reeks' zijn: Frans série, Engels series, Duits Reihe. En van 'rij': série, series, Folge.
↑ Zo'n alternatieve som dient overeen te komen met de 'gewone' som, bij toepassing op een 'gewoon' sommeerbare rij.
↑ Vaak krijgt de beginterm index 0 in plaats van 1, ter vereenvoudiging van de formule voor de algemene term.
↑ C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenz-werthe".

Een uitvoerige onderbouwing van bovenstaande artikeltekst wordt gegeven door de bronnen als vermeld in de navolgende uitklapper (gedeeltelijk doorgestreepte verwijzingen dienen gezien als achtergrond-toelichtingen, niet als 'betrouwbare bronnen' als gewenst in Wikipedia):

Onderbouwing van artikeltekst 23 mei 2019 15:04

Reeks (wiskunde) - overleg-versie 2 mei 2019

Laatste bericht: 5 jaar geleden14 berichten5 personen in overleg

0 Oneindige reeks of kortweg reeks is in de wiskunde een oude, ten dele door 'rij' vervangen, naam voor: een oneindige rij met getallen^[1] als termen. ^[2] ^[3] ^[4] ^[5] ^[6] ^[7] ^[8] Reeks heeft de voorkeur behouden in onder meer: 'reeksvoorstelling van een getal' ^[9], 'reeksontwikkeling van een functie', 'taylorreeks', 'fourierreeks', 'machtreeks' en 'binomiaalreeks'; bij veel auteurs ook in andere situaties waarin de partieelsommenrij en/of de eventuele som van zo'n rij beschouwd wordt.^[10]
De dubbele betekenis van 'convergent' en 'convergeren' ^[11] leidt tot onregelmatige nomenclatuur en meerduidige notaties.

1 Onregelmatig woordgebruik^[12]
1.1 'Convergente (termconvergente) rij' naast 'convergente (somconvergente) reeks'
Het gangbare taalgebruik, ook buiten het Nederlands^[13], maakt betekenisverschil tussen enerzijds 'convergente rij' ^[14] (soms: 'convergerende rij' ^[15]) en anderzijds 'convergente reeks' ^[16] (soms: 'convergerende reeks' ^[17]) .
In deze combinaties gaat het bij het woord 'rij' om het convergeren van de aparte termen ( ${\textstyle \,t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\cdots \,}$ ), en bij het woord 'reeks' om het convergeren van de samengenomen termen (de partiële sommen ${\textstyle \,t_{1},\ t_{1}{+}t_{2},\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3},\,\cdots \,}$ ).
Ofwel: 'rij' + 'convergent' duidt op een termlimiet, en 'reeks' + 'convergent' op een somlimiet.

1.2 'Sommeerbare rij' naast 'sommeerbare reeks'
Vanaf het midden van de 20e eeuw wordt een rij waarvan de partieelsommem convergeren, ook "sommeerbare rij " genoemd.^[18] ^[19] Het woord 'convergent' komt bij die auteurs uitsluitend voor in de combinatie 'convergente rij'.

'Sommeerbare reeks' komt al eerder voor, als benaming voor een getallenrij waarvan de partieelsommen geen limiet hebben maar waar de een of andere alternatieve 'sommatiemethode' wel tot een limiet leidt^[20]: Cesàro-sommeerbaar, Abel-sommeerbaar, Borel-sommeerbaar en andere.^[21]

1.3 'Komma-notatie' naast 'plusteken-notatie'^[22]
Voor schriftelijke notaties geldt het volgende:
Als een oneindige getallenrij 'rij' genoemd wordt, is gebruikelijk^[23]:
$\quad t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\cdots \quad \ \$ of $\quad t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\cdots ,\,t_{n},\,\cdots \quad \quad$ of $\quad (t_{n})_{n=1,2,\cdots }$
en als een oneindige getallenrij 'reeks' genoemd wordt:
$\quad t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots \quad$ of $\quad t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots {+}t_{n}{+}\cdots \quad$ of $\quad \Sigma \,t_{n}\,$ ^[24] .

2 Meerduidige notatie
De formulevorm ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}$ kan, net als de vormen $\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots \$ en $\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots {+}t_{n}{+}\cdots \,$ , drie dingen betekenen:
(1) de limiet van de somrij (rij van partiële sommen) van de rij ${\textstyle \,(t_{n})\ }$ , (2) de somrij van de rij ${\textstyle \,(t_{n})\,}$ , (3) de rij ${\textstyle \,(t_{n})\,}$ zelf.
Voorbeeld:

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

is de som van

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

indien

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

convergeert

staat voor

het getal

{\textstyle \,\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}t_{n}\,}

is de som van de rij

{\textstyle \,t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\cdots \,}

indien de rij

{\textstyle \,t_{1},\ t_{1}{+}t_{2},\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3},\,\cdots \,}

convergeert

en met de haakjes-notatie voor rijen

het getal

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

is de som van de rij

{\textstyle \,(t_{n})_{n}\,}

indien de rij

{\textstyle \,(\sum _{n=1}^{k}t_{n})_{k}\,}

convergeert.

3 Absolute sommeerbaarheid van een rij, absolute convergentie van een reeks
Een getallenrij/reeks (algemene term ${\textstyle t_{n}}$ ) waarvoor geldt dat de rij ${\textstyle \,|t_{1}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|{+}|t_{3}|,\,\cdots \,}$ een limiet heeft, wordt traditioneel een absoluut convergente reeks genoemd; meer recent ook wel een absoluut sommeerbare rij ^[25]. Een dergelijke rij is zelf eveneens sommeerbaar en de som blijft onveranderd onder welke permutatie van de termen dan ook.

4 Termen van een rij/reeks, som van een rij/reeks, limiet van een rij
In combinatie met "de termen van de . . ." of met "de som van de . . ." maakt "rij" dan wel "reeks" geen verschil in betekenis:
- de 7e term van de omgekeerde-kwadratenrij = de 7e term van de omgekeerde-kwadratenreeks,
- de som van de omgekeerde-kwadratenrij = de som van de omgekeerde-kwadratenreeks.
In combinatie met "de limiet van de . . ." wordt voornamelijk "rij" gebruikt. Want bij "reeks" kan er twijfel zijn of het om de limiet van de termen of om de limiet van de partieelsommen gaat, een duidelijke conventie op dit punt ontbreekt.^[26]

4bis Cauchyproduct van twee rijen/reeksen. Stelling van Mertens
Onder het cauchyproduct van een rij/reeks met algemene term ${\textstyle a_{n}}$ en een rij/reeks met algemene term ${\textstyle b_{n}}$ , verstaat men de rij/reeks met algemene term ${\textstyle \,a_{1}b_{n}{+}a_{2}b_{n-1}{+}\cdots {+}a_{n}b_{1}\,}$ .
Stelling van Mertens: Als van twee rijen/reeksen de ene het getal A als som heeft en de andere het getal B, en (minstens) een van beide is absoluut sommeerbaar / absoluut convergent, dan heeft het cauchyproduct van die rijen het getal A×B als som.

5 Vroeger anders
Voor een rij met een termen-limiet waren tot rond het eind van de 19e eeuw de benamingen 'convergente rij', 'convergent sequence', 'convergente Folge', 'suite convergente', niet gebruikelijk^[27]. En de naam 'convergente reeks' (en synoniemen), was al - en is nog steeds - in gebruik voor een rij met een sommen-limiet (zie citaten bij noot 16 en 17). Men wilde irrationale grootheden willekeurig dicht benaderen met oneindig doorlopende breukenrijen^[28], waarbij bleek dat het eenvoudiger is om de bedoelde grootheid te beschrijven als limiet van partieelsommen (soms partieelproducten) van een rij, dan als limiet van de termen van een rij. Met 'convergentie' werd de belangrijkste eigenschap van de rij bedoeld: het sommeerbaar zijn (het hebben van een somlimiet). De gangbare notatie met plustekens (soms komma's^[29] of alleen spaties^[30]) tussen de begintermen past bij dit hoofdgebruik van getallenrijen.

Tot in het begin van de 19e eeuw komt 'convergente (convergerende) reeks' voor als aanduiding voor een rij getallen met 0 als limiet, een nulrij.^[31] Gauss heeft expliciet gewezen op het meerduidige gebruik van 'convergente reeks'.^[32]

In het verleden werd met 'sommeerbare reeks' en 'niet-sommeerbare reeks' het al dan niet bestaan van een 'gesloten vorm' voor de partieelsommen-limiet aangeduid. Waarbij het gesloten vorm geleidelijk aan een ruimere interpretatie kreeg.^[33]

6 Grote variatie in beschrijvingen van wat met "oneindige reeks" bedoeld kan zijn
De geleidelijke, eind 19e eeuw begonnen, betekenisverschuiving van de woorden "convergent" en "convergeren" - van somlimiet-hebbend naar termlimiet-hebbend – heeft geleid tot een enorme verscheidenheid aan pogingen om 'de' betekenis van de aanduiding "oneindige reeks" vast te leggen. De volgende varianten zijn in de (leerboeken-)literatuur te vinden, op volgorde van gevonden oudste vermelding:

a - een combinatie van wiskunde-symbolen (expressie) van de vorm
${\textstyle \quad \sum _{n=1}^{\infty }}$ $a_{n}\$ , ${\textstyle \,\sum (a_{n})_{n\geq 1}\,}$ , $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,$ of $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \$
met een context-afhankelijk betekenis^[34]
b - het resultaat van het onbegrensd laten groeien van de term-index^[35]
c - een veelterm met een oneindig aantal termen^[36]
d - een oneindige rij, gegeven door z'n verschilrij^[37]
e - de som van een oneindig aantal termen^[38]
f - het resultaat van het vormen van de rij der partieelsommen^[39]
g - het koppel van een rij en z’n somrij^[40]
h - een geïndiceerde som^[41]
i - een rij waarvan de termen opgeteld dienen te worden^[42]
j - een formele som^[43]
k - een bepaalde formele uitdrukking^[44]
l - een rij van zijn partiële sommen^[45]
m - een rij waarvan de termen de partieelsommen zijn van een andere rij ^[46]
n - de som van de termen van een rij^[47]
o - een oneindige som^[48]
p - het resultaat van het optellen van de termen van een oneindige rij^[49]
q - een wiskundig proces dat vraagt om een oneindig aantal optellingen^[50]
r - een rij van termen waaruit een rij van partiële sommen is afgeleid^[51]
s - een som van een aftelbaar aantal termen^[52]
t - de afbeelding die aan een rij z’n somrij (partieelsommenrij) toevoegt^[53]
u - het resultaat van het vormen van de som van alle termen van een rij^[54]
v - een oneindige optelling van getallen^[55]
w - de limiet van de somrij van een sommeerbare rij^[56]
x - het resultaat van het belangstelling hebben voor de partiële sommen van een rij^[57]
y - de bewerking van het een voor een toevoegen van termen van een rij^[58]
z - de optelling van een oneindige rij termen^[59]
aa - een som met oneindig veel termen^[60]
bb - een recurrente rij^[61]
cc - geen poging tot betekenis-beschrijving^[62].

7 Literatuur

Encyclopédie de Diderot et d'Alembert, 1751-1772. Voor het uitgebreide lemma 'SÉRIE ou SUITE', geschreven door Jean le Rond d'Alembert, zie tome XV (1765) blz. 93. Een becommentarieerde versie staat hier.
M.J. Belinfante, Bijvoegsel van het NTvW, 1925 jrg. 1 - 4, blz. 142-160 (Convergentie en som van oneindige Reeksen)
E.J. Dijksterhuis, Bijvoegsel van het NTvW, 1927 jrg. 3 - 3/4, blz. 92-101 (over reeksen: blz. 98-101)
P.G.J. Vredenduin, Euclides, 1959 jrg. 35 - 2, blz. 49-78 (over reeksen: blz. 57-59)
P.G.J. Vredenduin, F. van der Blij, Euclides, 1967 jrg. 43 - 1, blz. 22-23 (Korrel CXL Rij en reeks)
A. Van Rooij, Nieuw Archief voor Wiskunde vijfde serie, 2009 jrg. 10 - 1, blz. 62-63 (rubriek De derde wet)
'Reeks'-loze analyseboeken (zonder de traditionele naam 'reeks' voor een rij in sommatie-contexten)
- A. van Rooij, Analyse voor Beginners, 1e druk 1986, Epsilon uitgave nr. 6 (par. 8: Sommatie)
- B. Kaper, H. Norde, Inleiding in de analyse, 1e druk 1996, Academic Service (par. 11: Sommeerbaarheid van een rij)
Mathematics Educators Stack Exchange (Vragen over de didactiek rond 'reeksen'.)
- How can I teach my students the difference between a sequence and a series? maart 2014
- For calculus students, what should be the intuition or motivation behind series? april 2014
- Whats the difference between a series and sequence? mei 2016
Les Mathématiques net, 2011, forumdiscussie over de Definition de la notion de série numérique

Bronnen, noten en/of referenties

↑ Noot: Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies
↑ Een toelichting bij de genoemde vervanging staat in deze tekst uit 2014: Mathematics Educators Stack Exchange, in het vierde antwoord op de startvraag, door 'user 757': "In modern terms, one might say that a sequence or a series is simply a function f: N→R -- the same in both cases. I think the significance of these observations is that a sequence and a series are not (readily) distinguished by what they are. They are distinguished by how they are used. We speak of the "sum" of series and the limit of the "terms." The words "sequence" and "partial sum" began to be used, I suppose, to help clarify the intended use."
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'reeks' in Nederlandstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'rij' :
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Eene menigte grootheden, waarvan ieder volgende naar eene zekere wet, aan alle gemeen, bepaald wordt, draagt den naam van rij of reeks, " .
– P.J. Prinsen, Anoldus Bastiaan Strabbe's Eerste beginselen van de arithmetica of rekenkunst, vierde deel, 4e druk 1832, blz. 163: "Eene oneindige reeks is een vervolg van breuken, die steeds in een bestendige orde voortgaan, ".
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 25: "Men noemt in het algemeen eene reeks eene opeenvolging van termen die volgens eene bepaalde wet van elkander afhangen, en die op eene gegevene wijze op elkander volgen."
– B.L.de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 146: "Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens zekere wetten van elkander afhangen."
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: &thinsp"Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens eene zekere wet van elkaâr afhangen."
– J. Versluys, Tijdschrift voor vormleer, rekenkunde en de beginselen der wiskunde, 1882 Jrg.4, blz. 45: "Wil men een bepaling van reeks geven, dan zou men kunnen zeggen, dat een rij van getallen een reeks is."
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 1: "Elke rij van getallen, positieve of negatieve, geheele of gebroken, meetbare of onmeetbare, die op de een of andere wijze van elkaar afhangen, kan men een reeks noemen."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 167: "Een reeks is een opvolging van getallen die aan een bepaalden wet van wording voldoen."
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige reeksen Bijvoegsel van het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde gewijd aan onderwijsbelangen, 1924/25, jrg.1 nr. 4, blz. 142-160: "een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk (d.w.z. positief geheel) getal) een grootheid toeordent."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925 deel IV blz. 375 (idem 1933, 2e druk deel I, blz. 119: "Is u_n een functie van het indexgetal n, dan heet de rij getallen: u₁, u₂, u₃ ....u_n,.... een oneindig voortloopende reeks van constante getallen u_n ."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, leerboek voor de acte wiskunde l.o., deel II, 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".
– O. Donker, Handleiding no. 3, analyse - reeksen, 1948, blz. 5: "Een rij is een verzameling van een oneindig aantal onsamenhangende termen. Een reeks is een verzameling van een oneindig aantal samenhangende termen. Een reeks is dus op te vatten als een geordende rij. De termen van een reeks zijn samenhangend; d.w.z. een volgende term is steeds uit een voorgaande af te leiden."
– B.Marius, A.C.Valkenaars, Algebra voor de kweekschool, 1961, blz. 87: "Een reeks is een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd is."
↑ In Nederlandse schoolboeken, tot de introductie van het woord 'rij' rond 1960, werd een oneindige getallenrij uitsluitend met 'reeks' aangeduid:
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra met vraagstukken, deel 4, 2e1907
– A. van Thijn, Leerboek der Algebra, met vraagstukken, deel 3, 2e1918
– S. Osinga, Beknopt leerboek der algebra, 1e1918
– S. Osinga, Rekenboek voor aspirant-machinisten en machinisten ter koopvaardij, 2e1919
– P. Wijdenes, D. de Lange, Leerboek der algebra, deel 3, 4e1921
– P. Wijdenes, Middelalgebra (ééndelig), 1e1921
– L. Yntema, A.J. c.s., 'Algebra voor VHMO, deel 3: 1e1926
– H.C. Derksen, Algebra /vraagstukken met theorie, deel 3, 3e1926
– C.A. van Beek, W.H.C. van Heek, Algebra /voor Onderwijzersopl. en Hoofdakte-studie, 2e1926
– J.C. van Velthoven, Overzicht der algebra/voor het eindexamen gymnasium en hbs, 1e1935
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 1e1935
– P. Wijdenes, Lagere algebra II (Vergelijkingen, Functies, Grafieken, Reeksen), 3e1935
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra /ten dienste der hbs, deel 3, 2e1936
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra IV-gymn., 1e1946
– B. Coster, A. van Dop, Algebra voor het eindexamen, 1e1950
– G.N. Meurs, S. de Vries, Algebra (serie: Op hoger plan, voor U.L.N.O…) deel 2, 5e1950
– P. Jansen, G.W. van Brink, Beknopte theorie der rekenkunde, 9e1951
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-bèta, 1e1952
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-alfa, 1e1953
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 8e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 3 4e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 2 7e1956
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Algebra voor het eindexamen, 3e1956
– P.J.G. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra voor VH&MO, deel 3, 2e1957
– C.J. Alders, G.J. Hietbrink, Algebra voor kweekscholen, 2e1958
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 32e-35e druk 1959
– E.J. Peusken, A.J. de Boer, Leerboek der algebra (serie B, v. V&M Nijverh.O), 3e1959
– G. Smit, Verzameling van algebraïsche vraagstukken met de theorie, deel 3, 21e1960
– C. Munk, J. Schaafsma, Algebra /bestemd voor het kweekschoolonderwijs, 1e1960, 2e1963
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 11e1961
– G. ter Hennepe, J.W. Oostenga, Algebra /leerboek voor het ulo-onderwijs, deel 3, 1e1962
– H. Vergoossen, Algebra (UTO-reeks), deel 2, 4e1963
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'Reihe' in Duitstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'Folge' :
– J.F. Lorenz, Die Elemente der Mathematik, erster Theil: Die reine Mathematik, 2. Aufl. 1793, blz. 55: "Eine Reihe, series, heiszt eine Menge von Gröszen [...], deren jede nach einem gewissen allen gemeinschaftlichen Gesetze bestimmt wird."
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, ca. 1800, blz. 390-395: "... man beschränkt daher in der höhern Mathematik den Ausdruck Reihe auf den Inbegriff solcher Grössen, die, insofern man jeder derselben ihre eigene Stelle anweiset, d.i. die erste, zweite, dritte Grösse u.s.f. unterscheidet, alle nach einem Princip bestimmt werden. "
– G. von Vega, Vorlesungen über die Mathematik, erster Band: Rechenkunst und Algebra, 3. Aufl. 1802 (idem: 7.Aufl. 1850), blz. 305: "Eine Folge von Gröszen, welche nach einem bekannten Gesetze wachsen, oder abnehmen, wird überhaupt eine Reihe, oder Progression, [...] genennt."
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 113: "Eine Reihe heisst eine Folge von Zahlen, welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– J.C. Fischer, Reine Elementar-Mathematik, 1820, blz. 165: "Unter einer Reihe oder Progression (series s. progressio) versteht man eine Menge von Grössen oder Gliedern (termini), welche ingesammt von einem allgemeinen Gesetze abhangen."
– J.F. Lorenz, Grundlehren der allgemeinen Gröszenberechnung ..., ersten Theils zweyte Abtheilung, 5. Aufl. 1821, blz. 166: '" Eine Reihe, series, ist jede Folge von Gröszen [...] die alle nach einem gemeinschaftlichen Gesetze [...] bestimmt werden, ".
– G.S. Klügel, C.B. Mollweide, Mathematisches Wörterbuch, vierter Theil Q bis S, 1823, blz. 272 (abusievelijk genummerd 274): "Reihe (Series) ist erstlich eine Folge von Gröszen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze gebildet werden; zweytens eine nach irgend einem Gesetze entwickelde Folge der Theile einer Grösze, welche eine Function einer andern ist, nach deren Potenzen gewöhnlich die Glieder der Reihe fortschreiten. [...] blz. 273: Die Reihen der ersten Classe heissen oft und schicklich Progressionen."
– J. von Gott Bundschue, Lehrbuch der Arithmetik,1824, blz. 203-204: "Eine Menge von Gröszen, derer jede nach einem allgemeinen Gesetze bestimmt ist, wird eine Reihe (Series) oder eine Progression (Progressio, von progredior - fortgehen) genannt; ".
– J.A. Eytelwein, Grundlehren der hohern Analysis, erster Band, 1824, blz.76: "Wenn mehrere auf einander folgende Gröszen nach irgend einem Gesetze fortschreiten, so bilden solche eine Reihe (Series), ".
– A. von Ettingshausen, Vorlesungen über die höhere Mathematik, erster Band: Vorlesungen über die Analysis, 1827, blz. 12: "Eine Folge von Gröszen, welche hinsichtlich ihres arithmetischen Baues nach einem gemeinschaftlichen Gestetze fortschreiten, heiszt eine Reihe."
– A. Burg, Compedium der höhern Mathematik, 1836, blz. 126: "Eine nach irgend einem Gesetze gebildete Folge von Gröszen wird Reihe [...] genannt."
– D.F. Hecht, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, . . ., 3.Aufl. 1853, blz. 61: "Eine Progression oder Reihe ist jede Folge von Gröszen oder Gliedern, die alle nach einem gemeinschaftlichen Gesetze [...] bestimmt werden,".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz.2: " Reihe = jede Folge von Gröszen, welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind."
– J. Helmes, Die Elementar-Mathematik ..., erster Band, zweiter Theil, 1864, blz. 425: "Unter Reihe oder Progression überhaupt versteht man eine Folge von Zahlen, von denen jede nachfolgende aus der vorhergehenden nach einem und demselben Gesetze gebildet wird."
– C. Spitz, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, erster Theil, 1874, blz. 412: "Eine Folge von Gröszen oder Zahlen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze fortschreiten, heisst eine Reihe oder Progression."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Man nennt "Reihe" eine unbegrenzte Folge von Zahlgröszen u₀, u₁, u₂, u₃, etc..... , welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Xav. Pfeifer, Der goldene Schnitt, 1885, blz. 4: "Die mathematische Reihe ist eine Folge von gleichartigen Gröszen, welche nach einem bestimmten Gesetze fortschreitet."
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 178: "Unter einer Reihe versteht man eine unbegrenzte Folge von Zahlgröszen u₁, u₂, u₃, u₄, . . . welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Es seien u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n die aufeinander folgenden Glieder einer Reihe, so gebildet, dass jedes Glied aus dem vorhergehenden in gesetzmässiger Weise abgeleitet werden kann."
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "Eine Reihe besteht aus einer Anzahl von Gliedern, die nach demselben Gesetze gebildet sind." blz. 159:"Die Anzahl der Glieder einer Reihe kann unendlich wachsend angenommen werden. Man erhält dann eine unendliche Reihe."
– H. Weber, Encyklopädie der elementaren Algebra und Analysis, 2. Aufl. 1906, blz. 395: "Unter eine Zahlenreihe verstehen wir eine gesetzmässige Aufeinanderfolge von Zahlen irgend welcher Art: ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\,}$ und nennen diese Zahlen auch die Glieder der Reihe."
– P. Epstein (oorspr. Italiaans E. Pascal), Repertorium der höheren Analysis, 1. Hälfte, 2. Aufl. 1910, blz. 421: "Eine nach irgendeiner Vorschrift gebildete Folge von Zahlen ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ heisst eine Reihe. "
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1.Aufl.1912); 2.Aufl.1919, blz.171; 3.Aufl.1921, blz.171; 5.Aufl.1929, blz.171: "[...] ${\textstyle \,u_{1};\ u_{2};\ u_{3};\ \cdots \ }$ [...] heisst jedesmal eine unendliche Reihe ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 189: "Bildet man bei einer arithmetischen Reihe die Summen, die sich nacheinander durch Hinzunahme von immer mehr Gliedern ergeben, so entsteht eine neue Zahlenfolge oder Reihe."
– G. Kowalewski, Die klassische Probleme der Analysis des Unendlichen, 3. Aufl. 1938, blz. 1: "so findet man a, aq, aq², . . . Dies ist eine geometrische Reihe ... ."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Dabei ist nun jede komplexe Zahlenfolge (u_n)_n eine unendliche Reihe . . .".
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'série' in Franstalige studieboeken, vóór circa 1880:
– A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, u₂, u₃, &c. ... qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée. "
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 486), blz. 520: "On appelle suité infinie, série infinie, ou simplement suite, série, une expression composée d'un nombre illimité de termes. La série est dite régulière, lorsqu'à partir d'un certain terme tous les suivants peuvent être formés d'après une même loi."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 25: "On appelle série une suite de grandeurs déterninées dont le nombre est indéfini."; blz. 437: "On appelle série une suite de termes positifs ou négatifs, dont le nombre est infini."
– Ch. Sturm, Cours d'analyse, tome I; 2me édition, 1863, blz. 40: "Une série est une suite composée d'un nombre infini de termes formés tous après une loi déterminée."
– C. Méray, Nouveau précis d'analyse infinitésimal, 1872, blz. 19: "Une série est une suite de quantités réelles ou imaginaires en nombre illimité se calculant successivement suivant une loi donnée."
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, ··· u_n, ··· formées suivant une loi déterminée."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est une suite illimitée de nombres se succédant d'apres une loi déterminée;" .
– G. Dubois, Définition des series formelles, 2015 (of later): "Une série formelle (à coefficients dans ${\textstyle \,A\,}$ ) est tout simplement un élément de l'espace produit ${\textstyle \,A^{\mathbb {N} }}$ . Donc une série formelle est une suite ${\textstyle \,S=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ . Nous rappelons qu'une telle suite n'est rien qu'n autre nom pour une application de ${\textstyle \,\mathbb {N} \,}$ dans ${\textstyle \,A\,}$ .
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'series' in Engelstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'sequence' :
– A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation, [...] ".
– J. Wood, The elements of algebra, 12th edition 1845, blz. 232: "An infinite series is a series of terms proceeding according to some law, and continued without limit."
– W.M. Buchanan, A Technological Dictionary: explaining . . ., 1846, blz. 655: "SERIES, - 2. In analysis, a succession of terms, or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– H.L. Horton, Mathematics at work; first edition, 1949, blz. 2-23: "A series is a succession of terms whose formation is governed by the Law of the Series, each term being derived from one or more preceding terms by the provision of this law."
– A.A. Klaf, Arithmetic refresher for practical men, 1964, blz. 266: "What is a series? A succession of terms so related that each may be derived from one or more of the preceding terms in accordance with some fixed rule or order."
– S. Schwartzmann, The Words of Mathematics, 1994, blz.196: "In older usage, series sometimes meant what we would now call a sequence; for example, the Fibonacci 'series' is actually a sequence."
↑ Beschrijvingen van de wiskundige betekenis van het Latijnse 'series' :
– Groot en volledig woordenboek, 1758, blz. 324: "ONEINDIGE Ry, REEK of SCHAKELING, Infinita Series, is eene Ry van oneindige Getalen, die na een zekere Order geduurig voortgaan, zoodanig, dat men dezelven daar door duidelyk begrypen, en van alleen anderen Ryen der Getallen onderscheiden kan. "
– Paulus Mako, Compendiaria matheseos institutio, editio tertia 1771, blz. 209 Caput V, De seriebus: "Series est ordo quantitatum certa aliqua, et constanti lege excipientium. E.g. progressiones arithmeticae, et geometricae sunt series".
↑ Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ . Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal.
Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ :
– kettingbreuk-voorstelling, als limiet van de 'getrapte breuken'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}1/(a_{2}{+}1/(\cdots {+}a_{n})/n\,}$
– oneindigproduct-voorstelling, als limiet van de 'partieelproducten'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \,\cdots \,\cdot a_{n})\,}$
– cesàrosom-voorstelling, als limiet van de gemiddelde partieelsommen; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,}$ .
↑ – P. Wijdenes, Middel-algebra, deel II, 4e druk 1949, blz. 118: "Om te kennen te geven, dat we aan de partiële sommen aandacht schenken, noemen we de oneindige rij getallen een oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks " .
– D.A. Quadling, Mathematical analysis, (first published 1955) reprint 1968, blz. 85: "When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINITE SERIES. The series is denoted by the symbol ${\textstyle \,\sum u_{r}\,}$ ; no numerical value is associated with this symbol, which is simply a convenient name for the series whose r-th term is u_r."
– H.J. Keisler, Elementary calculus, 1976, blz. 529; idem 2012, blz. 501: "We can go from this example to the general notion of an infinite sum. When we wish to find the sum of an infinite sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ we call it an infinite series and write it in the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ ."
– University of Regina (Canada), quandaries & queries, "The sequence of numbers (1, 2, 3, … , 100) is arithmetic and when we are looking for the sum of a sequence, we call it a series."
↑ (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet; daarnaast nog (3) (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.
– J.S. Cook, Mathematics Educators Stack Exchange, 2014, zesde antwoord op de startvraag: "It is unfortunate the term convergent has radically different meaning as it applies to sequences and series."
– ~~Wikipedia-Esperanto~~ Vertaald uit het lemma 'Serio (matematico)': Er bestaat geen formeel verschil tussen de noties rij en reeks. Elke rij kan ook als een reeks worden beschouwd. Het verschil treedt alleen op als het gaat om convergentie: 'reeks' verwijst naar somconvergentie en 'rij' naar termconvergentie.
↑ – R.C. Buck, Advanced calculus, 1956, blz. 105: "An infinite series is often defined to be "an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }a_{n}}$ ". It is recognised that this has many defects.
– P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In het Nederlandse V.H.M.O wordt doorgaans tussen rijen en reeksen geen duidelijk onderscheid gemaakt."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The terminology introduced in this definition [a sequence is summable if the sequence of its partial sums converges] is usually replaced by less precise expressions;".
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Het taalgebruik t.a.v. reeksen is traditioneel slecht. [...] Het lukt overigens niet goed om 'reeks' als substantief op te vatten. Het is vaak een soort metaterm, zoals 'linkerlid', waarmee men spreekt over de expressies die men heeft opgeschreven."
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1 1994, blz. 284: "Men noemt de getallen ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ de termen van de reeks. (N.B. Dit zijn ook de termen van de rij ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ . De termen van de rij ${\textstyle \,\{S_{n}\}\,}$ zijn echter ${\textstyle \,S_{1},S_{2},S_{3},\ldots \,}$ ") .
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker:Teil 1, 2006, blz.156: "Eigentlich sind Reihen nichts anderes als spezielle Folgen..."
– A. van Rooij, Nieuw archief van wiskunde, 5/10 nr.1, 2009, blz. 63: "Logischerwijze is de derde term van de reeks ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ op deze manier ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}\,}$ , maar in de boeken is hij steevast ${\textstyle \,a_{3}\,}$ ."
– M. Ryan, "Calculus for dummies", 2nd edition 2014, blz. 326: "By the way, if you're getting a bit confused by the terms sequence and series and the connection between them, you're not alone. [...] The reason for getting into the somewhat confusing notion of a sequence of partial sums is that the definitions of convergence and divergence are based on the behavior of sequences, not series."
– G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "La distinction entre suite et série est donc bien mince. Les séries sont des suites particulières et toute suite peut être vue comme une série."
– J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "Sequences and series is often a difficult topic for students. It is easy to get sequences and series confused since a lot of the same terminology is used for both. A sequence is a list of numbers while an infinite series is a sum." [Commentaar: wat wordt bedoeld met 'a sum' ?]
↑ Noot: Vertalingen van 'reeks' zijn: Frans série, Engels series, Duits Reihe. En van 'rij': série, series, Folge.
↑ Vroege voorkomens van 'convergente rij':
– J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable, 1886, blz. 44: "Soit u₁, u₂, ..., u_n, ... , une suite infinie quelconque; si elle est convergente et a pour limite le nombre U, [...]".
– O. Biermann, Vorlesungen über mathematische Näherungsmethoden, 1905, blz. 2: "Allgemein sagt man, eine Reihe [Commentaar: let op "Reihe".] von Gröszen ${\textstyle \,c_{0},c_{1},c_{2},\cdots \,}$ die nach einem bestimmten Gesetze hergestellt seien, bildet eine konvergente Zahlenfolge, wenn nach Angabe einer willkürlich kleinen . . . " .
– E.W. Hobson, The theory of functions of a real variable and ..., 1907, blz. 33: "Convergent sequences of real numbers"
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 23: "Die Folge (1) [ ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \,}$ ] heisst dann eine konvergente Zahlenfolge oder eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, und man setzt ${\textstyle \,A=\lim _{n=\infty }a_{n}\,}$ ."
– G. Kowalewski, Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen, 1910 (idem 2.Aufl. 1921, idem 3. Aufl. 1938), blz. 77-78: "...wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist, " .
– G. Kowalewski, Das Integral und seine geometrischen Anwendungen, 1910 (serie Forschung und Studium Heft 1), blz. 1: "Man nennt die Folge konvergent und g ihren Grenzwert. Man sagt auch, dass die Folge (oder x_n) nach g konvergiert."
– O. Perron, Irrationalzahlen, 1921 (idem: 2. Aufl. 1939), blz. 48: "Eine Folge von Zahlen heisst konvergent, wenn sie einen endlichen Grenzwert hat,".
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (gelijksoortig: 5.Aufl. 1964, blz. 64-65), blz. 60: "Ist (x_n) eine vorgelegte Zahlenfolge und steht sie zu einer bestimmten Zahl ξ in der Beziehung, dass (x_n−ξ) eine Nullfolge bildet, so sagt man, die Folge (x_n) konvergiere gegen ξ , oder sie sei konvergent mit dem Grenzwert ξ , oder sie (bzw. ihre Glieder) näherten sich dem (Grenz-) Werte ξ, sie strebten gegen ξ , hätten den Limes ξ ."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A."
– A. Hurwitz, R. Courant, Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen, 3. Aufl. 1929, blz. 8: "Eine unendliche Folge komplexer Zahlen [...] wollen wir konvergent nennen, wenn [verwijst in voetnoot naar "Knopp, Unendliche Reihen, 2. Aufl.1924]."
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 21-22: "...noemt men de getallenrij (a_n) , uitvoeriger geschreven: a₁, a₂, a₃, . . . ., a_n, . . . convergent, als er een vast eindig getal L bestaat...".
– D.N. van der Neut, Limitaties en sommaties (proefschrift), 1933, blz. 1: "Met het symbool [...] {x_n} [wordt steeds bedoeld] de oneindige rij der getallen x_n (n=0,1,2,....), onverschillig of [...] de rij convergent is."
↑ Vroege voorkomens van 'convergerende rij':
– A. Pringsheim, [1] "pages":[54,"view":"info"} Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, zweiter Band Analysis, erster Teil], 1899, blz. 32: "Ist a irgend eine bestimmte Zahl, für welche die Folge f_n(a) konvergiert,".
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A.".
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 25: "Als de rij zelve convergeert, is ook de rij van de moduli der termen convergent; ".
↑ – A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s_n s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la série."
– A-L. Cauchy, Résumé des leçons ... sur le calcul infinitésimale, tome premier, 1823, blz. 145: [gelijk aan Cauchy 1821].
– A-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différentiel, 1829, blz. 10: [gelijk aan Cauchy 1821].
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 487), blz. 520: "Les series qui remplissent cette condition sont appelées convergentes."
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 27: "men noemt daarom eene oneindige reeks van termen wier som tot eenen bepaalden limiet nadert convergent."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée. [...] Lorsque la somme des termes de la série tend vers une limite finie et déterminée, on dit que la série est convergente."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 437: "On dit qu'une série est convergente, lorsque la somme des n premiers termes tend vers une limite déterminée".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: "Indien bij het toenemen van het aantal termen hunne som een bepaald getal nadert, dan noemt men de reeks convergent."
– J.K. Becker, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, zweiter Buch, 1877, blz. 133: "Man nennt eine solche Reihe mit endlicher Summe eine convergente Reihe."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Wenn alsdann für stets zunehmende Werte von n die Summe s_n sich einer gewissen Grenze s beliebig nähert, so werden wir die Reihe convergent nennen,"
– J.G. Hagen, Arithmetische uns Algebraïsche analyse, 1891, blz. 70: "Eine unendliche (einfache oder vielfache) Reihe heisst convergent, wenn sich die Summe ihrer Glieder mit wachsender Anzahl einem bestimmten Grenzwerthe nähert,".
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "Si, pour une valeur indéfiniment croissant de n, la somme s_n tend vers une limite finie et déterminée s, la série est dite convergente;"
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 179: "Ist die Summe einer Reihe [...] eine endliche Zahl, so nennt man die Reihe convergent,"
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra, vierde deel, 1899 (idem: 2e druk 1907), blz. 95: "Een rij van getallen noemt men een reeks, als elk der getallen, bij een bepaald getal te beginnen, volgens een vaste wet uit één of meer voorgaande kan afgeleid worden." Blz. 99: "Wanneer de som van n termen eener reeks bij het onbepaald grooter worden van n nadert tot een limiet, dan noemt men de reeks convergent."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Wenn [...] lim_n→∞ s_n = s ist, so heisst die Reihe (u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n) konvergent und s ihre Summe."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est convergente si la somme de ses n premier termes S_n tend vers une limite S,"
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 160: "Eine unendliche Reihe, die eine endliche Summe hat, heisst konvergent;"
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 169: "Indien nu, voor lim n = ∞, de waarde van S_n nadert tot een bepaalde limiet S, zoo noemt men de oneindig voortlopende reeks convergent en heet S hare som."
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919 blz. 174: "Eine uneindliche Reihe mit konstanten Gliedern heisst konvergent, wenne die Summe ihrer n ersten Glieder bei unbegrenztem Wachsen der ganzen positiven Zahl n einem Grenzwert zustrebt,"
– Hk. de Vries, Leerboek der differentiaalrekening en integraalrekening ..., deel 1, 1e dr. 1919, blz. 274-275: "Nadert de som der eerste n termen eener oneindige reeks bij steeds aangroeiende n tot een bepaalde, eindige limietwaarde, dan noemt men de reeks convergent; ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 197: "Eine unendliche Reihe, die in diesem Sinne eine endliche bestimmte Summe hat, heisst konvergent, "
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– R.H. Rooda, Analyse, I Differentiaalrekening, 1930 (?), blz. 91: "Een reeks is een rij van getallen of functies, welke volgens een bepaalde wet uit elkander kunnen worden afgeleid." Blz. 91: "Een reeks heet convergent, indien de som der eerste n termen nadert tot een standvastige, eindige grenswaarde, ".
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra, derde deel, 1931 (idem: 2e druk 1936, 3e druk 1939), blz. 100: "Een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks; Blz. 108: " Een reeks, waarbij ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat, heet convergent."
– P. Wijdenes, Nieuwe School-algebra, deel III, 2e druk 1928, blz.96 en 113 (idem deel II, 12e druk 1942, blz. 160 en 183): "Een rij van getallen, die volgens een bepaalde wet gevormd worden, heet een reeks; [...] Men zegt, dat de meetkundige reeks voor ${\textstyle |r|<1}$ convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat."
– Ph. Kohnstamm, Keur uit het didactisch werk van prof. dr Ph. Kohnstamm, 1935 (Rede ter opening van de lessen van het Nutsseminarium), blz. 367: "Een convergente reeks is een rij van getallen zo gebouwd, dat haar som, [...] van een bepaalde grens afligt."
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra III-H voor m.o., 3e druk 1951, blz. 76: "Een reeks is een rij getallen." Blz. 91: "Een oneindig voortlopende reeks, die een som heeft, heet convergent;" .
– Joh.H. Wansink, "Reken- en stelkunde – leerboek der algebra", 1956 dl.2, 7e druk, blz. 177: "Onder een reeks verstaat men elke getallenrij, volgens een bepaald voorschrift gevormd." Blz. 189: "Reeksen, waarvoor lim_n→∞S_n bestaat, noemen we convergente reeksen; ".
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 2e druk 1957, blz. 66: "Een rij getallen wordt ook wel een reeks genoemd." Blz.85: "Een oneindig voortlopende reeks heet convergent, als hij een som heeft, ".
– C.W. Wolfswinkel, J. Vermeer, De exacte vakken op het eindexamen H.B.S.-B, 1957 dl.1A, blz. 53: "Een reeks is een rij van getallen, die alle volgens een bepaald voorschrift worden afgeleid ". Blz. 53: "Als lim_n→∞S_n bestaat en eindig is, dan heet de reeks convergent, ".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 7e druk 1958, blz.307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks;" Blz. 323-324: "Men zegt, dat de meetkundige reeks voor |r|<1 convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat lim_n→∞ S_n bestaat."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."
– E.P. van den Ban, Inleiding Analyse (Opgaven), Universiteit Utrecht, 2003, blz. 18: " Een reeks is zodoende een rij, waarbij de notatie aangeeft dat we de intentie hebben te sommeren. [...] De bovenstaande reeks heet convergent als de limiet van z'n somrij bestaat."
↑ – J.G.C. Kiesewetter, Fortsetzung der Anfangsgründe der reinen Mathematik, 1818, blz. 24: "Eine Reihe, bei deren Fortschritt man sich immer mehr ihrem Gesammtwerthe nähert, heisst konvergirend; ".
– L.C. Schulz von Strassnitzki, Arithmetik, 2. Aufl. 1848, blz. 498: "Dieses Nähern der Summe der Glieder einer Reihe, je mehr als man Glieder nimmt, nennet man das Convergiren der Reihe, und je rascher die Annäherung gehet, desto convergirender nennt man die Reihe."
- B.L. de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 199: "Eene reeks convergeert wanneer de som van hare termen voor eene limiet vatbaar is."
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. van Aller, Leerboek der hoogere stelkunde, 2e druk 1914, blz. 201: "Een reeks heet convergeerend, indien de som van de eerste n termen nadert tot een standvastige grens,".
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."
– S.T.M. Ackermans, J.H. van Lint, Algebra en analyse, 1970, blz. 222: "We zullen spreken van "de reeks ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots }$ " of "de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ". Als lim_n→∞ s_n bestaat (noem de limiet s) dan zeggen we dat de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ convergeert en we noemen s de som van de reeks."
↑ – E.J. Dijksterhuis, Euclides jrg. 3, 1926/27, nr. 4, 1927, p. 101 regel 16-17: "De variant heet sommeerbaar, als de somvariant convergeert. De limiet van de somvariant heet de som van de variant (of de reeks).'" – P.J.G. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 188: "sommeerbare rij (voor: oneindige rij, waarvan de getallen een som hebben)".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 282: "een sommeerbare rij, d.w.z. lim_n→∞ s_k bestaat, "
– Wimecos-commissie (C.J. Alders c.s.), Ontwerp leerplan-wiskunde voor h.a.v.o., 1e druk 1966 (idem 3e druk 1969), blz. 12: "3.3 Klassen 4 en 5 [...] Sommeerbare meetkundige rijen."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The sequence {a_n} is summable if the sequence {s_n} converges. In this case lim_n→∞s_n is called the sum of the sequence {a_n}. Ook: absolutely summable, Cesaro summable, Abel summable, uniformly summable."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 5e druk 1967, blz. 90: "Als [...] dan heet de rij sommeerbaar. "
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 9e druk 1968, blz. 88: "Onder de som van een oneindige rij verstaan we ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ . Een oneindige rij heet sommeerbaar, als hij een som heeft."
– P.E. Lepoeter, Gids voor de algebra van de B-afdelingen van het v.h.m.o., 3e druk 1968, blz. 134: "Een oneindige rij heet sommeerbaar als lim_n→∞ s_k bestaat; " .
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 57: "Sommeerbare rijen ".
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1, 6e druk 1974 (idem 8e druk 1985), blz. 276: "Zij zeggen dan, indien lim_n→∞ S_n bestaat, [...] dat de rij {u_n} [...] sommeerbaar is."
– A. van Rooij, Analyse voor beginners, 2e druk 1989, blz. 71: "Stel nu eens dat deze rij s₁, s₂, ... een limiet heeft. Dan noemen we die limiet de som van de rij x₁, x₂, ..., en de rij x₁, x₂, ... heet sommeerbaar. "
– B. Kaper, H. Norde, Inleiding in de analyse, 1996, blz. 177-179: "Een oneindige som is een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}t_{4}{+}\cdots \,}$ , waarbij ${\textstyle \,t_{1},t_{2},t_{3},t_{4},\ldots \,}$ de termen van een rij zijn. [...] We noemen de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ sommeerbaar, als de rij van partiële sommen ${\textstyle \,(S_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , voortgebracht door de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , convergeert."
– Profi-team (Freudenthal-instituut), Trajectenboek Wiskunde N&G en N&T vwo, 1998, blz. 54: "Een rij heet sommeerbaar als de bijbehorende somrij (d.i. de rij van partiële sommem) een eindige limiet heeft."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 42: "De rij (a_n) heet in dit geval sommeerbaar."
– C.S. Kubrusly, Elements of operator theory, 2001, blz. 201: "If the sequence of partial sums {y_n} converges [...] then we say that {x_n} is a summable sequence" . "If the real-valued sequence {||x_n||} is summable, then we say that {x_n} is an absolutely summable sequence ".
– F. Spijkers, Wiskunde-web, versie: oktober 2002, "Als de somrij van t_n convergeert, dan noem je die rij sommeerbaar. "
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "A complex sequence ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is summable if and only if the series ${\textstyle \,\sum \{a_{n}\}\,}$ is convergent."
– A.C.M. van Rooij, Nieuw archief voor wiskunde 5/10 nr. 1, 2009, blz.62 regel 37-39: "In plaats van convergente reeksen heb je dan sommeerbare rijen, en alles is in orde. Een bonus is dat je het woord 'convergent' niet in twee betekenissen gebruikt."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "A sequence x₁, x₂, . . . of real numbers is summable if and only if the corresponding sequence of partial sums is a Cauchy sequence,".
– P.J. Bartlett, California Institute of Technology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "A sequence is called summable if the sequence of partial sums converges."
– N. Strickland (University of Sheffield UK), Mathematics Educators Stack Exchange, 2014, onder het zesde antwoord op de startvraag: "The term "summable" is fairly standard. I would always use that instead of "convergent" when referring to series."
– gree, digiSchool-Mathématiques, Forum, 2015: "Soit ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,}$ une suite sommable de nombres complexes."
– K.P. Hart, Pythagoras (tijdschrift), 2014 nummer 6, blz. 24: "Een rij waaraan op deze manier een som is toe te kennen heet sommeerbaar."
– O. Riesen, Dokumente für den Unterricht, website 2019, sectie Zahlenfolge / 3. Teilsummen, Reihen / Skript / 3.3 Allgemeine Teilsummen von Folgen / 1) c): "Eine (beliebige) Folge (a_n) heisst summierbar, wenn der Grenzwert der Teilsummenfolge (s_n) existiert.
↑ Ook al in de 19e eeuw kwam "die Reihe sey summirbar" voor naast "die Reihe convergire" (de partieelsommen benaderen een eindige grens):
– A. von Ettingshausen, Vorlesungen über die höhere Mathematik, erster Band: Vorlesungen über die Analysis , 1827, blz. 16: "Man sagt in diesem Falle, die unendliche Reihe ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\&}$ c. sey summirbar, oder sie convergire, ".
– J. Salomon, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 2. Aufl. 1831 (idem 6. Aufl. 1859 blz. 442), blz. 549: "Eine Reihe welche [...], heisst eine summirbare Reihe, oder man sagt, die Reihe convergire, oder sey convergent, ".
– J. Salomon, "Lehrbuch der Elementar-Mathematik für Ober-Realschulen, erster Band: Die Elemente der Algebra, 1853 (idem 3.Aufl. 1865), blz. 312: "Eine Reihe, welche [...], heisst eine summierbare Reihe, oder man sagt, die Reihe convergire, oder sei convergent, ".
– A. Burg, Compendium der höhern Mathematik, 1836, blz. 127: "so sagt man die Reihe convergire oder sey summirbar; ".
– G.G. von Hembyze, Lehrbuch der algebraischen und geometrischen Analysis, 1857, blz. 30: "Man theilt demnach in dieser Beziehung die unendlichen Reihen in summirbare oder convergirende, und in nicht summirbare oder divergirende ein, ".
– J. Helmes, Die Elementar-Mathematik..., Erster Band: Die Arithmetik und Algebra Zweiter Theil, 1864, blz. 446: "Wenn sich die Summe einer solchen [unendliche] reihe [...] einer bestimmten Grenze nähert [...], so nennt man die Reihe eine convergirende oder eine summirbare, ".
↑ – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 98: "Sogenannte Summierbarkeit von Reihen. Als eine direkte Verallgemeinerung des Begriffes Konvergenz einer unendlichen Reihe hat man in der neuesten Zeit den Begriff Summierbarkeit einer Reihe eingeführt. [...] so heisst die uneindliche Reihe summierbar mit der Mittelsumme S."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946, blz. 7: "De redenen, welke wiskundigen er toe gebracht hebben naast het begrip der convergentie dat der sommeerbaarheid te stellen, zijn veelvuldig en gegrond."
↑ Zo'n alternatieve som dient overeen te komen met de 'gewone' som, bij toepassing op een 'gewoon' sommeerbare rij.
↑ – A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, connected together by the signs plus ans minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, proceeding according to some law or determinate relation, as 3, 5, 7, 9, &c. " (Commentaar: waarom geen plus- en mintekens in het voorbeeld?)
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige Reeksen, 1925, artikel in Euclides jrg. 1 nr. 4 pp.142-160. blz. 143: "Wat is een oneindige reeks? De tegenwoordige wiskunde beantwoordt deze vraag aldus: een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk getal een grootheid toeordent." Blz. 146: "Al naar nu bij het onderzoek van een oneindige reeks het voornaamste doel is het bedrag van de opeenvolgende termen te leeren kennen, dan wel in hoofdzaak het bestaan van een som ons interesseert, spreekt men van fundamentaalreeks en van somreeks. Bij de laatste verbindt men de termen door + teekens."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946 (artikel), blz. 22: "De getallen van iedere rij vormen een convergente reeks, wanneer men er plus teekens tusschen plaatst en de volgorde niet wijzigt ".
- P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In de mathematische literatuur wordt onderscheid gemaakt tussen rijen en reeksen: ${\textstyle \ t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\ldots \ }$ is een rij, ${\textstyle \ \ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\ldots \ }$ is een reeks. "
– W. Maak, An introduction to modern calculus, (Duits 1960) 1963, blz. 40: "We have an infinite series if, between each two terms of an infinite sequence [...] we insert a plus sign: "
– L. Bers, Calculus, 1969, par. 4.1: "An infinite series is a sequence of numbers with plus signs between these numbers."
– Ministère de l'Apprentissage de la Saskatchewan (Canada), Math B30 - Suites et séries, 2002, blz. 15: "Une série est une expression obtenue à partir d’une suite, mais dans laquelle la virgule est remplacée par un signe + ."
– E.P. van den Ban, Inleiding Analyse (Opgaven), Universiteit Utrecht, 2003, blz. 18: "Een reeks is zodoende een rij, waarbij de notatie aangeeft dat we de intentie hebben te sommeren."
– J.J. Duistermaat, Functies en Reeksen, Universiteit Utrecht, 2011, blz. 97: "Het somsymbool herinnert eraan dat men de partiële sommen ${\textstyle \,s_{l}(x)\,}$ wil onderzoeken,"
– M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz. 322: "Change the commas to addition signs and you've got a series;".
– E.P. van den Ban, Dictaat Functies en Reeksen, Universiteit Utrecht, 2015, blz. 54: "Laat ${\textstyle \,(a_{k})_{k\geq 0}\,}$ een rij complexe getallen zijn. We gebruiken de notatie ${\textstyle \,\sum _{k\geq 0}a_{k}\,}$ om aan te geven dat we de intentie hebben om de elementen van die rij te sommeren."
↑ Noot: Vaak krijgt de beginterm index 0 in plaats van 1, ter vereenvoudiging van de formule voor de algemene term.
↑ Oude voorkomens van het sommatie-teken:
– J. Liouville, Sur la sommation d'une série, 1837 (Journal de Liouville, Série 1, tome 2), blz. 107: "En représentant par ${\textstyle \,X_{0}+X_{1}z+etc.\,}$ ou par ${\textstyle \,\sum X_{n}z^{n}\,}$ le développement de ${\textstyle \,(1-2xz+z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,}$ , " .
– J. Bertrand, Règles sur la convergence des séries, 1842 (Journal de Liouville, tome septième), blz. 39 "donc la série ${\textstyle \,\sum u_{n}\,}$ a tous ses termes plus Petits que ceux de la série convergente ${\textstyle \,\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}\,}$ ".
↑ – M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 397: "In more formal language, the sequence {a_n} is absolutely summable if the sequence {|a_n|} is summable."
– H. König, Analyse 1, 1984, blz. 94: "Eine komplexe Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}\,}$ ist dann und nur dann absolut summierbar, wenn die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ absolut konvergent ist."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 43: "We noemen de rij (a_k) absoluut sommeerbaar indien de rij der absolute waarden (|a_k|) sommeerbaar is. "
↑ – J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "examples to demonstrate the difference between the limit and the sum of a series."
– Mathematics Support Centre (Maynooth Univ. Ierland), Handout, 2019(?): "Limit of a Series. [...] its limit, that is ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ ."
~~– wikiHow~~, How to determine convergence of infinite series, 2019(?): "If the limit of a series is 0, that does not necessarily mean that the series converges."
↑ Evenmin: 'convergerende rij', 'converging sequence', 'convergi(e)rende / konvergierende Folge', 'suite convergeante'.
Over de oudste vindplaats van 'sequence' als vakwoord: "SEQUENCE is found in 1891 in a translation by George Lambert Cathcart of the German An introduction to the study of the elements of the differential and integral calculus by Axel Harnack " (zie onder 'SEQUENCE' in Jeff Miller's Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics ).
Nog een secundaire bron is dit citaat, uit 2014: "Historically it seems that "sequence" is the interloper. [...] Our current use of "sequence" in the theory of series did not become common until later, perhaps around 1900" (uit Mathematics Educators Stack Exchange, vierde antwoord op de startvraag, door anonieme 'user 757').
Wél kwam ook al in de 19e eeuw voor: het 'naar een limietwaarde streven' of 'naar een limietwaarde convergeren' van een expressie met een discrete variabele n, of van 'de som van de eerste n termen'. Bijvoorbeeld in: A.-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différential, 1829, blz. 91: "Or la somme de ses n premiers termes [...] convergera [...] ou cessera de converger [...]". Blz. 96: "Si, pour des valeurs croissantes de n, le rapport ${\textstyle \,{\frac {\rho _{n+1}}{\rho _{n}}}\,}$ converge vers une limite fixe ".
↑ – J. Harris, Lexicon technicum, or, An universal English dictionary of arts and sciences : explaining not only the terms of art, but the arts themselves, 1708, blz. 717: "SERIES, properly speaking, is an orderly Process or continuation of things one after another. 'Tis commonly in Algebra connected with the Word Infinite, and there, by Infinite Series, is meant certain Progressions, or Ranks of Quantities orderly proceeding, which make continual Approaches to, and if infinitely continued, would become equal to what is inquired after."
– E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences; volume the second, 1728 (idem 6th edition 1750), blz. 59: "SERIES, in Algebra, a Rank or Progression of Quantities, increasing or decreasing in some constant Ratio, which, in its Progress, approaching still nearer and nearer some sought Value, is called a Converging Series, and if infinitely continued, becomes equal to that Quantity; whence its usual Appellation of Infinite Series: Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."
– D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1765, volume XV blz. 93: "SERIE ou SUITE, en Algebre, se dit d'un ordre ou d'une progression de quantité, qui croissent, ou décroissent suivant quelque loi : Lorsque la suite ou la série va toujours en approchant de plus en plus de quelque quantité fini , & que par conséquent les termes de cette série, ou les quantités dont elle est composée, vont toujours en diminuant, on l'appelle une suite convergente, & si on la continue à l'infini, elle devient enfin égale à cette quantité."
↑ – A.-L. Cauchy, Cours d'analyse, 1821, blz. 124: "[...] pour que la série ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2}\ldots u_{n},u_{n{+}1},\,\&\mathrm {c} .\,\ldots \,}$ soit convergente, il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme ${\textstyle \,s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\,\&\mathrm {c} .\,\ldots {+}u_{n-1}\,}$ vers une limite fixe s ".
Kennelijk gaat het bij de keuze tussen komma's en plustekens niet om een inhoudelijk verschil maar om de voorkeur van de auteur. Want waar N.H. Abel (in Untersuchungen über die Reihe ... 1826) A.-L. Cauchy (Cours d'analyse 1821) citeert, veranderen de komma's in bovenstaande reeks-notatie in plustekens: ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ ; zie "pages":[328,"panX":0.406,"panY":0.972,"view":"info","zoom":0.917} Crelle's Journal, voetnoot op blz. 316].
– M. Ohm, Versuch eines vollkommen consequenten Systems der Mathematik, zweiter Theil, 1829, blz. 1: "Eine Reihe von Ausdrücken von der Form ${\textstyle \,a,\,a+d,\,a+2d,\,a+3d,\,a+4d,\,\mathrm {etc.etc.} \,[...]\,}$ ,".
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "So sind ${\textstyle \,a,2a,3a,4a,5a,\ldots \,;\quad 1,2x,3x^{2},4x^{3},\ldots \,}$ Reihen," .
– J.M. Reichert, Analyse, vraagstukken met beknopte aanduiding der theorie ..., 1945 (of 1946), blz. 31: "Ga na of de reeks: ${\textstyle \,x\,\mathrm {sin} \,x,\,x^{2}\,\mathrm {sin} \,2x,\,x^{3}\,\mathrm {sin} \,3x\ldots \,}$ convergent of divergent is voor x = [...] (T.H. 1928). (Commentaar: in de beschrijving van de oplossing zijn de komma's vervangen door plus- en mintekens.)
↑ – E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences, 1728 (idem 6th edition 1750), bij trefwoord 'Series': "Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which Always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."
↑ – D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1754, volume IV blz. 165: "CONVERGENT, adj. en algebre, se dit d'une série, lorsque ses termes vont toûjours en diminuant. Ainsi 1, ½, ¼, ⅛, &c. est une série convergente."
– G.S. Klügel, Mathematisches Wörterbuch, erster Theil A bis D, 1803, blz. 555: "Eine Reihe ist convergirend, wenn ihre Glieder in ihrer Folge nach einander immerfort kleiner werden."
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Zamenloopende of convergerende reeksen zijn dezulke, welker opeenvolgende leden gedurig in waarde afnemen. "
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 120: "Nur konvergirende, das ist, abnehmende Reihen können Grenzen (ihrer Summen) haben, weil ihr sogenanntes letztes Glied verschwindet; ".
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Ich werde unter Convergenz, einer unendlichen Reihe schlechthin beigelegt, nichts anderes verstehen, als die beim unendlichen Fortschreiten der Reihe eintretende unendliche Annäherung ihrer Glieder an die 0. "
– De 'nulrij'-betekenis van "convergente Reihe" wordt ca. 1914 verouderd genoemd. In een voetnoot op blz. 833 van deel II-1.2 van de Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften zegt H. Burkhardt: Das Wort Konvergenz gebraucht übrigens Gauss bekanntlich noch im alten Sinne, in dem es sich nur auf die unbegrenzte Abnahme der Reihenglieder, nicht auf die Existenz eines Grenzwertes für die Reihensumme bezog."
– J.V. Grabiner, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus, 1981, blz. 99: "In eighteenth-century work on series, sometimes a series is said to converge in the way that the hyperbola "converges" to its asymptote, that is, when its n^th term goes to zero;".
↑ – C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenz-werthe".
↑ – J.-J. de Marguerie, "Mémoires de l'académie royale de marine, tome premier; Mémoire sur les suites, 1773, blz. 142-240: "Les suites sont une des plus grandes parties de calcul; la plus importante opération que l'on fasse sur elles, est de les sommer: mais de toutes les suites qui se rencontrent en cherchant à résoudre un problème, le nombre des suites exactement sommables est si petit, que les Géomètres ont tourné toute leur attention vers les suites insommables." [Commentaar: opvallend is het gebruik van 'suite' en niet 'série'.]
– A. Rees, The CYCLOPAEDIA; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literature, vol. XXXII, 1819, lemma 'Series' vijfde tekstkolom: "[...] that James [Bernoulli], having turned his attention to the doctrine of series, had discovered a few which were summable, and which he proposed to his brother;".
– G.S. Klügel, C.B. Mollweide, Mathematisches Wörterbuch, vierter Theil, 1823, blz. 560: "Summierbare Reihe ist, deren Summe durch einen endlichen Ausdruck sich angeben lässt."
– J. de Gelder, Beginselen der differentiaal-, integraal- en variatie-rekening, tweede deel, 1850 (bewerkt door Verdam), blz. 390: "Eene oneindig voortloopende reeks wordt gezegd sommeerbaar te zijn, wanneer de som van al derzelver termen in eene bepaalde stelkundige of transcendentale functie der veranderlijke grootheid, van welke de termen der reeks afhangen, volkomen en naauwkeurig wordt voorgesteld."
– D. Bierens de Haan, 'De Gids' boekbespreking: J. de Gelder, D&I-rekening deel 2, 1850, jrg.14 blz. 650: "Latere wiskundigen (onder anderen Prof. Schlömilch) noemen het voorstellen eener oneindige reeks onder den vorm van eene bepaalde integraal, dat is, van eene geslotene uitdrukking, het sommeren derzelve [...] kan dan zulk eene integraal door eene stelkundige of transcendentale functie worden voorgesteld - iets dat niet altijd het geval is - zoo is de reeks gesommeerd volgens de vroegere, minder algemeene bepaling."
– J. Knar, Archiv der Mathematik und Physik ..., artikel: Die harmonische Reihen, 1864, blz. 399 Vier gradaties van 'sommeerbaarheid':
"1. überhaupt analytisch summirbar, oder
2. analytisch summirbar, jedoch mit Ausschluss aller Kreis- oder der gleichgeltenden Exponential-Funktionen, ferner
3. analytisch summierbar, mit Ausschluss der logarithmen, endlich
4. algebraisch summirbar ".
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 86: "Solche Reihen, deren Summe in geschlossener Form dargestellt werden konnte, wurden in früheren Zeiten "summierbar" genannt; dieser Begriff ist aber wohl von dem modernen Begriffe der Summierbarkeit einer Reihe [Cesàro-sommeerbaarheid] zu unterscheiden."
– M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of mathematical functions, 1965, Dover edition blz. 1005, sectie 27.8.6: Onder sectie-hoofdje Summable Series, gesloten vormen voor de som van een zestal rijen.
– A.D. Wheelon, Tables of summable series and integrals involving Bessel functions, 1968, blz. 3: "A surprisingly number of infinite series can be summed in closed form, just as many integrals can be done analytically."
↑ – J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable I, 2ième éd. 1904, blz. 114: "on désigne sous le nom de série un symbole tel que $\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,$ " [Commentaar: In de 1ière édition 1886, blz.45 is nog géén sprake van 'un symbole'; wél, in één zin: "la suite infinie ${\textstyle \,s_{1},s_{2},...,s_{n},...,\,}$ est convergente", voorafgegaan door het definiërende: "La série ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ , est dite convergente,".]
– E. Cesàro, Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung, 1904, blz. 118: "Eine der wichtigste Anwendungen der Theorie der Grenzwerte besteht darin, zu untersuchen, welche Bedeutung einem Aggregat von unendlich vielen Zahlen ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ beigelegt werden muss, und ob auf ein solches Aggregat, welches man als eine Reihe bezeichnet, immer die Eigenschaften die aus einer endlichen Anzahl von Teilen zusammengesetzten Summen anwendbar sind."
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (idem: 5.Aufl. 1964, blz. 100) blz. 93-94: " Unendlichen Reihen. Das sind Zahlenfolgen, die auf folgende Art gegeben werden. [...] Man gebraucht fur diese Folge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ die Symbolik $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,$ oder kürzer $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,$ oder noch kürzer und prägnanter ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ und nennt dies neue Symbol eine unendliche Reihe;" . [Commentaar: dezelfde naam voor een rij en voor een symbool !]
– F. Schuh, Lessen over de hoogere algebra III 1926, blz. 181: "De uitdrukking u₁+u₂+u₃+ ··· of ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }u_{n}\,}$ wordt een oneindige reeks (ook wel oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks) genoemd."
– TEGENSTEM: Door E.J. Dijksterhuis wordt de tekst van Schuh over 'reeksen' in alle opzichten volledig afgekraakt in een boek-recensie in het BIJVOEGSEL van het NTvW, 3e jrg. 1926/27 nr. 3-4, blz. 98 vanaf 'Intusschen ...'.
– P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Men noemt deze uitdrukkingen [ ${\textstyle u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ ] oneindig voortlopende reeksen, of kortweg reeksen."
– W.K. Morrill, Calculus, 1956, section 15.2: "If ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\cdots ,u_{n},\cdots \,}$ is a given neverending sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– H. von Mangoldt, K. Knopp, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (vanaf 6. Aufl. 1932 ingrijpend bewerkt door Konrad Knopp), 11. Aufl. 1958 blz. 196: "Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ " .
– L.J. Adams, P.A. White, Analytic geometry and calculus, 1961, blz. 566: ". . .the expression ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– J.R. Britton, R.B. Kriegh, L.W. Rutland, Calculus and Analytic Geometry 1963, blz. 835: "An expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\ldots \,=\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ is called an infinite series" .
– L. Kuipers, Handboek der wiskunde, 1963 (idem 2e druk 1966), blz. 220: "Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}u_{4}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ heet een (oneindige) reeks."
– E. Hille, Analysis, volume I, 1964, blz. 276: "With the sequence ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ we define the series ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ , which is usually written ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}\,}$ . This symbol ..." .
– W. Rudin, Principles of mathematical analysis 1964, blz. 51: "The symbol ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ we call an infinite series, or just a series".
– F. Bowman, F.A. Gerard, Higher calculus 1967, blz. 98: "An expression of the form ${\textstyle \ u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series" .
– F. van der Blij, J. van Tiel, Infinitesimaalrekening, 1969, blz. 213: "De uitdrukking ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ , ook wel geschreven als ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ , noemen we een reeks; ".
– Sze-Tsen Hu, Calculus 1970, blz. 614: "For any sequence ${\textstyle \,u:N\to R\,}$ , the expression ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is known as the (infinite) series with ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ as terms.
– The Open University, U.K., Sequences and limits II 1971, blz. 38: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ " .
– J.H.J. Almering c.s., Analyse, 2e druk 1977 (idem 1e druk 1974), blz. 216: "De aldus gevormde rij ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ wordt aangegeven met ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ en deze symbolische uitdrukking wordt reeks genoemd."
– H.-J. Schell, Unendliche Reihen, 1978, blz. 9: "Einen solchen Ausdruck nennt man eine unendliche Reihe (oft auch kurz Reihe)."
– C. Blatter, Analysis I 1980, Kapitel 7: "Ist ${\textstyle (a_{k})}$ eine Folge von Zahlen oder Vektoren, so heisst der Ausdruck ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ eine Reihe" .
– R.E. Larson, R.P. Hostetler, Calculus with analytic geometry, 1986, section 10.3: "If ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is an infinite sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series (or simply a series)."
– D.B. Small, J.M. Hosack, Calculus - An integrated approach 1990, blz. 569: "An infinite series or just series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ or, using the summation notation, ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ ".
– W. Swokowsky, Calculus, fifth edition 1991, blz.533: "An ínfinite series (or simply a series) is an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots }$ , or, in summation notation, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ or ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ " .
– Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik, 14. Aufl. 1995, "Ein solcher Ausdruck heisst unendliche Reihe."
– W. Walter, Analysis 1, 5. Aufl. 1999, blz. 86: "Wir nennen das Symbol ${\textstyle \,\sum _{n=p}^{\infty }a_{n}\,}$ oder $\,a_{p}{+}a_{p+1}{+}a_{p+3}{+}\ldots \,$ eine unendliche Reihe".
– V.A. Zorich, Mathematical analysis I, 2002, blz. 95: "The expression ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ is [...] usually called a series or an infinite series".
– H. Maassen, Calculus 1 en 2, 2004, blz. 42: "Een uitdrukking als ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ heet een reeks."
– G.B. Thomas Jr, Calculus - Eleventh edition 2005, blz. 763: "Given the sequence of numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}}$ , an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is an infinite series ".
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "We use variations [of ${\textstyle \,\left(\sum f\right)(n)\,}$ or ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}\,}$ ] , such as ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}_{n\geq 1}=\{\sum _{j=1}^{n}f(j)\}_{n\geq 1}\,}$ ."
– C.H. Edwards, D.E. Penney, Calculus - Early Transcendentals, 7th edition 2008, blz. 732: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ " .
– J. Stewart, Calculus, early transcendentals; 6th edition, 2008, blz. 687: ". . . an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ which is called an infinite series (or just series) ".
– J. Barnard (Univ. of South Alabama), Calculus III, 2012: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a1+a2+a3+\cdots \,}$ ."
– K. Hambrook (Univ. of Rochester-NY), Lecture notes, 2013, p.1: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ".
– P.W. Hemker, Echte wiskunde, 2013, blz. 67: " 'oneindige reeks' betekent: een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \ }$ of ${\textstyle \,\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$ "
– P. Shunmugaraj, Indian Inst. of Technology, Kanpur, Mathematics I, MTH 101A, Lecture Notes, 2016, Lecture 11-13 blz. 1: "Let (a_n) be a sequence of real numbers. Then an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ [...] is called a series."
– C. Caenepeel, J. De Beule, I. Goyvaerts, Wiskunde: Voortgezette Analyse (Vrije Universiteit Brussel) 2017, blz. 7: "Gegeven is de numerieke rij ${\textstyle \,(u_{n})}$ . Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}\ldots \,}$ of, korter, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ noemt men een numerieke reeks.
↑ – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 85: "Ist in (3) [ ${\textstyle s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}}$ ] n eine endliche Zahl, so heisst die Summe rechter Hand eine endliche Reihe; lässt man aber in dieser Formel den Stellenzeiger n über jede Grenze hinauswachsen, so entsteht die unendliche Reihe ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ ."
↑ – G. Schouten, De grondslagen der rekenkunde, 1916 (idem in 2e druk 1927): "Wanneer tusschen elk paar opvolgende termen eener onbegrensde getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat er een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 1960 (idem: 5e druk 1967), blz. 92: "Wanneer tussen elk paar opvolgende termen ener oneindige getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks of kortweg reeks ."
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 60: "We spreken nu af, dat we de 'oneindige veelterm' ${\textstyle \,{\frac {1}{2}}{+}{\frac {1}{4}}{+}{\frac {1}{8}}{+}{\frac {1}{16}}{+}\ldots \,}$ een convergente reeks zullen noemen, omdat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }s_{n}\,}$ bestaat. Let wel: De woorden 'oneindige veelterm' slaan op de vorm van de notatie; ze definiëren nog niets!"
↑ – H.B.A. Bockwinkel, Kollege integraalrekening, 1932, blz. 2: "Onder een oneindige reeks verstaat men een oneindige rij, die gegeven is door zijn verschilrij."
↑ – J. Bloemsma, Mathematisch tijdschrift 'Christiaan Huygens', jrg.1934-1935 nr.VI, blz. 289: "Een reeks bestaat uit de som harer oneindig aantal termen, waarbij de laatste gedefinieerd zijn voor hun rangnummer in de som,".
– TEGENSTEM: P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Zulk een reeks moet niet gedefinieerd worden als de som van een oneindig aantal termen, maar als limiet van de som van een eindig aantal termen. "
– L.A. Lyusternik, A.R. Yanpols'skii, Mathematical analysis, (Russisch 1961) Engels 1965, blz. 85: "Infinite series, or simply series, are closely connected with sequences, e.g. ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \ =\ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ }$ is "the sum of an infinite number of terms". "
– TEGENSTEM: H. Meschkowski Mathematik als Bildungsgrundlage, 1965, blz. 54: "Unsere Paradoxie macht deutlich, dass ein Grenzwert einer Folge von Summen keine Summe ist, selbst wenn man sie formal als Summe schreibt."
– TEGENSTEM: H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Keinesfalls ist ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \ }$ als eine "Summe von unendlich vielen Summanden" aufzufassen — ein Unbegriff, der nur Verwirrung stiftet."
– TEGENSTEM: H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Sie [die Notationen] sind ausserdem suggestiv bis an die Grenze der Gefährlichkeit, erwecken sie doch den Anschein, man würde aus der unendlichen Folge der Summanden a_n durch unendlich viele Additionen die Summe a erhalten; das sind aber selbstverständlich nur leere Worte."
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "Voordat we aan een reeks, dwz. aan zo'n som van oneindig veel getallen, een getalwaarde kunnen toekennen, [...]." [Commentaar: Onduidelijk blijft waar het 'zo'n' naar verwijst, want voorafgaand is alleen gezegd hoe het bedoelde ding genoteerd wordt, nog niet wat het is.]
↑ – O. Haupt, Differential und Integralrechnung, I. Band, 1938, blz. 49: "Vom Begriff der Folge ist scharf zu unterscheiden der Begriff der (unendlichen) Reihe. Eine solche Reihe entsteht aus einer vorgegebenen Folge {a_ν}, indem man die Folge {s_n} der Teilsummen [...] bildet, und die "Reihe" ist — wenigstens für uns — gleichbedeutend mit der Folge der Teilsummen; . [...] Wir haben so den Begriff der Reihe zurückgeführt auf den Begriff der Folge (der Teilsummen)."
↑ – N. Bourbaki, Éléments de mathématique (première partie), Livre III (Topologie générale), Chapitre III (Groupes topologiques), éd. 1, 1942, blz. 42; éd. 2, 1951 blz. 42; éd. 3(revue et augmentée) 1960, blz. 66: "On appelle série définíe par la suite (x_n), ou série de terme générale x_n (ou simplement série (x_n), par abus de langage, s'il ne risque pas d'y avoir de confusion), le couple des suites (x_n) et (s_n) ainsi associées."
– M. Zamansky, Introduction à l'algèbre et l'analyse modernes, 1958, blz. 279: "On appellera série le couple des deux suites (u_n) et (s_n)."
- J.A.E. Dieudonné, Foundations of modern analysis, 1960 (Franse vertaling D. Huet, 1963), blz. 91: "A pair of sequences ${\textstyle \,(x_{n})_{n\geq 0},(s_{n})_{n\geq 0}\,}$ is called a series if the elements ${\textstyle \,x_{n},s_{n}\,}$ are linked by ..."
– R.C. Buck, Advanced calculus, second edition, 1965, blz.158: "An infinite series of real numbers is a pair of real sequences ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{A_{n}\}\,}$ whose term are connected by the relations [...] ".
- R.G. Bartle, C.I. Tulcea, An introduction to calculus, 1969, blz. 248: "The series generated by sequence ${\textstyle \,(u_{n})_{n\in N}\,}$ is the pair of sequences: ${\textstyle \,(\,(u_{n})_{n\in N}\,,\,(s_{n})_{n\in N}\,)\,}$ .
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, second edition, 1974, blz. 185: "The ordered pair of sequences ({a_n}, {s_n}) is called an infinite series."
– K. Maurin, Analysis, part I, 1976 (Pools 1973), blz. 116: "A pair ${\textstyle \,(\,(y_{n})_{0}^{\infty },\,(S_{n})_{0}^{\infty })\,}$ is called a series with the general term ${\textstyle \,y_{n}\,}$ ."
– M.H. Protter, C.B. Morrey, A first course in real analysis, 1977, blz. 210:" "An infinite series is an ordered pair ${\textstyle \,(\,\{u_{n}\},\,\{s_{n}\})\,}$ of infinite sequences in which ${\textstyle \,s_{n}=u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}\,}$ for each ${\textstyle n}$ ."
– Encyclopaedia of Mathematics, 1992, volume 8 blz. 284: "A pair of sequences of complex numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{s_{n}\}\,}$ [...] is called a (simple) series of numbers " .
– E.D. Gaughan, Introduction to analysis (1st ed. 1968) 5th ed. 1998, blz. 173: "An infinite series is a pair ${\textstyle (\,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\ \{S_{n}\}_{n=1}^{\infty })\,}$ [...]."
– ~~Wikipedia-nl,~~ Reeks (wiskunde), Alternatieve definitie: "Een 'reeks' wordt ook wel formeel gedefinieerd als een bepaalde combinatie van een rij $(a_{n})$ en de rij $(s_{n})$ van zijn partiële sommen, bijvoorbeeld $(\,(a_{n},s_{n})\,)_{n=1}^{\infty }$ ." [Commentaar: De formulevorm beschrijft een oneindige verzameling van getalparen, niet een koppel van twee rijen.]
↑ – L.M. Kells, Calculus, 1943, blz. 397: "A series is the indicated sum of a succession of terms related by a law."
– R.R. Middlemiss, Differential and integral calculus, 1946, blz. 392: "The indicated sum of a sequence is called a series. "
– L. Zippin, Uses of infinity, 1962 (MAA nr.7), blz. 65: "A sequence of terms with indicated additions (or substractions) is called a series."
– L.A. Pipes, L.R. Harvill, Applies mathematics for engineers and physicists, third edition, 1970, blz. 820: "A series is the indicated sum of the terms of a sequence."
– F. Ayres, Differential and integral calculus, in SI metric units, 1972, blz. 220: "The indicated sum ${\textstyle \,\sum s_{n}\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }s_{n}\ =\ s_{1}{+}s_{2}{+}s_{3}{+}\ldots {+}s_{n}{+}\ldots \,}$ of an infinite sequence ${\textstyle \,\{s_{n}\}}$ is called an infinite series."
– J.R. Lee, Advanced calculus with linear analysis, 1972, blz. 22: "An infinite series is an indicated sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ =\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}\ =\ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\,}$ ."
– J.E. Weber, Mathematical analysis, 4th edition 1982, blz. 317: "a series is the indicated sum u₁+u₂+ ··· of the terms of a sequence. "
– J. Daintith, R.D. Nelson, The Penguin dictionary of mathematics, 1989, blz. 292: " series = The indicated sum of the terms of a sequence.".
– G. James, R.C. James, Mathematical dictionary, 5th edtion, 1992, blz. 357: " Series = The indicated sum of a finite or infinite sequence of terms."
– W. Kaplan, Advanced calculus; fifth edition, 2003, blz. 375: "An infinite series is an indicated sum of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ , going on to infinitely many terms."
↑ – H. Looman, Beginselen der hogere wiskunde, deel II, 2e druk 1946, blz. 18: "Onder een reeks verstaat men een onbegrensd voortgezette rij van getallen u₁, u₂, u₃, ..., die opgeteld moeten worden,".
– J.H.C. Lisman, Wiskundige propaedeuse voor econometristen, 2e druk 1963, blz. 18, 21: "Een opvolging van elementen [...] noemt men een rij. Zodra men deze gaat sommeren spreekt men van een reeks ".
– The universal encyclopedia of mathematics, 1964 (Duits 1960), blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence." Blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series."
– J. Marsden, A. Weinstein, Calculus II, 1985, sectie 12.1 blz. 561: "An infinite series is a sequence of numbers whose terms are to be added up.".
↑ – L.V. Ahlfors, Complex analysis, 1953 blz. 133 (idem 2nd ed. 1966, blz. 35): "An infinite series is a formal infinite sum"
– The universal encyclopedia of mathematics 1964 (Duits 1960), blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series." Blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence."
– R.A. Adams, Calculus, a complete course; fifth edition, 2003, blz. 527: "An infinite series, usually just called a series, is a formal sum of infinitely many terms."
– ~~Wikipedia-nl,~~ Reeks (wiskunde), Definitie: "Voor iedere rij ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som ${\textstyle \ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots }$ ."
– TEGENSTEM: ~~Wikipedia-en,~~ Series (mathematics), "While many uses of power series refer to their sums, it is also possible to treat power series as formal sums, meaning that no addition operations are actually performed, and the symbol "+" is an abstract symbol of conjunction which is not necessarily interpreted as corresponding to addition."
↑ – G.E.F. Sherwood, A.E. Taylor, Calculus, 3rd edition 1954, blz. 383: "This [u₁+u₂+u₃+ ··· +u_n+ ··· ] formal expression is called an infinite series."
– J.H. Mathews, R.W. Howell, Complex analysis for mathematics and engineering; fourth edition, 2001, Chapter 4: "The formal expression ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }z_{k}\,=\,z_{1}{+}z_{2}{+}\cdots {+}z_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series,"
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker: Teil 1, 2006, blz. 156: "Man nennt den formalen Ausdruck ${\textstyle \,a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \,}$ eine unendliche Reihe".
↑ – G.R. Veldkamp, Inleiding tot de analyse, 1957, blz. 259: "Een reeks is dus niets anders dan de rij van zijn partiële sommen." ["Zijn" verwijst naar het te definiëren object: cirkeldefinitie.]
– E. Coplakova, M. Edixhoven, Wiskundige Structuren, Univ. Leiden, 2008, blz. 73: "De reeks [formulevorm] wordt nu 'geïdentificeerd’ met de rij [formulevorm] van zijn partiële sommen." ["zijn" verwijst naar het te definiëren object: cirkeldefinitie.]
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "Voordat we aan een reeks, dwz. aan zo'n som van oneindig veel getallen, een getalwaarde kunnen toekennen, [...]." [Commentaar: Onduidelijk blijft waar het 'zo'n' naar verwijst, want voorafgaand is alleen gezegd hoe het bedoelde ding genoteerd wordt, nog niet wat het is: cirkeldefinitie.]
– Les mathématiques net, Forums>Analyse>Discussion, 2011, eerste sectie: "une série numérique est définié comme étant une suite: la suite de ses sommes partiales." [Commentaar: "ses" verwijst naar het te definiëren object: cirkeldefinitie.]
↑ Bij deze omschrijving van de betekenis worden twee aspecten genegeerd: (1) het feit dat een rij altijd bestaat uit de partieelsommen van een andere rij (de verschilrij van de eerste) en er dus geen sprake is van een speciaal soort; (2) het strijdig zijn met iedere logica om de a_n' s aan te duiden als 'de termen van de nieuwe rij (s_n)', en om z'n eventuele limiet aan te duiden met 'z'n som'.
– W.J. Vollewens, Repertorium der wiskunde voor ingenieurs, deel I, 1950, blz. 195: "Is een variant [= oneindige rij] gegeven [...] dan kan met daaruit afleiden de zg. somvariant [...] Deze somvariant heet een reeks;" .
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, a modern approach to advanced calculus, 1957, (6th printing 1973) blz. 355: "A sequence {s_n} formed in this way is called a series (or an infinite series)."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 297: "Een reeks is een rij die volgens een bepaald optellingsschema uit een andere rij is afgeleid." (Dit verschilt van 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".)
– T.M. Apostol, Calculus, volume I, One-variable calculus, with an introduction to lineair algebra; second edition, 1967, blz. 384: "The sequence {s_n} of partial sums is called an infinite series, or simply a series ".
– M. Rosenlicht, Introduction to analysis, 1968, blz. 141: "If ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,}$ is a sequence of real numbers, by the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ also denoted ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ , we mean the sequence ${\textstyle \,a_{1},\,a_{1}{+}a_{2},\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\,\ldots \,}$ ."
– C.W. Burrill, J.R. Knudsen, Real variables, 1969, blz. 121: "The sequence {s_n} is called an infinite sum or infinite series or simply a series of the elements of {a_n}."
– N.P. Zwikker, J.B. Ham, Analyse 2, 1970, blz. 79: "de rij {S_n} heet dan een reeks."
– K. Endl, W. Luh, Analysis I, 1973, p.31: "Die Folge ${\textstyle \,\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ [...] nennen wir eine unendliche Reihe und bezeichne sie mit ${\textstyle \,\sum _{\nu =1}^{\infty }a_{\nu }\,}$ ."
– M. Barner, F. Flohr, Analysis I, 1974, blz.141: "Es sei ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ eine Zahlenfolge. Durch die Festsetzung ${\textstyle \,s_{n}=\,\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ wird eine Zahlenfolge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ definiert, die man als die zu ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ gehorende unendliche Reihe bezeichnet."
– H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Die unendlichen Reihe - oder kurz die Reihe - mit den Gliedern ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots \,}$ , in Zeichen ${\textstyle \ \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\ }$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ , bedeutet eine Folge, nämlich die Folge der Teilsummen ${\textstyle \,s_{n}\,:=\,a_{0}{+}a_{1}{+}\cdots a_{n}(n=0,1,2,\cdots )}$ .
– J.F. Hurley, Intermediate calculus, 1980, section 2.3: "An infinite series [...] is a sequence (s₁, s₂, ...,s_n, ...) where s₁ = a₁, s_n = a_n+s_n-1".
– O. Foster, Analysis 1, 4. Auflage 1983, blz. 23-24: "Die Folge [...] der Partialsummen heisst (unendliche) Reihe und wird mit ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ bezeichnet."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79 "Die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ist also nichts anderes als die Summenfolge ${\textstyle \,(u_{n})_{n}\,}$ der Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}}$ ."
– J.H.J. Almering, H. Bavinck, R.W. Goldbach, Analyse, 5e druk 1986 (idem 6e druk 1989), blz. 514: "Uitgaand van een rij (a_n) kan men een nieuwe rij (s_n) construeren [...]. Deze nieuwe rij noemen we de bij a_n behorende reeks (Engels: series).
– H.-G. Friedemann, Arithmetik, 1990, blz. 299: "Die Folge (s_n) der Partialsummen s₁, s₂, s₃, ..., s_n heisst die zu (a_n) gehörende Reihe.
– L. Leithold, The calculus, with analytic geometry; sixth edition, 1990, blz. 701: "If {u_n} is a sequence and . . . then the sequence {s_n} is called an infinite series."
– D. Dijkstra e.a., Dictaat analyse B (universiteit Twente), 1999, blz. 1: "De getallenrij (s_k) wordt de bij de getallenrij (a_n) behorende reeks genoemd."
– S.R. Lay, Analysis, with an introduction to proof, 2001, blz.268: "We also refer to the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ of partial sums as the infinite series (or simply the series) ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ."
– O. Riemenschneider, Analysis I, 2.Aufl. 2004, blz. 13: "Außerdem kann man aus Folgen durch Addition ihrer Glieder neue Folgen bilden, die man Reihen nennt."
– Forum, Futura-Sciences, Définition suites et séries, 2008, sectie #5: "Une série, c'est une suite définie d'une façon particulière à partir d'une autre suite, mais cela reste une suite. Réciproquement toute suite peut être définie comme une série."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "series are sequences of partial sums,".
–- L. Grüne, Analysis I und II, 2012, blz. 57: "Für eine reelle Folge ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ heisst die Folge ${\textstyle \,b_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ (unendliche) Reihe."
– U. Reif c.s., Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I, II, 2015 (TU-Darmstadt), blz. 82: "Man bezeichnet die Folge (s_m)_m als die Reihe".
– E. Weitz, Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker, 2018, blz. 511: "DIE DEFINITION, die sich inzwischen allgemein durchgesetzt hat, sieht folgendermassen aus. Wenn wir eine Folge [ ] van Zahlen haben, dann bezeichnen wir die darauf basierte Folge [ ]von endlichen Summen als Reihe (engl. series) " . [Commentaar: Dus: "Onder de voorwaarde dat we een oneindige rij enen hebben, noemen we de rij van de natuurlijke getallen 'reeks'." Is dit een DEFINITIE ? Van een wiskundig begrip dat afwijkt van een oneindige getallenrij? (Ga toch knikkeren, Professor.) ]
– ~~Wikipedia-de,~~ Reihe: "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."
– ~~Wikipedia-fr,~~ fr:Série (mathématiques): "étudier la série de terme général u_n c'est étudier la suite obtenue en prenant la somme des premiers termes de la suite (u_n),"
↑ – Fr.A. Willers, Willers Elementar-Mathematik, 12.Aufl. 1965, par. 47: "Die Summe der Glieder einer geometrische Zahlenfolge nennt man geometrische Reihe."
– E.J. Borowski, J.M. Borwein, Collins dictionary of mathematics, 1991, blz. 533: " series = the sum of a finite or infinite sequence of terms" .
– ~~Wikibooks,~~ Calculus/Definition of a Series, 2019, regel 1: "A series is the sum of the terms in a sequence."
↑ – P. Lax, S. Burstein, A. Lax, Calculus with applications and computing, volume I, 1976, blz. 21: "the infinite sum, traditionally called infinite series, "
– P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: " series = Generally, but not always, an infinite sum."
– S.I. Grossman, Calculus, second edition, 1981, blz. 628: "the infinite sum ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\ =\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series (or, simply, series)."
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Let ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ be an infinite sequence. We refer to the infinite sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ as an infinite series."
– ~~Wikipedia-en,~~ Series, Basic properties: "An infinite series or simply a series is an infinite sum, represented by an infinite expression of the form $\,a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$ "
↑ – Skolöverstyrelsen, Matematik-terminologi i skolan, 1979, blz. 115: "En serie erhålls, när elementen i en oändlig talföljd successivt adderas." (Een reeks ontstaat wanner de elementen van een oneindige getallenrij achtereenvolgens worden toegevoegd.).
– M. de Gee, Wiskunde in werking, 1995, blz. 5: "Sommeren we alle termen van een oneindige rij dan krijgen we een reeks: ".
– A. Croft, R. Davidson, Mathematics for engineers, 2004, blz. 883: "When the terms of an infinite sequence are added we obtain an infinite series."
– H. Couperus, H. Oomis, Praktische levensverzekeringswiskunde, 2013, blz. 21: "Een rij getallen a_n wordt een reeks als de termen van de rij opgeteld worden [...] Als a_n = aⁿ, dan spreken we van een meetkundige rij. Tellen we de termen op, dan krijgen we de meetkundige reeks , ook wel geometrische reeks genoemd. Een meetkundige reeks wordt gevormd uit een meetkundige rij waarbij de termen bestaan uit de som van de termen uit de meetkundige rij. " [Commentaar: Onder 'termen van een reeks' wordt vaak iets anders verstaan dan hier genoemd.]
↑ – P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: "A mathematical process which calls for an infinite number of additions."
↑ – W. Ledermann, S. Vajda, Handbook of applicable mathematics, volume IV: Analysis, 1982, blz. 13: "A series consists of a sequence (a_n) of terms from which a sequence (s_n) of partial sums is derived,".
↑ – R.S. Borden, A course in advanced calculus, 1983, blz. 300: "An infinite series, more commonly, a series is a sum of a countable number of terms."
↑ In deze betekenis wordt 'de reeks' steeds direct gevolgd door 'van' en vervolgens de aanduiding van een rij. Het opvatten van 'reeks' als de naam van een zekere afbeelding maakt het onmogelijk om een betekenis te geven aan combinaties als 'termen van een reeks', 'som van een reeks', 'convergentie van een reeks' .
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Een mogelijkheid om met behoud van het woord reeks samenhangend te spreken is: overgaan op het begrip 'reeks van een rij'. [...] Men doet er verstandiger aan de terminologie en notatie op het gebied van reeksen als 'typografische afkortingen' te beschouwen."
– E. Fisher, Intermediate real analysis, 1983, blz. 151: "If ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ is a real sequence, then the sequence ${\textstyle \,\langle S_{n}\rangle }$ , [...] is called the infinite series of terms of the sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ ."
– S. Haschler, schule 2005-06, blz. 3 'Reihen': "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."
– R. Mayer, Infinite series, 2006 (Reed College), " $\,\sum$ is actually a function that maps complex sequences to complex sequences."
– M. Veraar, Wiskundige structuren (TU Delft), 2016, module 6.1: "Laat ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ een rij reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen ${\textstyle \,(s_{n})_{n\geq 0}\,}$ wordt de reeks van ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ genoemd ".
– B. Keller, Folgen und Reihen 2017 blz. 4: "Die Folge ${\textstyle (s_{n})\,}$ [...] nennen wir Reihe der Folge ${\textstyle (a_{n})\,}$ ."
– J. Leydold, Grundlagen 2017, blz. 34: "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."
↑ – O. Teller, Vademecum van de wiskunde, Prisma 1033, 13e druk 1994, blz. 32: "'Vormt men de som van alle termen [van een meetkundige rij], dan ontstaat een meetkundige reeks."
↑ – L.J. Goldstein, D.C. Lay, D.I. Schneider, N.H. Asmar, Calculus & its applications, 11th edition, 2007, blz. 569: "An infinite series is an infinite addition of numbers ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ "
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Note here that sequences and series are intimately connected, but that they represent different concepts. A sequence is always just an infinite list of numbers without any additional structure; a series always refers to an infinite addition of numbers."
↑ – P.J. Bartlett, CALifornia institute of TECHnology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "If it does [converging partial sums], we then call the limit of this sequence the series associated to ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ ,".
– Univ. des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene, Séries numériques, 2013, blz. 4: "La limite de (S_n) est appelée série de terme général u_n."
– M. Karow, Analyse I für Ingenieure (Folien), 2018(?), Thema: unendliche Reihen: "Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen ".
↑ – A Eickhoff-Schachtebeck, A Schöbel, Mathematik in der Biologie, 2014, p. 75: "Interessiert man sich nicht für die einzelnen Glieder a₁, a₂, a₃, ... einer Folge, sondern für deren Summe a₁+a₂+ ··· +a_n bis zum Glied n, so erhällt man eine Reihe."
↑ – ~~Wikipedia-en,~~ Series, zin 11: "a series, which is the operation of adding the a_i one after the other"
↑ – M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz.324: "simply the adding up of the infinite number of terms of a sequence."
– ~~Wikipedia-nl,~~ Reeks (wiskunde), zin 1: "Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen."
↑ – P. Levrie, Pythagoras (tijdschrift), 2014 jrg. 53 nummer 5, blz. 8: "Wat is een reeks? Een reeks in de wiskunde is een som met oneindig veel termen."
– ~~Wikibooks,~~ Einführung in die Funktionentheorie/ Folgen und Reihen, 2015: "Unter einer unendlichen Reihe versteht man – wie im Reellen – eine Summe mit unbeschränkt vielen Summanden, die nach einer bestimmten Vorschrift (Bildungsgesetz) berechnet wurden."
↑ – G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "Les 'séries' sont les suites ${\textstyle \,(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,}$ récurrentes définié par une relation de type: ${\textstyle \,s_{0}=u_{0}\ ,\ s_{n}=s_{n{-}1}+u_{n}\,}$ ".
↑ – T.J.I. Bromwich, An introduction to the theory of infinite series, 1908, blz. 15: "if the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ is convergent and has the limit ${\textstyle \,S\,}$ , the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,=\,\sum _{1}^{\infty }a_{n}\,=\,\sum a_{n}}$ , is convergent; and ${\textstyle \,S\,}$ is called the sum of the series."
– É. Goursat, Cours d'analyse mathématique I, 2e édition, 1910, blz. 9: "Étant donnée une suite infinie quelconque, dont le terme général est u_n, on dit que la série u₀+u₁+···+u_n+··· est convergente, si la suite formée par les sommes successives des termes de cette série [...] est elle-même convergente."
– R.E. Johnson, F.L. Kiokemeister, Calculus, with analytic geometry; fourth edition, 1969, blz. 448: "This leads to a study of the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ associated with each sequence ${\textstyle \,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots \,}$ ."
– K.A. Ross, Elementary analysis: the theory of calculus, 1980, blz. 68: "The infinite series ${\textstyle \,\sum _{n=m}^{\infty }a_{n}\,}$ is said to converge provided [...] ".
– D. Varberg, E.J. Purcell, S.E. Rigdon, Calculus, 8th edition 2000, blz. 436: " [...] consider the infinite series "
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "In de wiskunde is er wel een duidelijk verschil [in betekenis tussen de woorden "rij" en "reeks" ]: wanneer we praten over een reeks, dan wordt daarmee meteen aangegeven dat we de intentie hebben om de getallen van de rij op te tellen. Laat ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n\geq 0}\,}$ een rij complexe getallen zijn. De daarbij horende reeks wordt genoteerd als . . .". (Commentaar: onvermeld blijft wat bedoeld wordt met 'de daarbij horende reeks'.)

Bij welke onderdelen in de artikelversie Madyno 23 mei 2019 15:17‎ is op deze Overlegpagina een onderbouwing met betrouwbare bronnen te vinden? -- Hesselp (overleg) 14 jun 2019 12:35 (CEST)Reageren

Reacties

Bezwaar de gebruikelijke onleesbare brij. The Banner Overleg 14 jun 2019 12:38 (CEST)Reageren

Wat begrijp jij niet aan het begrip "korte, duidelijke tekstvoorstellen"? The Banner Overleg 14 jun 2019 12:40 (CEST)Reageren

Het gaat al mis bij de eerste zin qua onderbouwing. Daarna ben ik gestopt met lezen. - Brimz (overleg) 14 jun 2019 14:57 (CEST)Reageren

Ik struikel ook al over de eerste zin van het voorstel: daar geef je in de onderbouwing vele bronnen mee, maar geen van die bronnen beweert dat een reeks in de wiskunde een oudere, ten dele door 'rij' vervangen, naam is voor een oneindige rij met getallen als termen. Je geeft een hele rij bronnen en trekt daar vervolgens zelf de conclusies uit dat het een oudere naam is en dat die naam door 'rij' vervangen is. Dat is in strijd met WP:GOO. En dit is niet de eerste keer dat je daarop gewezen wordt. Mvg, Trewal 14 jun 2019 15:04 (CEST)Reageren

Antwoord aan Brimz en Trewal, betreffende de onderbouwing van de eerste zin in deze tekstversie.

De bronnen als genoemd in de noten 2 t.e.m. 8 in Kladblok5 maken ondubbelzinnig duidelijk dat de naam "reeks" (en "series"(la, en), "Reihe"(de), "série"(fr, bij uitzondering - meer informeel - ook "suite")) meerdere eeuwen uitsluitend gebruikt is voor "een oneindige, door een 'wet' gegeven, voortzetting/successie van getallen of getallenfuncties". Zo'n 'afbeelding op

\mathbb {N}

heet tegenwoordig universeel rij/sequence/Folge/suite/...; moeten daar meer bronnen voor vermeld worden dan de link naar 'Rij (wiskunde)'?

Met name de grote popularisator Konrad Knopp (1922 en later: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen; 1932 en later: 6e grondig bewerkte druk van deel twee van Von Mangoldt's Einführung in die höhere Mathematik) is, ter vermijding van een opsplitsing van de betekenis van "convergent" (termconvergent vs. het oude somconvergent/sommeerbaar), gekomen met het logisch gezien onhoudbare idee om een notatiewijze voor een rij/reeks (uitgaande van termverschillen) te zien als een wiskundig begrip. Een object met eigenschappen zoals 'convergentie'.

Als meer secondaire bronnen ter onderbouwing van de beginzinnen zijn eerder genoemd:

- Schwartzmann, Kladblok5 noot 8: "In older usage, series sometimes meant what we would now call a sequence; for example, the Fibonacci 'series' is actually a sequence." ;

- De encyclopedieën van Diderot/d'Alembert en van Chalmers met: "SUITE, en Algèbre, est la même chose que série.", en met "Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto." ;

- 'user 757', Kladblok5 noot 2: "In modern terms, one might say that a sequence or a series is simply a function f: N→R -- the same in both cases. I think the significance of these observations is that a sequence and a series are not (readily) distinguished by what they are. They are distinguished by how they are used. We speak of the "sum" of series and the limit of the "terms." The words "sequence" and "partial sum" began to be used, I suppose, to help clarify the intended use."

Mocht het bovenstaande toch nog ontoereikend gevonden worden, dan is mijn wedervraag: waar vind ik een wél toereikende relevante onderbouwing van de "reeks"-beschrijving in zin 1 van de Madyno-versie ? -- Hesselp (overleg) 15 jun 2019 13:40 (CEST)Reageren

E.e.a. is bijzonder uitgebreid doorgenomen in april 2016, zie Overleg:Reeks (wiskunde)/archief#Tekstvoorstellen en uiteindelijk is er een peiling geweest in mei 2016. Is Hesselp (vroegtijdig gedeblokkeerd) dit 3 jaar later nu werkelijk vergeten? Bob.v.R (overleg) 15 jun 2019 14:00 (CEST)Reageren

Ik ga inderdaad niet in herhaling vallen; mijn argumentatie staat hierboven ergens, of in het archief. Succes met zoeken, maar we blijven niet bezig met telkens in cirkeltjes redeneren. Brimz (overleg) 15 jun 2019 14:43 (CEST)Reageren

Waarom zouden wij bronnen moeten leveren voor iets wat jij wilt veranderen?
Wat snap je niet aan het begrip "korte en duidelijke tekstvoorstellen"?

The Banner Overleg 15 jun 2019 18:00 (CEST)Reageren

Antwoord op vraag 1 van The Banner: Als jij, The Banner (of een ander), zo'n onderbouwing met bronnen levert, kunnen alle betrokkenen een vergelijking op inhoudelijke argumenten maken. Waarom zou dat niet wenselijk zijn? -- Hesselp (overleg) 16 jun 2019 10:15 (CEST)Reageren

Ik voel niet de behoefte het artikel te wijzigen. Dus het is puur en alleen aan jou om met duidelijke en korte tekstvoorstellen te komen. Niet de eindeloze lappen onleesbare tekst dat nu jouw handelsmerk is. Het is helemaal niet onmogelijk dat men akkoord gaat met een leesbaar tekstvoorstel. The Banner Overleg 16 jun 2019 10:32 (CEST)Reageren

Gelet op het feit dat Hesselp niet op mijn vraag antwoordt (en op zijn beurt wel tot in het absurde het omgekeerde eist van de wikipedia-gemeenschap), kunnen we dit blokje als afgerond beschouwen. Bob.v.R (overleg) 16 jun 2019 10:38 (CEST)Reageren

@The Banner. Niet gezien dat ik het had over een "onderbouwing met bronnen"? Dat is wat anders dan "het artikel wijzigen". -- Hesselp (overleg) 16 jun 2019 11:45 (CEST)Reageren

Ik had terdege wel gezien dat jij graag zou willen dat ik jouw rommel op ging ruimen. Maar zo werkt het niet. The Banner Overleg 16 jun 2019 16:47 (CEST)Reageren

Term

Laatste bericht: 5 jaar geleden14 berichten4 personen in overleg

De term 'reeks' in de hier gegeven betekenis is slechts beperkt tot de analyse en de daaruit voortvloeiende toepassingen. In andere disciplines en ook in het dagelijkse spraakgebruik is 'reeks', net als vroeger in de wiskunde, synoniem met 'rij'. Ook in delen van de wiskunde, zoals tijdreeksanalyse, en de analyse van historische reeeksen, is 'reeks' een synoniem voor 'rij'. Ik vind dat we dat beter moeten benadrukken. Madyno (overleg) 17 jun 2019 14:21 (CEST)Reageren

Heb je een kort en duidelijk tekstvoorstel? (of meerdere) The Banner Overleg 17 jun 2019 14:52 (CEST)Reageren

Naar die andere betekenissen kan wel, mits kort, worden verwezen, maar de toevoeging '(wiskunde)' maakt reeds duidelijk dat in dit artikel het gaat over de wiskundige betekenis van het woord. Voor andere betekenissen, zie bv. de dp Reeks. - Bob.v.R (overleg) 17 jun 2019 23:06 (CEST)Reageren

Wel, dan in de analyse. Bij tijdreeksanalyse gaat het over rijen. Madyno (overleg) 17 jun 2019 23:48 (CEST)Reageren

Maar dan hebben we het dus niet over een 'reeks' maar over de samengestelde term 'tijdreeks'. Dat is niet hetzelfde, maar het kan geen kwaad om het onderwerp wel even te noemen en voor de uitvoerige uitleg te verwijzen naar het artikel tijdreeksanalyse. - Bob.v.R (overleg) 18 jun 2019 03:31 (CEST)Reageren

En fourierreeks, taylorreeks? Ook samengesteld.Madyno (overleg) 20 jun 2019 13:03 (CEST)Reageren

Okay, terecht punt! Bob.v.R (overleg) 20 jun 2019 13:25 (CEST)Reageren

Voorstel

--Terminologie--
De term 'reeks' in de bovengenoemde betekenis is specifiek voor de analyse en toepassingen daarvan. In het dagelijkse spraakgebruik en in andere disciplines is 'reeks' synoniem met 'rij', evenals in oudere wiskundeliteratuur. Madyno (overleg) 20 jun 2019 22:57 (CEST)Reageren

En hoe wil je de tekst wijzigen? En waar? Een concreet tekstvoorstel is wenselijk. The Banner Overleg 20 jun 2019 22:59 (CEST)Reageren

Bij de laatste zinsnede hoort dan wel een bron (maar dat gaat wel lukken ....). Bob.v.R (overleg) 20 jun 2019 23:01 (CEST)Reageren

Ik vind het jammer dat er geen concreet tekstvoorstel is gekomen. Als wij allerlei eisen stellen aan Hesselp, is het logisch dat ook wij ons houden aan die eisen. The Banner Overleg 30 jun 2019 17:15 (CEST)Reageren

Maar, The Banner, de bijdrage van Madyno onder dit kopje met de veelzeggende naam #Voorstel is toch het tekstvoorstel dat nu ook zo in het artikel geplaatst is onder het kopje "Terminologie" zoals hierboven ook al aangegeven werd? Mvg, Trewal 30 jun 2019 17:56 (CEST)Reageren

Ik zie Bob bijvoorbeeld vragen om een bron, iets wat voor Hesselp zo'n beetje verplicht is. The Banner Overleg 30 jun 2019 18:10 (CEST)Reageren

In het artikel is een bron bijgevoegd door Madyno. Mvg, Trewal 30 jun 2019 19:43 (CEST)Reageren

Kronig's bijgevoegde bron, versus Madyno

Laatste bericht: 4 jaar geleden5 berichten3 personen in overleg

Met deze bewerking voegt Madyno toe als bron, een passage uit de door R. Kronig geschreven inleiding van het in die bron genoemde 'Leerboek der Natuurkunde'. In Hs. I, par. 2, sectie g. Reeksen, begint Kronig met
"Onder een reeks van n termen verstaan we een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}\,}$ ", en twee regels later
"Wanneer het aantal termen oneindig groot is, spreken we van een oneindige reeks [ ]" .

Madyno plaatst deze Kronig-bron in de tweede zin van Reeks (wiskunde), luidend:
"Een reeks wordt genoteerd als een uitdrukking van de vorm^[1] $\ \ a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots \$ [ ]".

Volgens Kronig IS een reeks een uitdrukking van de vorm .... Terwijl volgens de door Madyno teruggezette artikeltekst een reeks WORDT GENOTEERD ALS een uitdrukking van de vorm ... . In de sectie 'Definitie' wordt daarna gesteld dat de betekenis van reeks te definiëren is met het (helaas niet nader toegelichte of bebronde) woordpaar formele som.

Voor een goed begrip van zaken is het van essentieel belang om de wiskundige betekenis van een vakwoord volledig te scheiden van de mogelijke uitdrukkingsvormen voor een wiskundig begrip. Kronig geeft met zijn zin met 'verstaan we een uitdrukking' géén verduidelijking of ondersteuning van de Wikipedia-tekst. Ik stel daarom voor om die voetnoot weg te halen. Hesselp (overleg) 16 apr 2020 22:51 (CEST)(partieel gemuilkorfd per arbcom 11 april 2020)Reageren

Heb je ook bronnen voor deze beweringen? The Banner Overleg 16 apr 2020 23:06 (CEST)Reageren

Kun je misschien aangeven welke beweringen je precies bedoelt, The Banner? Volgens mij valt Hesselp vooral een bron aan die volgens hem momenteel onjuist gebruikt wordt, daar kun je doorgaans lastig een derde bron voor geven lijkt me. Encycloon (overleg) 16 apr 2020 23:16 (CEST)Reageren

Dit wordt geacht een voorstel te zijn voor een tekstwijziging conform de uitspraak. The Banner Overleg 17 apr 2020 00:15 (CEST)Reageren

1) De uitspraak van 2018 geeft niet aan dat bronvermelding te allen tijde noodzakelijk is ('kan' is niet hetzelfde als 'moet').

2) De maatregelen uit de uitspraak van 2018 zijn komen te vervallen.

3) Bij een vergelijking tussen tekst in een bron en de tekst die erdoor gedekt moet worden, lijkt het mij doorgaans niet noodzakelijk om daar nog een bron voor te eisen. Vandaar mijn vraag voor welke beweringen je een bron noodzakelijk acht. Encycloon (overleg) 17 apr 2020 00:30 (CEST)Reageren

"Grove misleiding van de lezer"

Laatste bericht: 4 jaar geleden2 berichten2 personen in overleg

Voor een bespreking van een tweetal bezwaren van Bob.v.R tegen onderdelen in deze bronnen-onderbouwing van deze eerdere versie van het lemma Reeks (wiskunde), zie deze Overlegpagina . Hesselp (overleg) 16 apr 2020 23:13 (CEST) (partieel gemuilkorfd per arbcom 11 april 2020)Reageren

bezwaar geen bronnen voor de stelling en waarom het een verbetering zou zijn. The Banner Overleg 28 apr 2020 23:33 (CEST)Reageren

"De term 'reeks' in de bovengenoemde betekenis"; kan Madyno die plek aanwijzen?

Laatste bericht: 4 jaar geleden2 berichten2 personen in overleg

Het citaat in het kopje komt uit de door Madyno toegevoegde sectie ‘Terminologie’ in Reeks (wiskunde). Hij claimt daar dat al eerder in die tekst een betekenis van de term 'reeks' is genoemd.
Maar wáár dan, Madyno (of een ander)? In welke van de vijf voorafgaande intro-zinnen staat de betekenis van de term 'reeks' (in de analyse/calculus) beschreven? Door welke betrouwbare bronnen wordt die – voor mij onzichtbare – beschrijving gedragen?
Ik stel voor om bij uitblijven van een bevredigend antwoord, de toevoeging van de sectie 'Terminologie' terug te draaien. Hesselp (overleg) 17 apr 2020 23:52 (CEST) (partieel gemuilkorfd per arbcom 11 april 2020)Reageren

bezwaar geen bronnen voor de stelling en waarom het een verbetering zou zijn. The Banner Overleg 28 apr 2020 23:33 (CEST)Reageren

"Soms wordt de benaming rekenkundige reeks gebruikt"

Laatste bericht: 4 jaar geleden10 berichten3 personen in overleg

De laatste zin van de intro van Reeks (wiskunde) stelt dat het woordpaar 'rekenkundige reeks' soms gebruikt wordt in een betekenis die afwijkt van die van het woordpaar 'rekenkundige rij' (een afbeelding op de natuurlijke getallen met een constant verschil tussen de termen). Ik geloof daar helemaal niks van, en stel voor om er ofwel een aantal overtuigende bronnen bij te zetten, ofwel de hele zin te schrappen. Hesselp (overleg) 19 apr 2020 09:05 (CEST) (partieel gemuilkorfd per arbcom 11 april 2020)Reageren

De essentie is dat in die bewuste zin beweerd wordt dat de term 'reeks' ook wel wordt gebruikt bij een eindig aantal termen. Dat een reeks niet hetzelfde is als een rij blijkt al voldoende uit beide artikelen. Bob.v.R (overleg) 19 apr 2020 10:49 (CEST)Reageren

Het in de laatste intro-zin gesuggereerde verschil tussen een 'rekenkundige rij' en een 'rekenkundige reeks' blijkt NIET uit beide artikelen (Rij en Reeks), zolang in Reeks (wiskunde) de betekenis van het trefwoord 'reeks' verklaard moet worden met het nergens beschreven of bebronde, inhoudsloze 'formele som' (door Bob.v.R hier dd. 2 dec 2015 onder het kopje 'Definitie' geplaatst). Ook al strooit Bob.v.R in mijn richting met kwalificaties als "valse beschuldiging" 18 apr 2020, en "grove misleiding" 1/2 apr 2020. Als hij z’n uitvlucht moet nemen tot zulke kreten, dan ga je vermoeden dat zijn 'formele som'-kaarten niet zo sterk zijn. Hesselp (overleg) 19 apr 2020 21:01 (CEST) (partieel gemuilkorfd per arbcom 11 april 2020)Reageren

Als Hesselp zich aantoonbaar schuldig maakt aan grove misleiding dan benoem ik dat ook zo. Bob.v.R (overleg) 20 apr 2020 12:24 (CEST)Reageren

En dan nu graag nog wel even het "laten juist zien" en het "is onjuist!!!" AANTONEN, svp. Hesselp (overleg) 20 apr 2020 23:30 (CEST) (partieel gemuilkorfd per arbcom 11 april 2020)Reageren

Eerlijk gezegd is het aan jou om met bewijs te komen. En een bruikbaar (en dus bebrond) voorstel te maken dat consensus bereikt. The Banner Overleg 20 apr 2020 23:43 (CEST)Reageren

Tsja, meer dan 70 anderstalige wikipedia's hebben een artikel over dit onderwerp. Hesselp is het kennelijk niet eens met meer dan 70 wikipedia's. Bob.v.R (overleg) 21 apr 2020 09:13 (CEST)Reageren

Deze hoofdsectie begon ik met: De laatste zin van de intro van Reeks (wiskunde) stelt dat het woordpaar 'rekenkundige reeks' soms gebruikt wordt in een betekenis die afwijkt van die van het woordpaar 'rekenkundige rij' (een afbeelding op de natuurlijke getallen met een constant verschil tussen de termen).

Omdat het voor een gemiddelde lezer wat lastig is om de bedoelde (van 'rekenkundige rij' afwijkende) betekenis van 'rekenkundige reeks' , te distilleren uit een 70-tal (niet nader aangewezen) artikelen over dit onderwerp in anderstalige Wikipedia’s , stel ik voor dat Bob.v.R - of een ander - die afwijkende betekenis onder woorden brengt. En het resultaat op deze Overlegpagina ter beoordeling voorlegt.

Wordt het wat anders dan: "Een rekenkundige reeks is een formele som (whatever that me be) met een constant verschil tussen opvolgende termen" ? Hesselp (overleg) 21 apr 2020 12:58 (CEST) (partieel gemuilkorfd per arbcom 11 april 2020)Reageren

De bedoelde zin beweert in essentie dat soms een eindige sommatie ook een reeks genoemd wordt. Bob.v.R (overleg) 21 apr 2020 14:03 (CEST)Reageren

En dus staat 'rekenkundige reeks' in die zin voor . . . . ??? Zolang het antwoord daarop ontbreekt, dient het geschrapt te worden en blijven. Hesselp (overleg) 21 apr 2020 14:32 (CEST) (partieel gemuilkorfd per arbcom 11 april 2020)Reageren

Waarom de Kuznetsov/Stienstra-noot bij de definitiepoging met 'formele som' ?

Laatste bericht: 4 jaar geleden2 berichten2 personen in overleg

In de in voetnoot 5 bedoelde passage op pag. 9 komt het woordpaar 'formele som' helemaal niet voor!
De eerste zes regels laten zich lezen als: "Een wiskundige kiest vaak voor het woord 'reeks' ipv. 'rij' om aan te geven dat het in de context gaat om de opvolgende partieelsommen van de termen. Daarbij gebruikt hij de plussen-notatie (of de sigma-notatie: de Griekse S van partieelSommen) in plaats van de notatie met komma's tussen de termen." Tot zover lijkt me dit aannemelijk.
In de daarop volgende laatste zin wordt er echter een zwaai gemaakt van rij-in-een-partieelsommen-context naar een bepaalde notatievorm (voor een rij?, voor een getal?, voor een voorlopig mysterieus begrip daartussenin?), beschreven met de niet nader toegelichte woorden som van oneindig veel getallen. Medeauteur Stienstra heeft hier desgevraagd als commentaar op gegeven dat dit inderdaad niet klopt.
Mijn voorstel: ofwel deze voetnoot weglaten, ofwel in het artikel de passage aanhalen als voorbeeld van de vele teksten waarin het begrip 'afbeelding op de natuurlijke getallen' (rij dan wel reeks genoemd) niet onderscheiden wordt van bepaalde notatievormen. Hesselp (overleg) 19 apr 2020 21:20 (CEST) (partieel gemuilkorfd per arbcom 11 april 2020)Reageren

bezwaar geen bronnen voor de stelling en waarom het een verbetering zou zijn. The Banner Overleg 28 apr 2020 23:32 (CEST)Reageren

Potsierlijk

Laatste bericht: 4 jaar geleden1 bericht1 persoon in overleg

De opmerkingen, die meer het karakter van gezeur en gedram hebben, van Hesselp over de formele som beginnen potsierlijke vormen aan te nemen, gelet op het feit dat 4 jaar geleden door Trewal al uitsluitsel is gegeven, op 1 mei 2016 om 21:56 uur om precies te zijn. Bob.v.R (overleg) 20 apr 2020 12:22 (CEST)Reageren

"Formele som", nog in het artikel te verklaren en te bebronnen. Óf . . .

Laatste bericht: 4 jaar geleden2 berichten2 personen in overleg

Volgens Bob.v.R is het afwezig zijn van enige betekenisbeschrijving c.q. bebronning van het woordpaar 'formele som' (gebruikt ter definiëring van het titelwoord 'reeks' in Reeks (wiskunde)) te rechtvaardigen. En wel omdat (let wel) in 2016 Trewal op deze overlegpagina heeft doorverwezen naar twee Amerikaanse calculusboeken.
Wat schiet een lezer van het lemma daar mee op?
Waar dan nog bijkomt dat het woordpaar 'formal sum' in deze boeken helemaal nergens voorkomt (Calculus, G.E.F. Sherwood / A.E. Taylor, 3rd ed. 1954; Complex Analysis for Mathematics and Engineering, G.H. Matthews / R.W. Howell, 4th ed. 2001). Ook in twee andere door Trewal een dag eerder (30 april 2016 22:16 (CEST) ) bedoelde werken is geen enkele beschrijving van de betekenis van 'formal sum' te vinden; alleen dat dit mysterieuze begrip in de regel genoteerd wordt met de plussen-en-punten-vorm of de grote-sigma-vorm.
Dat 'spookbegrip' is n i e t een rij (een afbeelding op de natuurlijke getallen), n i e t de sommenrij-functie (die aan een rij z'n sommenrij toevoegt, soms symbool ${\textstyle \,\sum \,}$ ), n i e t de sommenrijlimiet-functie (die aan een rij z'n som toevoegt, soms symbool ${\textstyle \,\sum ^{\infty }\,}$ ), en n i e t een getal. Maar wat is het dan wél?
Of is die (sporadisch met 'formal sum' aangeduide) reeks nog steeds gewoon hetzelfde ding als wat eeuwenlang met het latijnse 'series' (in het Frans naast het gebruikelijke 'série' ook al vroeg met 'suite') aangeduid is? Waarbij door Konrad Knopp en anderen nogal wat verwarring gezaaid is door naast de traditionele betekenis van 'convergent' (een partieelsommenlimiet hebbend), een tweede betekenis voor hetzelfde woord (een termenlimiet hebbend) te gaan propageren. Mijn voorstel is om die dubbele betekenis, en de gevolgen ervan, in het lemma aan de orde te laten komen. Bijvoorbeeld met deze al eerder geplaatste tekstversie. Hesselp (overleg) 20 apr 2020 23:05 (CEST) (partieel gemuilkorfd per arbcom 11 april 2020)Reageren

bezwaar geen bronnen voor de stelling en waarom het een verbetering zou zijn. The Banner Overleg 28 apr 2020 23:31 (CEST)Reageren

Wat zegt Oosthoeks Encyclopedie over reeksen?

Laatste bericht: 4 jaar geleden3 berichten2 personen in overleg

Op 30 juni 2019 heeft Madyno een verwijzing toegevoegd naar Oosthoeks Encyclopedie (voetnoot 2). Ik stel voor dat hij het door hem relevant geachte tekst-gedeelte uit die encyclopedie op deze Overlegpagina plaatst. Zodat de relevantie ook door anderen beoordeeld kan worden. Hesselp (overleg) 21 apr 2020 22:41 (CEST) (partieel gemuilkorfd per arbcom 11 april 2020)Reageren

Gezien het niet getoond worden op deze Overlegpagina van de bedoelde passages uit de Oosthoek-tekst, stel ik voor om die Oosthoek-voetnoot te schrappen. Hesselp (overleg) 27 apr 2020 18:01 (CEST) (partieel gemuilkorfd-OT per arbcom 11 april 2020)Reageren

bezwaar geen bronnen voor de stelling en waarom het een verbetering zou zijn. The Banner Overleg 28 apr 2020 23:31 (CEST)Reageren

"Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term reeks gebruikt"

Laatste bericht: 4 jaar geleden9 berichten4 personen in overleg

De slotzin van de huidige artikel-intro geeft aanleiding tot nog de volgende punten:
(1) Het 'soms' en het 'ook wel' is dubbelop, en daarom wat storend voor een lezer.
(2) Niet duidelijk wordt gemaakt welke relatie een lezer zich moet denken tussen enerzijds "het gebruikt worden van de term reeks", en anderzijds een situatie waarin "een eindig aantal termen" een rol speelt.
(3) In het gegeven 'voorbeeld' wordt zo’n situatie beschreven met de woorden "bij de sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij". De ter toelichting geplaatste link komt uit bij een blok van 18 regels onder het kopje Afleiding van de somformule, maar het verband tussen de term 'rekenkundige reeks' en die 18 regels wordt niet gelegd.
(4) In Bob.v.R’s (19 apr 2020) "De essentie is dat in die bewuste zin beweerd wordt dat de term 'reeks' ook wel wordt gebruikt bij een eindig aantal termen." zit een essentieel gat.
Het ". . . bij een eindig aantal termen" zal ik van hem niet mogen lezen als ". . . voor een RIJ met een eindig aantal termen". Maar dan blijft de lezer met de vraag: "voor een WAT-DAN-WÉL?? met een eindig aantal termen".
(5) Mijn voorstel is om de zin geheel te schrappen. Dan wel dat een andere betrokkene bij dit lemma, op deze Overlegpagina een alternatief laat zien dat rekening houdt met het bovenstaande, onderbouwd met relevante bronnen. Hesselp (overleg) 22 apr 2020 18:08 (CEST) (partieel gemuilkorfd-OT per arbcom 11 april 2020)Reageren

En wat is het exacte voorstel? Kun je dat kort omschrijven, bij voorkeur met de bronnen waarop het gebaseerd is? The Banner Overleg 22 apr 2020 18:41 (CEST)Reageren

De zin "Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term reeks gebruikt, bijvoorbeeld rekenkundige reeks bij de sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij." is correct Nederlands, Hesselp construeert een 'probleem' dat er niet is. Bob.v.R (overleg) 23 apr 2020 14:11 (CEST)Reageren

Maak ervan: "Soms wordt ook bij een eindig aantal termen wel het begrip reeks gebruikt, bijvoorbeeld rekenkundige reeks bij de sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij." Madyno (overleg) 23 apr 2020 14:23 (CEST)Reageren

Akkoord. Met dank aan Hesselp voor opmerking (1). Bob.v.R (overleg) 23 apr 2020 14:35 (CEST)Reageren

Grammaticaal correct Nederlands ? Ja Bob.v.R, dat zal best zo zijn. Maar dat betekent toch helemaal nog niet dat zo’n zin in de intro van een Wikipedia-lemma op z’n plaats is?

Want nog altijd blijkt er niemand te zijn die hier op deze Overlegpagina komt uitleggen VOOR WAT DAN WÉL?? de term reeks (c.q. het begrip reeks) soms ook wel (c.q. soms wel) gebruikt wordt. Als het niet mag zijn (ondersteund door een kleine vierhonderd bronnen) voor de term rij (c.q. het begrip rij).

Hopelijk komt er nu niet direct als reactie: "Het antwoord is te vinden in de sectie 'Definitie' van Reeks (wiskunde)". Want dan zou ik wéér moeten zeggen dat voor het daar ter definiëring gebruikte "formele som" nergens enige uitleg (van een begrip binnen de analyse/calculus) te vinden is.

Terzijde: Voor een afbeelding op een eindig beginstuk van de natuurlijke getallen, is het woord rijtje gangbaar (en ook wel tupel). Zie in luchtige rijtjes de opgave aan het slot. Hesselp (overleg) 23 apr 2020 18:44 (CEST) (partieel gemuilkorfd-OT per arbcom 11 april 2020)Reageren

Als het niet juist is, kun je dan met bronnen komen die jouw gelijk bewijzen? The Banner Overleg 23 apr 2020 18:50 (CEST)Reageren

Vervangingsvoorstel, wie voert het in?

De slotzin in de intro van Reeks (wiskunde) werd na aanmerkingen in mijn bijdrage van 22 apr 2020, op 23 apr 2020 gewijzigd door Bob.v.R. Waarbij het door mij in de punten (2) en (4) genoemde (naar welke situatie verwijst het "bij een eindig aantal termen"?) genegeerd werd.
Mijn vraag naar een alternatief (VOOR WAT DAN WÉL?) voor de vervanging van dat "bij een eindig aantal termen" door "voor een rij met een eindig aantal termen", hier en hier gesteld, is – tot nu toe – onbeantwoord gebleven.

Ik verzoek daarom aan een van de lezers van deze pagina om de in de vorige zin voorgestelde vervanging, daadwerkelijk in de artikeltekst in te voeren. Hesselp (overleg) 26 apr 2020 23:27 (CEST) (partieel gemuilkorfd-OT per arbcom 11 april 2020)Reageren

bezwaar geen bronnen voor de stelling en waarom het een verbetering zou zijn. The Banner Overleg 28 apr 2020 23:29 (CEST)Reageren

"Kleine stijl-aanpassing, ..." ?

Laatste bericht: 4 jaar geleden13 berichten3 personen in overleg

Bob.v.R verandert in de intro van Reeks (wiskunde)
"Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term reeks gebruikt, ..."
in
"Soms wordt ook bij een eindig aantal termen wel het begrip reeks gebruikt, ..." . [Onderstrepingen door Hesselp]
Met in zijn bewerkingssamenvatting: "kleine stijl-aanpassing," Alsof hij nog steeds niet in de gaten heeft dat er geen enkel zinnig Wikipedia-artikel mogelijk is zonder dat de NAAM voor iets gezien wordt als fundamenteel verschillend van de INHOUD ervan. Hesselp (overleg) 23 apr 2020 22:42 (CEST) (partieel gemuilkorfd-OT per arbcom 11 april 2020)Reageren

Dit was conform het voorstel van Madyno, ik zag hiertegen geen bezwaren verschijnen, ook niet van Hesselp. Bob.v.R (overleg) 24 apr 2020 03:27 (CEST)Reageren

Nee Bob.v.R, deze kanttekeninghad NIET te maken met het Madyno-voorstel. Daarin werd niet voorgesteld om het vervangen van de term reeks door het begrip reeks te betitelen als "kleine stijl-aanpassing".

En deze vraag blijft nog openstaan: Als ik het "bij een eindig aantal termen" in de laatste intro-zin niet mag lezen als "voor een RIJ met een eindig aantal termen", voor een WAT-DAN-WÉL met een eindig aantal termen? Hesselp (overleg) 24 apr 2020 15:48 (CEST) (partieel gemuilkorfd-OT per arbcom 11 april 2020)Reageren

Even voor de goede orde: het voorstel van Madyno was om WEL de term 'term' te vervangen door de term 'begrip'. Als Hesselp zijn bezwaar daartegen eerder kenbaar had gemaakt (in plaats van achteraf), dan had wellicht het overleg op een iets rustiger toonhoogte gevoerd kunnen worden (in plaats van zoals nu het door Hesselp bekritiseren van een bewerkingssamenvatting, kennelijk bij gebrek aan serieuzere argumenten). Wellicht kan Madyno toelichten waarom hij hier de term 'begrip' wilde hebben staan? Bob.v.R (overleg) 24 apr 2020 17:25 (CEST)Reageren

IK vraag begrip voor het begrip begrip. Madyno (overleg) 24 apr 2020 17:40 (CEST)Reageren

Madyno, Hesselp pleit met verve voor een goed begrip van het begrip 'begrip', waarvoor begrip zal zijn. Zal ik het vervangen door de term 'term'? Bob.v.R (overleg) 24 apr 2020 20:33 (CEST)Reageren

Dat interfereert nogal met de term term als term van de reeks. Madyno (overleg) 24 apr 2020 22:29 (CEST)Reageren

Aha, okay. Dan de aanduiding 'aanduiding'? Bob.v.R (overleg) 24 apr 2020 22:42 (CEST)Reageren

Kun je een nadere aanduiding van de aanduiding aanduiding geven? Madyno (overleg) 25 apr 2020 13:53 (CEST)Reageren

Ik bedoel hier de gebruikelijke betekenis, dus niet hetgeen te vinden valt bij Aanduiding. - Bob.v.R (overleg) 26 apr 2020 04:13 (CEST)Reageren

Sollie, ik niet begrijpen: wat heeft de term aanduiding met het begrip reeks te maken? Madyno (overleg) 26 apr 2020 10:41 (CEST)Reageren

Ik zie geen bezwaren tegen mijn suggestie, ook niet van Hesselp. - Bob.v.R (overleg) 27 apr 2020 01:54 (CEST)Reageren

Ik ook niet!Madyno (overleg) 27 apr 2020 11:24 (CEST)Reageren

[1] Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies

[2] Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ . Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal.
Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ :
– kettingbreuk-voorstelling, als limiet van de 'getrapte breuken'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}1/(a_{2}{+}1/(\cdots {+}a_{n})/n\,}$
– oneindigproduct-voorstelling, als limiet van de 'partieelproducten'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \,\cdots \,\cdot a_{n})\,}$
– cesàrosom-voorstelling, als limiet van de gemiddelde partieelsommen; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,}$ .

[3] (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet; en ook nog (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.

[4] Vertalingen van 'reeks' zijn: Frans série, Engels series, Duits Reihe. En van 'rij': série, series, Folge.

[5] Zo'n alternatieve som dient overeen te komen met de 'gewone' som, bij toepassing op een 'gewoon' sommeerbare rij.

[6] Vaak krijgt de beginterm index 0 in plaats van 1, ter vereenvoudiging van de formule voor de algemene term.

[7] C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenz-werthe".

[8] Noot: Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies

[9] Een toelichting bij de genoemde vervanging staat in deze tekst uit 2014: Mathematics Educators Stack Exchange, in het vierde antwoord op de startvraag, door 'user 757': "In modern terms, one might say that a sequence or a series is simply a function f: N→R -- the same in both cases. I think the significance of these observations is that a sequence and a series are not (readily) distinguished by what they are. They are distinguished by how they are used. We speak of the "sum" of series and the limit of the "terms." The words "sequence" and "partial sum" began to be used, I suppose, to help clarify the intended use."

[10] Betekenisbeschrijvingen van 'reeks' in Nederlandstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'rij' :
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Eene menigte grootheden, waarvan ieder volgende naar eene zekere wet, aan alle gemeen, bepaald wordt, draagt den naam van rij of reeks, " .
– P.J. Prinsen, Anoldus Bastiaan Strabbe's Eerste beginselen van de arithmetica of rekenkunst, vierde deel, 4e druk 1832, blz. 163: "Eene oneindige reeks is een vervolg van breuken, die steeds in een bestendige orde voortgaan, ".
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 25: "Men noemt in het algemeen eene reeks eene opeenvolging van termen die volgens eene bepaalde wet van elkander afhangen, en die op eene gegevene wijze op elkander volgen."
– B.L.de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 146: "Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens zekere wetten van elkander afhangen."
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: &thinsp"Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens eene zekere wet van elkaâr afhangen."
– J. Versluys, Tijdschrift voor vormleer, rekenkunde en de beginselen der wiskunde, 1882 Jrg.4, blz. 45: "Wil men een bepaling van reeks geven, dan zou men kunnen zeggen, dat een rij van getallen een reeks is."
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 1: "Elke rij van getallen, positieve of negatieve, geheele of gebroken, meetbare of onmeetbare, die op de een of andere wijze van elkaar afhangen, kan men een reeks noemen."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 167: "Een reeks is een opvolging van getallen die aan een bepaalden wet van wording voldoen."
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige reeksen Bijvoegsel van het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde gewijd aan onderwijsbelangen, 1924/25, jrg.1 nr. 4, blz. 142-160: "een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk (d.w.z. positief geheel) getal) een grootheid toeordent."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925 deel IV blz. 375 (idem 1933, 2e druk deel I, blz. 119: "Is u_n een functie van het indexgetal n, dan heet de rij getallen: u₁, u₂, u₃ ....u_n,.... een oneindig voortloopende reeks van constante getallen u_n ."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, leerboek voor de acte wiskunde l.o., deel II, 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".
– O. Donker, Handleiding no. 3, analyse - reeksen, 1948, blz. 5: "Een rij is een verzameling van een oneindig aantal onsamenhangende termen. Een reeks is een verzameling van een oneindig aantal samenhangende termen. Een reeks is dus op te vatten als een geordende rij. De termen van een reeks zijn samenhangend; d.w.z. een volgende term is steeds uit een voorgaande af te leiden."
– B.Marius, A.C.Valkenaars, Algebra voor de kweekschool, 1961, blz. 87: "Een reeks is een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd is."

[11] In Nederlandse schoolboeken, tot de introductie van het woord 'rij' rond 1960, werd een oneindige getallenrij uitsluitend met 'reeks' aangeduid:
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra met vraagstukken, deel 4, 2e1907
– A. van Thijn, Leerboek der Algebra, met vraagstukken, deel 3, 2e1918
– S. Osinga, Beknopt leerboek der algebra, 1e1918
– S. Osinga, Rekenboek voor aspirant-machinisten en machinisten ter koopvaardij, 2e1919
– P. Wijdenes, D. de Lange, Leerboek der algebra, deel 3, 4e1921
– P. Wijdenes, Middelalgebra (ééndelig), 1e1921
– L. Yntema, A.J. c.s., 'Algebra voor VHMO, deel 3: 1e1926
– H.C. Derksen, Algebra /vraagstukken met theorie, deel 3, 3e1926
– C.A. van Beek, W.H.C. van Heek, Algebra /voor Onderwijzersopl. en Hoofdakte-studie, 2e1926
– J.C. van Velthoven, Overzicht der algebra/voor het eindexamen gymnasium en hbs, 1e1935
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 1e1935
– P. Wijdenes, Lagere algebra II (Vergelijkingen, Functies, Grafieken, Reeksen), 3e1935
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra /ten dienste der hbs, deel 3, 2e1936
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra IV-gymn., 1e1946
– B. Coster, A. van Dop, Algebra voor het eindexamen, 1e1950
– G.N. Meurs, S. de Vries, Algebra (serie: Op hoger plan, voor U.L.N.O…) deel 2, 5e1950
– P. Jansen, G.W. van Brink, Beknopte theorie der rekenkunde, 9e1951
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-bèta, 1e1952
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-alfa, 1e1953
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 8e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 3 4e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 2 7e1956
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Algebra voor het eindexamen, 3e1956
– P.J.G. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra voor VH&MO, deel 3, 2e1957
– C.J. Alders, G.J. Hietbrink, Algebra voor kweekscholen, 2e1958
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 32e-35e druk 1959
– E.J. Peusken, A.J. de Boer, Leerboek der algebra (serie B, v. V&M Nijverh.O), 3e1959
– G. Smit, Verzameling van algebraïsche vraagstukken met de theorie, deel 3, 21e1960
– C. Munk, J. Schaafsma, Algebra /bestemd voor het kweekschoolonderwijs, 1e1960, 2e1963
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 11e1961
– G. ter Hennepe, J.W. Oostenga, Algebra /leerboek voor het ulo-onderwijs, deel 3, 1e1962
– H. Vergoossen, Algebra (UTO-reeks), deel 2, 4e1963

[12] Betekenisbeschrijvingen van 'Reihe' in Duitstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'Folge' :
– J.F. Lorenz, Die Elemente der Mathematik, erster Theil: Die reine Mathematik, 2. Aufl. 1793, blz. 55: "Eine Reihe, series, heiszt eine Menge von Gröszen [...], deren jede nach einem gewissen allen gemeinschaftlichen Gesetze bestimmt wird."
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, ca. 1800, blz. 390-395: "... man beschränkt daher in der höhern Mathematik den Ausdruck Reihe auf den Inbegriff solcher Grössen, die, insofern man jeder derselben ihre eigene Stelle anweiset, d.i. die erste, zweite, dritte Grösse u.s.f. unterscheidet, alle nach einem Princip bestimmt werden. "
– G. von Vega, Vorlesungen über die Mathematik, erster Band: Rechenkunst und Algebra, 3. Aufl. 1802 (idem: 7.Aufl. 1850), blz. 305: "Eine Folge von Gröszen, welche nach einem bekannten Gesetze wachsen, oder abnehmen, wird überhaupt eine Reihe, oder Progression, [...] genennt."
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 113: "Eine Reihe heisst eine Folge von Zahlen, welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– J.C. Fischer, Reine Elementar-Mathematik, 1820, blz. 165: "Unter einer Reihe oder Progression (series s. progressio) versteht man eine Menge von Grössen oder Gliedern (termini), welche ingesammt von einem allgemeinen Gesetze abhangen."
– J.F. Lorenz, Grundlehren der allgemeinen Gröszenberechnung ..., ersten Theils zweyte Abtheilung, 5. Aufl. 1821, blz. 166: '" Eine Reihe, series, ist jede Folge von Gröszen [...] die alle nach einem gemeinschaftlichen Gesetze [...] bestimmt werden, ".
– G.S. Klügel, C.B. Mollweide, Mathematisches Wörterbuch, vierter Theil Q bis S, 1823, blz. 272 (abusievelijk genummerd 274): "Reihe (Series) ist erstlich eine Folge von Gröszen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze gebildet werden; zweytens eine nach irgend einem Gesetze entwickelde Folge der Theile einer Grösze, welche eine Function einer andern ist, nach deren Potenzen gewöhnlich die Glieder der Reihe fortschreiten. [...] blz. 273: Die Reihen der ersten Classe heissen oft und schicklich Progressionen."
– J. von Gott Bundschue, Lehrbuch der Arithmetik,1824, blz. 203-204: "Eine Menge von Gröszen, derer jede nach einem allgemeinen Gesetze bestimmt ist, wird eine Reihe (Series) oder eine Progression (Progressio, von progredior - fortgehen) genannt; ".
– J.A. Eytelwein, Grundlehren der hohern Analysis, erster Band, 1824, blz.76: "Wenn mehrere auf einander folgende Gröszen nach irgend einem Gesetze fortschreiten, so bilden solche eine Reihe (Series), ".
– A. von Ettingshausen, Vorlesungen über die höhere Mathematik, erster Band: Vorlesungen über die Analysis, 1827, blz. 12: "Eine Folge von Gröszen, welche hinsichtlich ihres arithmetischen Baues nach einem gemeinschaftlichen Gestetze fortschreiten, heiszt eine Reihe."
– A. Burg, Compedium der höhern Mathematik, 1836, blz. 126: "Eine nach irgend einem Gesetze gebildete Folge von Gröszen wird Reihe [...] genannt."
– D.F. Hecht, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, . . ., 3.Aufl. 1853, blz. 61: "Eine Progression oder Reihe ist jede Folge von Gröszen oder Gliedern, die alle nach einem gemeinschaftlichen Gesetze [...] bestimmt werden,".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz.2: " Reihe = jede Folge von Gröszen, welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind."
– J. Helmes, Die Elementar-Mathematik ..., erster Band, zweiter Theil, 1864, blz. 425: "Unter Reihe oder Progression überhaupt versteht man eine Folge von Zahlen, von denen jede nachfolgende aus der vorhergehenden nach einem und demselben Gesetze gebildet wird."
– C. Spitz, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, erster Theil, 1874, blz. 412: "Eine Folge von Gröszen oder Zahlen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze fortschreiten, heisst eine Reihe oder Progression."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Man nennt "Reihe" eine unbegrenzte Folge von Zahlgröszen u₀, u₁, u₂, u₃, etc..... , welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Xav. Pfeifer, Der goldene Schnitt, 1885, blz. 4: "Die mathematische Reihe ist eine Folge von gleichartigen Gröszen, welche nach einem bestimmten Gesetze fortschreitet."
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 178: "Unter einer Reihe versteht man eine unbegrenzte Folge von Zahlgröszen u₁, u₂, u₃, u₄, . . . welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Es seien u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n die aufeinander folgenden Glieder einer Reihe, so gebildet, dass jedes Glied aus dem vorhergehenden in gesetzmässiger Weise abgeleitet werden kann."
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "Eine Reihe besteht aus einer Anzahl von Gliedern, die nach demselben Gesetze gebildet sind." blz. 159:"Die Anzahl der Glieder einer Reihe kann unendlich wachsend angenommen werden. Man erhält dann eine unendliche Reihe."
– H. Weber, Encyklopädie der elementaren Algebra und Analysis, 2. Aufl. 1906, blz. 395: "Unter eine Zahlenreihe verstehen wir eine gesetzmässige Aufeinanderfolge von Zahlen irgend welcher Art: ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\,}$ und nennen diese Zahlen auch die Glieder der Reihe."
– P. Epstein (oorspr. Italiaans E. Pascal), Repertorium der höheren Analysis, 1. Hälfte, 2. Aufl. 1910, blz. 421: "Eine nach irgendeiner Vorschrift gebildete Folge von Zahlen ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ heisst eine Reihe. "
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1.Aufl.1912); 2.Aufl.1919, blz.171; 3.Aufl.1921, blz.171; 5.Aufl.1929, blz.171: "[...] ${\textstyle \,u_{1};\ u_{2};\ u_{3};\ \cdots \ }$ [...] heisst jedesmal eine unendliche Reihe ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 189: "Bildet man bei einer arithmetischen Reihe die Summen, die sich nacheinander durch Hinzunahme von immer mehr Gliedern ergeben, so entsteht eine neue Zahlenfolge oder Reihe."
– G. Kowalewski, Die klassische Probleme der Analysis des Unendlichen, 3. Aufl. 1938, blz. 1: "so findet man a, aq, aq², . . . Dies ist eine geometrische Reihe ... ."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Dabei ist nun jede komplexe Zahlenfolge (u_n)_n eine unendliche Reihe . . .".

[13] Betekenisbeschrijvingen van 'série' in Franstalige studieboeken, vóór circa 1880:
– A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, u₂, u₃, &c. ... qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée. "
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 486), blz. 520: "On appelle suité infinie, série infinie, ou simplement suite, série, une expression composée d'un nombre illimité de termes. La série est dite régulière, lorsqu'à partir d'un certain terme tous les suivants peuvent être formés d'après une même loi."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 25: "On appelle série une suite de grandeurs déterninées dont le nombre est indéfini."; blz. 437: "On appelle série une suite de termes positifs ou négatifs, dont le nombre est infini."
– Ch. Sturm, Cours d'analyse, tome I; 2me édition, 1863, blz. 40: "Une série est une suite composée d'un nombre infini de termes formés tous après une loi déterminée."
– C. Méray, Nouveau précis d'analyse infinitésimal, 1872, blz. 19: "Une série est une suite de quantités réelles ou imaginaires en nombre illimité se calculant successivement suivant une loi donnée."
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, ··· u_n, ··· formées suivant une loi déterminée."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est une suite illimitée de nombres se succédant d'apres une loi déterminée;" .
– G. Dubois, Définition des series formelles, 2015 (of later): "Une série formelle (à coefficients dans ${\textstyle \,A\,}$ ) est tout simplement un élément de l'espace produit ${\textstyle \,A^{\mathbb {N} }}$ . Donc une série formelle est une suite ${\textstyle \,S=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ . Nous rappelons qu'une telle suite n'est rien qu'n autre nom pour une application de ${\textstyle \,\mathbb {N} \,}$ dans ${\textstyle \,A\,}$ .

[14] Betekenisbeschrijvingen van 'series' in Engelstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'sequence' :
– A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation, [...] ".
– J. Wood, The elements of algebra, 12th edition 1845, blz. 232: "An infinite series is a series of terms proceeding according to some law, and continued without limit."
– W.M. Buchanan, A Technological Dictionary: explaining . . ., 1846, blz. 655: "SERIES, - 2. In analysis, a succession of terms, or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– H.L. Horton, Mathematics at work; first edition, 1949, blz. 2-23: "A series is a succession of terms whose formation is governed by the Law of the Series, each term being derived from one or more preceding terms by the provision of this law."
– A.A. Klaf, Arithmetic refresher for practical men, 1964, blz. 266: "What is a series? A succession of terms so related that each may be derived from one or more of the preceding terms in accordance with some fixed rule or order."
– S. Schwartzmann, The Words of Mathematics, 1994, blz.196: "In older usage, series sometimes meant what we would now call a sequence; for example, the Fibonacci 'series' is actually a sequence."

[15] Beschrijvingen van de wiskundige betekenis van het Latijnse 'series' :
– Groot en volledig woordenboek, 1758, blz. 324: "ONEINDIGE Ry, REEK of SCHAKELING, Infinita Series, is eene Ry van oneindige Getalen, die na een zekere Order geduurig voortgaan, zoodanig, dat men dezelven daar door duidelyk begrypen, en van alleen anderen Ryen der Getallen onderscheiden kan. "
– Paulus Mako, Compendiaria matheseos institutio, editio tertia 1771, blz. 209 Caput V, De seriebus: "Series est ordo quantitatum certa aliqua, et constanti lege excipientium. E.g. progressiones arithmeticae, et geometricae sunt series".

[16] Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ . Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal.
Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ :
– kettingbreuk-voorstelling, als limiet van de 'getrapte breuken'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}1/(a_{2}{+}1/(\cdots {+}a_{n})/n\,}$
– oneindigproduct-voorstelling, als limiet van de 'partieelproducten'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \,\cdots \,\cdot a_{n})\,}$
– cesàrosom-voorstelling, als limiet van de gemiddelde partieelsommen; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,}$ .

[17] – P. Wijdenes, Middel-algebra, deel II, 4e druk 1949, blz. 118: "Om te kennen te geven, dat we aan de partiële sommen aandacht schenken, noemen we de oneindige rij getallen een oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks " .
– D.A. Quadling, Mathematical analysis, (first published 1955) reprint 1968, blz. 85: "When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINITE SERIES. The series is denoted by the symbol ${\textstyle \,\sum u_{r}\,}$ ; no numerical value is associated with this symbol, which is simply a convenient name for the series whose r-th term is u_r."
– H.J. Keisler, Elementary calculus, 1976, blz. 529; idem 2012, blz. 501: "We can go from this example to the general notion of an infinite sum. When we wish to find the sum of an infinite sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ we call it an infinite series and write it in the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ ."
– University of Regina (Canada), quandaries & queries, "The sequence of numbers (1, 2, 3, … , 100) is arithmetic and when we are looking for the sum of a sequence, we call it a series."

[18] (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet; daarnaast nog (3) (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.
– J.S. Cook, Mathematics Educators Stack Exchange, 2014, zesde antwoord op de startvraag: "It is unfortunate the term convergent has radically different meaning as it applies to sequences and series."
– ~~Wikipedia-Esperanto~~ Vertaald uit het lemma 'Serio (matematico)': Er bestaat geen formeel verschil tussen de noties rij en reeks. Elke rij kan ook als een reeks worden beschouwd. Het verschil treedt alleen op als het gaat om convergentie: 'reeks' verwijst naar somconvergentie en 'rij' naar termconvergentie.

[19] – R.C. Buck, Advanced calculus, 1956, blz. 105: "An infinite series is often defined to be "an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }a_{n}}$ ". It is recognised that this has many defects.
– P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In het Nederlandse V.H.M.O wordt doorgaans tussen rijen en reeksen geen duidelijk onderscheid gemaakt."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The terminology introduced in this definition [a sequence is summable if the sequence of its partial sums converges] is usually replaced by less precise expressions;".
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Het taalgebruik t.a.v. reeksen is traditioneel slecht. [...] Het lukt overigens niet goed om 'reeks' als substantief op te vatten. Het is vaak een soort metaterm, zoals 'linkerlid', waarmee men spreekt over de expressies die men heeft opgeschreven."
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1 1994, blz. 284: "Men noemt de getallen ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ de termen van de reeks. (N.B. Dit zijn ook de termen van de rij ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ . De termen van de rij ${\textstyle \,\{S_{n}\}\,}$ zijn echter ${\textstyle \,S_{1},S_{2},S_{3},\ldots \,}$ ") .
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker:Teil 1, 2006, blz.156: "Eigentlich sind Reihen nichts anderes als spezielle Folgen..."
– A. van Rooij, Nieuw archief van wiskunde, 5/10 nr.1, 2009, blz. 63: "Logischerwijze is de derde term van de reeks ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ op deze manier ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}\,}$ , maar in de boeken is hij steevast ${\textstyle \,a_{3}\,}$ ."
– M. Ryan, "Calculus for dummies", 2nd edition 2014, blz. 326: "By the way, if you're getting a bit confused by the terms sequence and series and the connection between them, you're not alone. [...] The reason for getting into the somewhat confusing notion of a sequence of partial sums is that the definitions of convergence and divergence are based on the behavior of sequences, not series."
– G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "La distinction entre suite et série est donc bien mince. Les séries sont des suites particulières et toute suite peut être vue comme une série."
– J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "Sequences and series is often a difficult topic for students. It is easy to get sequences and series confused since a lot of the same terminology is used for both. A sequence is a list of numbers while an infinite series is a sum." [Commentaar: wat wordt bedoeld met 'a sum' ?]

[20] Noot: Vertalingen van 'reeks' zijn: Frans série, Engels series, Duits Reihe. En van 'rij': série, series, Folge.

[21] Vroege voorkomens van 'convergente rij':
– J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable, 1886, blz. 44: "Soit u₁, u₂, ..., u_n, ... , une suite infinie quelconque; si elle est convergente et a pour limite le nombre U, [...]".
– O. Biermann, Vorlesungen über mathematische Näherungsmethoden, 1905, blz. 2: "Allgemein sagt man, eine Reihe [Commentaar: let op "Reihe".] von Gröszen ${\textstyle \,c_{0},c_{1},c_{2},\cdots \,}$ die nach einem bestimmten Gesetze hergestellt seien, bildet eine konvergente Zahlenfolge, wenn nach Angabe einer willkürlich kleinen . . . " .
– E.W. Hobson, The theory of functions of a real variable and ..., 1907, blz. 33: "Convergent sequences of real numbers"
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 23: "Die Folge (1) [ ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \,}$ ] heisst dann eine konvergente Zahlenfolge oder eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, und man setzt ${\textstyle \,A=\lim _{n=\infty }a_{n}\,}$ ."
– G. Kowalewski, Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen, 1910 (idem 2.Aufl. 1921, idem 3. Aufl. 1938), blz. 77-78: "...wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist, " .
– G. Kowalewski, Das Integral und seine geometrischen Anwendungen, 1910 (serie Forschung und Studium Heft 1), blz. 1: "Man nennt die Folge konvergent und g ihren Grenzwert. Man sagt auch, dass die Folge (oder x_n) nach g konvergiert."
– O. Perron, Irrationalzahlen, 1921 (idem: 2. Aufl. 1939), blz. 48: "Eine Folge von Zahlen heisst konvergent, wenn sie einen endlichen Grenzwert hat,".
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (gelijksoortig: 5.Aufl. 1964, blz. 64-65), blz. 60: "Ist (x_n) eine vorgelegte Zahlenfolge und steht sie zu einer bestimmten Zahl ξ in der Beziehung, dass (x_n−ξ) eine Nullfolge bildet, so sagt man, die Folge (x_n) konvergiere gegen ξ , oder sie sei konvergent mit dem Grenzwert ξ , oder sie (bzw. ihre Glieder) näherten sich dem (Grenz-) Werte ξ, sie strebten gegen ξ , hätten den Limes ξ ."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A."
– A. Hurwitz, R. Courant, Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen, 3. Aufl. 1929, blz. 8: "Eine unendliche Folge komplexer Zahlen [...] wollen wir konvergent nennen, wenn [verwijst in voetnoot naar "Knopp, Unendliche Reihen, 2. Aufl.1924]."
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 21-22: "...noemt men de getallenrij (a_n) , uitvoeriger geschreven: a₁, a₂, a₃, . . . ., a_n, . . . convergent, als er een vast eindig getal L bestaat...".
– D.N. van der Neut, Limitaties en sommaties (proefschrift), 1933, blz. 1: "Met het symbool [...] {x_n} [wordt steeds bedoeld] de oneindige rij der getallen x_n (n=0,1,2,....), onverschillig of [...] de rij convergent is."

[22] Vroege voorkomens van 'convergerende rij':
– A. Pringsheim, [1] "pages":[54,"view":"info"} Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, zweiter Band Analysis, erster Teil], 1899, blz. 32: "Ist a irgend eine bestimmte Zahl, für welche die Folge f_n(a) konvergiert,".
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A.".
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 25: "Als de rij zelve convergeert, is ook de rij van de moduli der termen convergent; ".

[23] – A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s_n s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la série."
– A-L. Cauchy, Résumé des leçons ... sur le calcul infinitésimale, tome premier, 1823, blz. 145: [gelijk aan Cauchy 1821].
– A-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différentiel, 1829, blz. 10: [gelijk aan Cauchy 1821].
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 487), blz. 520: "Les series qui remplissent cette condition sont appelées convergentes."
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 27: "men noemt daarom eene oneindige reeks van termen wier som tot eenen bepaalden limiet nadert convergent."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée. [...] Lorsque la somme des termes de la série tend vers une limite finie et déterminée, on dit que la série est convergente."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 437: "On dit qu'une série est convergente, lorsque la somme des n premiers termes tend vers une limite déterminée".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: "Indien bij het toenemen van het aantal termen hunne som een bepaald getal nadert, dan noemt men de reeks convergent."
– J.K. Becker, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, zweiter Buch, 1877, blz. 133: "Man nennt eine solche Reihe mit endlicher Summe eine convergente Reihe."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Wenn alsdann für stets zunehmende Werte von n die Summe s_n sich einer gewissen Grenze s beliebig nähert, so werden wir die Reihe convergent nennen,"
– J.G. Hagen, Arithmetische uns Algebraïsche analyse, 1891, blz. 70: "Eine unendliche (einfache oder vielfache) Reihe heisst convergent, wenn sich die Summe ihrer Glieder mit wachsender Anzahl einem bestimmten Grenzwerthe nähert,".
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "Si, pour une valeur indéfiniment croissant de n, la somme s_n tend vers une limite finie et déterminée s, la série est dite convergente;"
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 179: "Ist die Summe einer Reihe [...] eine endliche Zahl, so nennt man die Reihe convergent,"
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra, vierde deel, 1899 (idem: 2e druk 1907), blz. 95: "Een rij van getallen noemt men een reeks, als elk der getallen, bij een bepaald getal te beginnen, volgens een vaste wet uit één of meer voorgaande kan afgeleid worden." Blz. 99: "Wanneer de som van n termen eener reeks bij het onbepaald grooter worden van n nadert tot een limiet, dan noemt men de reeks convergent."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Wenn [...] lim_n→∞ s_n = s ist, so heisst die Reihe (u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n) konvergent und s ihre Summe."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est convergente si la somme de ses n premier termes S_n tend vers une limite S,"
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 160: "Eine unendliche Reihe, die eine endliche Summe hat, heisst konvergent;"
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 169: "Indien nu, voor lim n = ∞, de waarde van S_n nadert tot een bepaalde limiet S, zoo noemt men de oneindig voortlopende reeks convergent en heet S hare som."
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919 blz. 174: "Eine uneindliche Reihe mit konstanten Gliedern heisst konvergent, wenne die Summe ihrer n ersten Glieder bei unbegrenztem Wachsen der ganzen positiven Zahl n einem Grenzwert zustrebt,"
– Hk. de Vries, Leerboek der differentiaalrekening en integraalrekening ..., deel 1, 1e dr. 1919, blz. 274-275: "Nadert de som der eerste n termen eener oneindige reeks bij steeds aangroeiende n tot een bepaalde, eindige limietwaarde, dan noemt men de reeks convergent; ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 197: "Eine unendliche Reihe, die in diesem Sinne eine endliche bestimmte Summe hat, heisst konvergent, "
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– R.H. Rooda, Analyse, I Differentiaalrekening, 1930 (?), blz. 91: "Een reeks is een rij van getallen of functies, welke volgens een bepaalde wet uit elkander kunnen worden afgeleid." Blz. 91: "Een reeks heet convergent, indien de som der eerste n termen nadert tot een standvastige, eindige grenswaarde, ".
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra, derde deel, 1931 (idem: 2e druk 1936, 3e druk 1939), blz. 100: "Een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks; Blz. 108: " Een reeks, waarbij ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat, heet convergent."
– P. Wijdenes, Nieuwe School-algebra, deel III, 2e druk 1928, blz.96 en 113 (idem deel II, 12e druk 1942, blz. 160 en 183): "Een rij van getallen, die volgens een bepaalde wet gevormd worden, heet een reeks; [...] Men zegt, dat de meetkundige reeks voor ${\textstyle |r|<1}$ convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat."
– Ph. Kohnstamm, Keur uit het didactisch werk van prof. dr Ph. Kohnstamm, 1935 (Rede ter opening van de lessen van het Nutsseminarium), blz. 367: "Een convergente reeks is een rij van getallen zo gebouwd, dat haar som, [...] van een bepaalde grens afligt."
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra III-H voor m.o., 3e druk 1951, blz. 76: "Een reeks is een rij getallen." Blz. 91: "Een oneindig voortlopende reeks, die een som heeft, heet convergent;" .
– Joh.H. Wansink, "Reken- en stelkunde – leerboek der algebra", 1956 dl.2, 7e druk, blz. 177: "Onder een reeks verstaat men elke getallenrij, volgens een bepaald voorschrift gevormd." Blz. 189: "Reeksen, waarvoor lim_n→∞S_n bestaat, noemen we convergente reeksen; ".
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 2e druk 1957, blz. 66: "Een rij getallen wordt ook wel een reeks genoemd." Blz.85: "Een oneindig voortlopende reeks heet convergent, als hij een som heeft, ".
– C.W. Wolfswinkel, J. Vermeer, De exacte vakken op het eindexamen H.B.S.-B, 1957 dl.1A, blz. 53: "Een reeks is een rij van getallen, die alle volgens een bepaald voorschrift worden afgeleid ". Blz. 53: "Als lim_n→∞S_n bestaat en eindig is, dan heet de reeks convergent, ".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 7e druk 1958, blz.307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks;" Blz. 323-324: "Men zegt, dat de meetkundige reeks voor |r|<1 convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat lim_n→∞ S_n bestaat."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."
– E.P. van den Ban, Inleiding Analyse (Opgaven), Universiteit Utrecht, 2003, blz. 18: " Een reeks is zodoende een rij, waarbij de notatie aangeeft dat we de intentie hebben te sommeren. [...] De bovenstaande reeks heet convergent als de limiet van z'n somrij bestaat."

[24] – J.G.C. Kiesewetter, Fortsetzung der Anfangsgründe der reinen Mathematik, 1818, blz. 24: "Eine Reihe, bei deren Fortschritt man sich immer mehr ihrem Gesammtwerthe nähert, heisst konvergirend; ".
– L.C. Schulz von Strassnitzki, Arithmetik, 2. Aufl. 1848, blz. 498: "Dieses Nähern der Summe der Glieder einer Reihe, je mehr als man Glieder nimmt, nennet man das Convergiren der Reihe, und je rascher die Annäherung gehet, desto convergirender nennt man die Reihe."
- B.L. de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 199: "Eene reeks convergeert wanneer de som van hare termen voor eene limiet vatbaar is."
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. van Aller, Leerboek der hoogere stelkunde, 2e druk 1914, blz. 201: "Een reeks heet convergeerend, indien de som van de eerste n termen nadert tot een standvastige grens,".
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."
– S.T.M. Ackermans, J.H. van Lint, Algebra en analyse, 1970, blz. 222: "We zullen spreken van "de reeks ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots }$ " of "de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ". Als lim_n→∞ s_n bestaat (noem de limiet s) dan zeggen we dat de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ convergeert en we noemen s de som van de reeks."

[25] – E.J. Dijksterhuis, Euclides jrg. 3, 1926/27, nr. 4, 1927, p. 101 regel 16-17: "De variant heet sommeerbaar, als de somvariant convergeert. De limiet van de somvariant heet de som van de variant (of de reeks).'" – P.J.G. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 188: "sommeerbare rij (voor: oneindige rij, waarvan de getallen een som hebben)".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 282: "een sommeerbare rij, d.w.z. lim_n→∞ s_k bestaat, "
– Wimecos-commissie (C.J. Alders c.s.), Ontwerp leerplan-wiskunde voor h.a.v.o., 1e druk 1966 (idem 3e druk 1969), blz. 12: "3.3 Klassen 4 en 5 [...] Sommeerbare meetkundige rijen."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The sequence {a_n} is summable if the sequence {s_n} converges. In this case lim_n→∞s_n is called the sum of the sequence {a_n}. Ook: absolutely summable, Cesaro summable, Abel summable, uniformly summable."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 5e druk 1967, blz. 90: "Als [...] dan heet de rij sommeerbaar. "
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 9e druk 1968, blz. 88: "Onder de som van een oneindige rij verstaan we ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ . Een oneindige rij heet sommeerbaar, als hij een som heeft."
– P.E. Lepoeter, Gids voor de algebra van de B-afdelingen van het v.h.m.o., 3e druk 1968, blz. 134: "Een oneindige rij heet sommeerbaar als lim_n→∞ s_k bestaat; " .
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 57: "Sommeerbare rijen ".
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1, 6e druk 1974 (idem 8e druk 1985), blz. 276: "Zij zeggen dan, indien lim_n→∞ S_n bestaat, [...] dat de rij {u_n} [...] sommeerbaar is."
– A. van Rooij, Analyse voor beginners, 2e druk 1989, blz. 71: "Stel nu eens dat deze rij s₁, s₂, ... een limiet heeft. Dan noemen we die limiet de som van de rij x₁, x₂, ..., en de rij x₁, x₂, ... heet sommeerbaar. "
– B. Kaper, H. Norde, Inleiding in de analyse, 1996, blz. 177-179: "Een oneindige som is een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}t_{4}{+}\cdots \,}$ , waarbij ${\textstyle \,t_{1},t_{2},t_{3},t_{4},\ldots \,}$ de termen van een rij zijn. [...] We noemen de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ sommeerbaar, als de rij van partiële sommen ${\textstyle \,(S_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , voortgebracht door de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , convergeert."
– Profi-team (Freudenthal-instituut), Trajectenboek Wiskunde N&G en N&T vwo, 1998, blz. 54: "Een rij heet sommeerbaar als de bijbehorende somrij (d.i. de rij van partiële sommem) een eindige limiet heeft."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 42: "De rij (a_n) heet in dit geval sommeerbaar."
– C.S. Kubrusly, Elements of operator theory, 2001, blz. 201: "If the sequence of partial sums {y_n} converges [...] then we say that {x_n} is a summable sequence" . "If the real-valued sequence {||x_n||} is summable, then we say that {x_n} is an absolutely summable sequence ".
– F. Spijkers, Wiskunde-web, versie: oktober 2002, "Als de somrij van t_n convergeert, dan noem je die rij sommeerbaar. "
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "A complex sequence ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is summable if and only if the series ${\textstyle \,\sum \{a_{n}\}\,}$ is convergent."
– A.C.M. van Rooij, Nieuw archief voor wiskunde 5/10 nr. 1, 2009, blz.62 regel 37-39: "In plaats van convergente reeksen heb je dan sommeerbare rijen, en alles is in orde. Een bonus is dat je het woord 'convergent' niet in twee betekenissen gebruikt."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "A sequence x₁, x₂, . . . of real numbers is summable if and only if the corresponding sequence of partial sums is a Cauchy sequence,".
– P.J. Bartlett, California Institute of Technology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "A sequence is called summable if the sequence of partial sums converges."
– N. Strickland (University of Sheffield UK), Mathematics Educators Stack Exchange, 2014, onder het zesde antwoord op de startvraag: "The term "summable" is fairly standard. I would always use that instead of "convergent" when referring to series."
– gree, digiSchool-Mathématiques, Forum, 2015: "Soit ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,}$ une suite sommable de nombres complexes."
– K.P. Hart, Pythagoras (tijdschrift), 2014 nummer 6, blz. 24: "Een rij waaraan op deze manier een som is toe te kennen heet sommeerbaar."
– O. Riesen, Dokumente für den Unterricht, website 2019, sectie Zahlenfolge / 3. Teilsummen, Reihen / Skript / 3.3 Allgemeine Teilsummen von Folgen / 1) c): "Eine (beliebige) Folge (a_n) heisst summierbar, wenn der Grenzwert der Teilsummenfolge (s_n) existiert.

[26] Ook al in de 19e eeuw kwam "die Reihe sey summirbar" voor naast "die Reihe convergire" (de partieelsommen benaderen een eindige grens):
– A. von Ettingshausen, Vorlesungen über die höhere Mathematik, erster Band: Vorlesungen über die Analysis , 1827, blz. 16: "Man sagt in diesem Falle, die unendliche Reihe ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\&}$ c. sey summirbar, oder sie convergire, ".
– J. Salomon, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 2. Aufl. 1831 (idem 6. Aufl. 1859 blz. 442), blz. 549: "Eine Reihe welche [...], heisst eine summirbare Reihe, oder man sagt, die Reihe convergire, oder sey convergent, ".
– J. Salomon, "Lehrbuch der Elementar-Mathematik für Ober-Realschulen, erster Band: Die Elemente der Algebra, 1853 (idem 3.Aufl. 1865), blz. 312: "Eine Reihe, welche [...], heisst eine summierbare Reihe, oder man sagt, die Reihe convergire, oder sei convergent, ".
– A. Burg, Compendium der höhern Mathematik, 1836, blz. 127: "so sagt man die Reihe convergire oder sey summirbar; ".
– G.G. von Hembyze, Lehrbuch der algebraischen und geometrischen Analysis, 1857, blz. 30: "Man theilt demnach in dieser Beziehung die unendlichen Reihen in summirbare oder convergirende, und in nicht summirbare oder divergirende ein, ".
– J. Helmes, Die Elementar-Mathematik..., Erster Band: Die Arithmetik und Algebra Zweiter Theil, 1864, blz. 446: "Wenn sich die Summe einer solchen [unendliche] reihe [...] einer bestimmten Grenze nähert [...], so nennt man die Reihe eine convergirende oder eine summirbare, ".

[27] – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 98: "Sogenannte Summierbarkeit von Reihen. Als eine direkte Verallgemeinerung des Begriffes Konvergenz einer unendlichen Reihe hat man in der neuesten Zeit den Begriff Summierbarkeit einer Reihe eingeführt. [...] so heisst die uneindliche Reihe summierbar mit der Mittelsumme S."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946, blz. 7: "De redenen, welke wiskundigen er toe gebracht hebben naast het begrip der convergentie dat der sommeerbaarheid te stellen, zijn veelvuldig en gegrond."

[28] Zo'n alternatieve som dient overeen te komen met de 'gewone' som, bij toepassing op een 'gewoon' sommeerbare rij.

[29] – A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, connected together by the signs plus ans minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, proceeding according to some law or determinate relation, as 3, 5, 7, 9, &c. " (Commentaar: waarom geen plus- en mintekens in het voorbeeld?)
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige Reeksen, 1925, artikel in Euclides jrg. 1 nr. 4 pp.142-160. blz. 143: "Wat is een oneindige reeks? De tegenwoordige wiskunde beantwoordt deze vraag aldus: een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk getal een grootheid toeordent." Blz. 146: "Al naar nu bij het onderzoek van een oneindige reeks het voornaamste doel is het bedrag van de opeenvolgende termen te leeren kennen, dan wel in hoofdzaak het bestaan van een som ons interesseert, spreekt men van fundamentaalreeks en van somreeks. Bij de laatste verbindt men de termen door + teekens."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946 (artikel), blz. 22: "De getallen van iedere rij vormen een convergente reeks, wanneer men er plus teekens tusschen plaatst en de volgorde niet wijzigt ".
- P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In de mathematische literatuur wordt onderscheid gemaakt tussen rijen en reeksen: ${\textstyle \ t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\ldots \ }$ is een rij, ${\textstyle \ \ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\ldots \ }$ is een reeks. "
– W. Maak, An introduction to modern calculus, (Duits 1960) 1963, blz. 40: "We have an infinite series if, between each two terms of an infinite sequence [...] we insert a plus sign: "
– L. Bers, Calculus, 1969, par. 4.1: "An infinite series is a sequence of numbers with plus signs between these numbers."
– Ministère de l'Apprentissage de la Saskatchewan (Canada), Math B30 - Suites et séries, 2002, blz. 15: "Une série est une expression obtenue à partir d’une suite, mais dans laquelle la virgule est remplacée par un signe + ."
– E.P. van den Ban, Inleiding Analyse (Opgaven), Universiteit Utrecht, 2003, blz. 18: "Een reeks is zodoende een rij, waarbij de notatie aangeeft dat we de intentie hebben te sommeren."
– J.J. Duistermaat, Functies en Reeksen, Universiteit Utrecht, 2011, blz. 97: "Het somsymbool herinnert eraan dat men de partiële sommen ${\textstyle \,s_{l}(x)\,}$ wil onderzoeken,"
– M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz. 322: "Change the commas to addition signs and you've got a series;".
– E.P. van den Ban, Dictaat Functies en Reeksen, Universiteit Utrecht, 2015, blz. 54: "Laat ${\textstyle \,(a_{k})_{k\geq 0}\,}$ een rij complexe getallen zijn. We gebruiken de notatie ${\textstyle \,\sum _{k\geq 0}a_{k}\,}$ om aan te geven dat we de intentie hebben om de elementen van die rij te sommeren."

[30] Noot: Vaak krijgt de beginterm index 0 in plaats van 1, ter vereenvoudiging van de formule voor de algemene term.

[31] Oude voorkomens van het sommatie-teken:
– J. Liouville, Sur la sommation d'une série, 1837 (Journal de Liouville, Série 1, tome 2), blz. 107: "En représentant par ${\textstyle \,X_{0}+X_{1}z+etc.\,}$ ou par ${\textstyle \,\sum X_{n}z^{n}\,}$ le développement de ${\textstyle \,(1-2xz+z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,}$ , " .
– J. Bertrand, Règles sur la convergence des séries, 1842 (Journal de Liouville, tome septième), blz. 39 "donc la série ${\textstyle \,\sum u_{n}\,}$ a tous ses termes plus Petits que ceux de la série convergente ${\textstyle \,\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}\,}$ ".

[32] – M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 397: "In more formal language, the sequence {a_n} is absolutely summable if the sequence {|a_n|} is summable."
– H. König, Analyse 1, 1984, blz. 94: "Eine komplexe Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}\,}$ ist dann und nur dann absolut summierbar, wenn die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ absolut konvergent ist."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 43: "We noemen de rij (a_k) absoluut sommeerbaar indien de rij der absolute waarden (|a_k|) sommeerbaar is. "

[33] – J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "examples to demonstrate the difference between the limit and the sum of a series."
– Mathematics Support Centre (Maynooth Univ. Ierland), Handout, 2019(?): "Limit of a Series. [...] its limit, that is ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ ."
~~– wikiHow~~, How to determine convergence of infinite series, 2019(?): "If the limit of a series is 0, that does not necessarily mean that the series converges."

[34] Evenmin: 'convergerende rij', 'converging sequence', 'convergi(e)rende / konvergierende Folge', 'suite convergeante'.
Over de oudste vindplaats van 'sequence' als vakwoord: "SEQUENCE is found in 1891 in a translation by George Lambert Cathcart of the German An introduction to the study of the elements of the differential and integral calculus by Axel Harnack " (zie onder 'SEQUENCE' in Jeff Miller's Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics ).
Nog een secundaire bron is dit citaat, uit 2014: "Historically it seems that "sequence" is the interloper. [...] Our current use of "sequence" in the theory of series did not become common until later, perhaps around 1900" (uit Mathematics Educators Stack Exchange, vierde antwoord op de startvraag, door anonieme 'user 757').
Wél kwam ook al in de 19e eeuw voor: het 'naar een limietwaarde streven' of 'naar een limietwaarde convergeren' van een expressie met een discrete variabele n, of van 'de som van de eerste n termen'. Bijvoorbeeld in: A.-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différential, 1829, blz. 91: "Or la somme de ses n premiers termes [...] convergera [...] ou cessera de converger [...]". Blz. 96: "Si, pour des valeurs croissantes de n, le rapport ${\textstyle \,{\frac {\rho _{n+1}}{\rho _{n}}}\,}$ converge vers une limite fixe ".

[35] – J. Harris, Lexicon technicum, or, An universal English dictionary of arts and sciences : explaining not only the terms of art, but the arts themselves, 1708, blz. 717: "SERIES, properly speaking, is an orderly Process or continuation of things one after another. 'Tis commonly in Algebra connected with the Word Infinite, and there, by Infinite Series, is meant certain Progressions, or Ranks of Quantities orderly proceeding, which make continual Approaches to, and if infinitely continued, would become equal to what is inquired after."
– E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences; volume the second, 1728 (idem 6th edition 1750), blz. 59: "SERIES, in Algebra, a Rank or Progression of Quantities, increasing or decreasing in some constant Ratio, which, in its Progress, approaching still nearer and nearer some sought Value, is called a Converging Series, and if infinitely continued, becomes equal to that Quantity; whence its usual Appellation of Infinite Series: Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."
– D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1765, volume XV blz. 93: "SERIE ou SUITE, en Algebre, se dit d'un ordre ou d'une progression de quantité, qui croissent, ou décroissent suivant quelque loi : Lorsque la suite ou la série va toujours en approchant de plus en plus de quelque quantité fini , & que par conséquent les termes de cette série, ou les quantités dont elle est composée, vont toujours en diminuant, on l'appelle une suite convergente, & si on la continue à l'infini, elle devient enfin égale à cette quantité."

[36] – A.-L. Cauchy, Cours d'analyse, 1821, blz. 124: "[...] pour que la série ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2}\ldots u_{n},u_{n{+}1},\,\&\mathrm {c} .\,\ldots \,}$ soit convergente, il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme ${\textstyle \,s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\,\&\mathrm {c} .\,\ldots {+}u_{n-1}\,}$ vers une limite fixe s ".
Kennelijk gaat het bij de keuze tussen komma's en plustekens niet om een inhoudelijk verschil maar om de voorkeur van de auteur. Want waar N.H. Abel (in Untersuchungen über die Reihe ... 1826) A.-L. Cauchy (Cours d'analyse 1821) citeert, veranderen de komma's in bovenstaande reeks-notatie in plustekens: ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ ; zie "pages":[328,"panX":0.406,"panY":0.972,"view":"info","zoom":0.917} Crelle's Journal, voetnoot op blz. 316].
– M. Ohm, Versuch eines vollkommen consequenten Systems der Mathematik, zweiter Theil, 1829, blz. 1: "Eine Reihe von Ausdrücken von der Form ${\textstyle \,a,\,a+d,\,a+2d,\,a+3d,\,a+4d,\,\mathrm {etc.etc.} \,[...]\,}$ ,".
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "So sind ${\textstyle \,a,2a,3a,4a,5a,\ldots \,;\quad 1,2x,3x^{2},4x^{3},\ldots \,}$ Reihen," .
– J.M. Reichert, Analyse, vraagstukken met beknopte aanduiding der theorie ..., 1945 (of 1946), blz. 31: "Ga na of de reeks: ${\textstyle \,x\,\mathrm {sin} \,x,\,x^{2}\,\mathrm {sin} \,2x,\,x^{3}\,\mathrm {sin} \,3x\ldots \,}$ convergent of divergent is voor x = [...] (T.H. 1928). (Commentaar: in de beschrijving van de oplossing zijn de komma's vervangen door plus- en mintekens.)

[37] – E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences, 1728 (idem 6th edition 1750), bij trefwoord 'Series': "Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which Always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."

[38] – D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1754, volume IV blz. 165: "CONVERGENT, adj. en algebre, se dit d'une série, lorsque ses termes vont toûjours en diminuant. Ainsi 1, ½, ¼, ⅛, &c. est une série convergente."
– G.S. Klügel, Mathematisches Wörterbuch, erster Theil A bis D, 1803, blz. 555: "Eine Reihe ist convergirend, wenn ihre Glieder in ihrer Folge nach einander immerfort kleiner werden."
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Zamenloopende of convergerende reeksen zijn dezulke, welker opeenvolgende leden gedurig in waarde afnemen. "
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 120: "Nur konvergirende, das ist, abnehmende Reihen können Grenzen (ihrer Summen) haben, weil ihr sogenanntes letztes Glied verschwindet; ".
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Ich werde unter Convergenz, einer unendlichen Reihe schlechthin beigelegt, nichts anderes verstehen, als die beim unendlichen Fortschreiten der Reihe eintretende unendliche Annäherung ihrer Glieder an die 0. "
– De 'nulrij'-betekenis van "convergente Reihe" wordt ca. 1914 verouderd genoemd. In een voetnoot op blz. 833 van deel II-1.2 van de Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften zegt H. Burkhardt: Das Wort Konvergenz gebraucht übrigens Gauss bekanntlich noch im alten Sinne, in dem es sich nur auf die unbegrenzte Abnahme der Reihenglieder, nicht auf die Existenz eines Grenzwertes für die Reihensumme bezog."
– J.V. Grabiner, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus, 1981, blz. 99: "In eighteenth-century work on series, sometimes a series is said to converge in the way that the hyperbola "converges" to its asymptote, that is, when its n^th term goes to zero;".

[39] – C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenz-werthe".

[40] – J.-J. de Marguerie, "Mémoires de l'académie royale de marine, tome premier; Mémoire sur les suites, 1773, blz. 142-240: "Les suites sont une des plus grandes parties de calcul; la plus importante opération que l'on fasse sur elles, est de les sommer: mais de toutes les suites qui se rencontrent en cherchant à résoudre un problème, le nombre des suites exactement sommables est si petit, que les Géomètres ont tourné toute leur attention vers les suites insommables." [Commentaar: opvallend is het gebruik van 'suite' en niet 'série'.]
– A. Rees, The CYCLOPAEDIA; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literature, vol. XXXII, 1819, lemma 'Series' vijfde tekstkolom: "[...] that James [Bernoulli], having turned his attention to the doctrine of series, had discovered a few which were summable, and which he proposed to his brother;".
– G.S. Klügel, C.B. Mollweide, Mathematisches Wörterbuch, vierter Theil, 1823, blz. 560: "Summierbare Reihe ist, deren Summe durch einen endlichen Ausdruck sich angeben lässt."
– J. de Gelder, Beginselen der differentiaal-, integraal- en variatie-rekening, tweede deel, 1850 (bewerkt door Verdam), blz. 390: "Eene oneindig voortloopende reeks wordt gezegd sommeerbaar te zijn, wanneer de som van al derzelver termen in eene bepaalde stelkundige of transcendentale functie der veranderlijke grootheid, van welke de termen der reeks afhangen, volkomen en naauwkeurig wordt voorgesteld."
– D. Bierens de Haan, 'De Gids' boekbespreking: J. de Gelder, D&I-rekening deel 2, 1850, jrg.14 blz. 650: "Latere wiskundigen (onder anderen Prof. Schlömilch) noemen het voorstellen eener oneindige reeks onder den vorm van eene bepaalde integraal, dat is, van eene geslotene uitdrukking, het sommeren derzelve [...] kan dan zulk eene integraal door eene stelkundige of transcendentale functie worden voorgesteld - iets dat niet altijd het geval is - zoo is de reeks gesommeerd volgens de vroegere, minder algemeene bepaling."
– J. Knar, Archiv der Mathematik und Physik ..., artikel: Die harmonische Reihen, 1864, blz. 399 Vier gradaties van 'sommeerbaarheid':
"1. überhaupt analytisch summirbar, oder
2. analytisch summirbar, jedoch mit Ausschluss aller Kreis- oder der gleichgeltenden Exponential-Funktionen, ferner
3. analytisch summierbar, mit Ausschluss der logarithmen, endlich
4. algebraisch summirbar ".
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 86: "Solche Reihen, deren Summe in geschlossener Form dargestellt werden konnte, wurden in früheren Zeiten "summierbar" genannt; dieser Begriff ist aber wohl von dem modernen Begriffe der Summierbarkeit einer Reihe [Cesàro-sommeerbaarheid] zu unterscheiden."
– M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of mathematical functions, 1965, Dover edition blz. 1005, sectie 27.8.6: Onder sectie-hoofdje Summable Series, gesloten vormen voor de som van een zestal rijen.
– A.D. Wheelon, Tables of summable series and integrals involving Bessel functions, 1968, blz. 3: "A surprisingly number of infinite series can be summed in closed form, just as many integrals can be done analytically."

[41] – J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable I, 2ième éd. 1904, blz. 114: "on désigne sous le nom de série un symbole tel que $\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,$ " [Commentaar: In de 1ière édition 1886, blz.45 is nog géén sprake van 'un symbole'; wél, in één zin: "la suite infinie ${\textstyle \,s_{1},s_{2},...,s_{n},...,\,}$ est convergente", voorafgegaan door het definiërende: "La série ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ , est dite convergente,".]
– E. Cesàro, Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung, 1904, blz. 118: "Eine der wichtigste Anwendungen der Theorie der Grenzwerte besteht darin, zu untersuchen, welche Bedeutung einem Aggregat von unendlich vielen Zahlen ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ beigelegt werden muss, und ob auf ein solches Aggregat, welches man als eine Reihe bezeichnet, immer die Eigenschaften die aus einer endlichen Anzahl von Teilen zusammengesetzten Summen anwendbar sind."
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (idem: 5.Aufl. 1964, blz. 100) blz. 93-94: " Unendlichen Reihen. Das sind Zahlenfolgen, die auf folgende Art gegeben werden. [...] Man gebraucht fur diese Folge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ die Symbolik $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,$ oder kürzer $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,$ oder noch kürzer und prägnanter ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ und nennt dies neue Symbol eine unendliche Reihe;" . [Commentaar: dezelfde naam voor een rij en voor een symbool !]
– F. Schuh, Lessen over de hoogere algebra III 1926, blz. 181: "De uitdrukking u₁+u₂+u₃+ ··· of ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }u_{n}\,}$ wordt een oneindige reeks (ook wel oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks) genoemd."
– TEGENSTEM: Door E.J. Dijksterhuis wordt de tekst van Schuh over 'reeksen' in alle opzichten volledig afgekraakt in een boek-recensie in het BIJVOEGSEL van het NTvW, 3e jrg. 1926/27 nr. 3-4, blz. 98 vanaf 'Intusschen ...'.
– P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Men noemt deze uitdrukkingen [ ${\textstyle u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ ] oneindig voortlopende reeksen, of kortweg reeksen."
– W.K. Morrill, Calculus, 1956, section 15.2: "If ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\cdots ,u_{n},\cdots \,}$ is a given neverending sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– H. von Mangoldt, K. Knopp, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (vanaf 6. Aufl. 1932 ingrijpend bewerkt door Konrad Knopp), 11. Aufl. 1958 blz. 196: "Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ " .
– L.J. Adams, P.A. White, Analytic geometry and calculus, 1961, blz. 566: ". . .the expression ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– J.R. Britton, R.B. Kriegh, L.W. Rutland, Calculus and Analytic Geometry 1963, blz. 835: "An expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\ldots \,=\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ is called an infinite series" .
– L. Kuipers, Handboek der wiskunde, 1963 (idem 2e druk 1966), blz. 220: "Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}u_{4}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ heet een (oneindige) reeks."
– E. Hille, Analysis, volume I, 1964, blz. 276: "With the sequence ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ we define the series ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ , which is usually written ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}\,}$ . This symbol ..." .
– W. Rudin, Principles of mathematical analysis 1964, blz. 51: "The symbol ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ we call an infinite series, or just a series".
– F. Bowman, F.A. Gerard, Higher calculus 1967, blz. 98: "An expression of the form ${\textstyle \ u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series" .
– F. van der Blij, J. van Tiel, Infinitesimaalrekening, 1969, blz. 213: "De uitdrukking ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ , ook wel geschreven als ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ , noemen we een reeks; ".
– Sze-Tsen Hu, Calculus 1970, blz. 614: "For any sequence ${\textstyle \,u:N\to R\,}$ , the expression ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is known as the (infinite) series with ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ as terms.
– The Open University, U.K., Sequences and limits II 1971, blz. 38: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ " .
– J.H.J. Almering c.s., Analyse, 2e druk 1977 (idem 1e druk 1974), blz. 216: "De aldus gevormde rij ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ wordt aangegeven met ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ en deze symbolische uitdrukking wordt reeks genoemd."
– H.-J. Schell, Unendliche Reihen, 1978, blz. 9: "Einen solchen Ausdruck nennt man eine unendliche Reihe (oft auch kurz Reihe)."
– C. Blatter, Analysis I 1980, Kapitel 7: "Ist ${\textstyle (a_{k})}$ eine Folge von Zahlen oder Vektoren, so heisst der Ausdruck ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ eine Reihe" .
– R.E. Larson, R.P. Hostetler, Calculus with analytic geometry, 1986, section 10.3: "If ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is an infinite sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series (or simply a series)."
– D.B. Small, J.M. Hosack, Calculus - An integrated approach 1990, blz. 569: "An infinite series or just series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ or, using the summation notation, ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ ".
– W. Swokowsky, Calculus, fifth edition 1991, blz.533: "An ínfinite series (or simply a series) is an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots }$ , or, in summation notation, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ or ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ " .
– Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik, 14. Aufl. 1995, "Ein solcher Ausdruck heisst unendliche Reihe."
– W. Walter, Analysis 1, 5. Aufl. 1999, blz. 86: "Wir nennen das Symbol ${\textstyle \,\sum _{n=p}^{\infty }a_{n}\,}$ oder $\,a_{p}{+}a_{p+1}{+}a_{p+3}{+}\ldots \,$ eine unendliche Reihe".
– V.A. Zorich, Mathematical analysis I, 2002, blz. 95: "The expression ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ is [...] usually called a series or an infinite series".
– H. Maassen, Calculus 1 en 2, 2004, blz. 42: "Een uitdrukking als ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ heet een reeks."
– G.B. Thomas Jr, Calculus - Eleventh edition 2005, blz. 763: "Given the sequence of numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}}$ , an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is an infinite series ".
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "We use variations [of ${\textstyle \,\left(\sum f\right)(n)\,}$ or ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}\,}$ ] , such as ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}_{n\geq 1}=\{\sum _{j=1}^{n}f(j)\}_{n\geq 1}\,}$ ."
– C.H. Edwards, D.E. Penney, Calculus - Early Transcendentals, 7th edition 2008, blz. 732: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ " .
– J. Stewart, Calculus, early transcendentals; 6th edition, 2008, blz. 687: ". . . an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ which is called an infinite series (or just series) ".
– J. Barnard (Univ. of South Alabama), Calculus III, 2012: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a1+a2+a3+\cdots \,}$ ."
– K. Hambrook (Univ. of Rochester-NY), Lecture notes, 2013, p.1: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ".
– P.W. Hemker, Echte wiskunde, 2013, blz. 67: " 'oneindige reeks' betekent: een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \ }$ of ${\textstyle \,\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$ "
– P. Shunmugaraj, Indian Inst. of Technology, Kanpur, Mathematics I, MTH 101A, Lecture Notes, 2016, Lecture 11-13 blz. 1: "Let (a_n) be a sequence of real numbers. Then an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ [...] is called a series."
– C. Caenepeel, J. De Beule, I. Goyvaerts, Wiskunde: Voortgezette Analyse (Vrije Universiteit Brussel) 2017, blz. 7: "Gegeven is de numerieke rij ${\textstyle \,(u_{n})}$ . Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}\ldots \,}$ of, korter, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ noemt men een numerieke reeks.

[42] – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 85: "Ist in (3) [ ${\textstyle s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}}$ ] n eine endliche Zahl, so heisst die Summe rechter Hand eine endliche Reihe; lässt man aber in dieser Formel den Stellenzeiger n über jede Grenze hinauswachsen, so entsteht die unendliche Reihe ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ ."

[43] – G. Schouten, De grondslagen der rekenkunde, 1916 (idem in 2e druk 1927): "Wanneer tusschen elk paar opvolgende termen eener onbegrensde getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat er een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 1960 (idem: 5e druk 1967), blz. 92: "Wanneer tussen elk paar opvolgende termen ener oneindige getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks of kortweg reeks ."
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 60: "We spreken nu af, dat we de 'oneindige veelterm' ${\textstyle \,{\frac {1}{2}}{+}{\frac {1}{4}}{+}{\frac {1}{8}}{+}{\frac {1}{16}}{+}\ldots \,}$ een convergente reeks zullen noemen, omdat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }s_{n}\,}$ bestaat. Let wel: De woorden 'oneindige veelterm' slaan op de vorm van de notatie; ze definiëren nog niets!"

[44] – H.B.A. Bockwinkel, Kollege integraalrekening, 1932, blz. 2: "Onder een oneindige reeks verstaat men een oneindige rij, die gegeven is door zijn verschilrij."

[45] – J. Bloemsma, Mathematisch tijdschrift 'Christiaan Huygens', jrg.1934-1935 nr.VI, blz. 289: "Een reeks bestaat uit de som harer oneindig aantal termen, waarbij de laatste gedefinieerd zijn voor hun rangnummer in de som,".
– TEGENSTEM: P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Zulk een reeks moet niet gedefinieerd worden als de som van een oneindig aantal termen, maar als limiet van de som van een eindig aantal termen. "
– L.A. Lyusternik, A.R. Yanpols'skii, Mathematical analysis, (Russisch 1961) Engels 1965, blz. 85: "Infinite series, or simply series, are closely connected with sequences, e.g. ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \ =\ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ }$ is "the sum of an infinite number of terms". "
– TEGENSTEM: H. Meschkowski Mathematik als Bildungsgrundlage, 1965, blz. 54: "Unsere Paradoxie macht deutlich, dass ein Grenzwert einer Folge von Summen keine Summe ist, selbst wenn man sie formal als Summe schreibt."
– TEGENSTEM: H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Keinesfalls ist ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \ }$ als eine "Summe von unendlich vielen Summanden" aufzufassen — ein Unbegriff, der nur Verwirrung stiftet."
– TEGENSTEM: H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Sie [die Notationen] sind ausserdem suggestiv bis an die Grenze der Gefährlichkeit, erwecken sie doch den Anschein, man würde aus der unendlichen Folge der Summanden a_n durch unendlich viele Additionen die Summe a erhalten; das sind aber selbstverständlich nur leere Worte."
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "Voordat we aan een reeks, dwz. aan zo'n som van oneindig veel getallen, een getalwaarde kunnen toekennen, [...]." [Commentaar: Onduidelijk blijft waar het 'zo'n' naar verwijst, want voorafgaand is alleen gezegd hoe het bedoelde ding genoteerd wordt, nog niet wat het is.]

[46] – O. Haupt, Differential und Integralrechnung, I. Band, 1938, blz. 49: "Vom Begriff der Folge ist scharf zu unterscheiden der Begriff der (unendlichen) Reihe. Eine solche Reihe entsteht aus einer vorgegebenen Folge {a_ν}, indem man die Folge {s_n} der Teilsummen [...] bildet, und die "Reihe" ist — wenigstens für uns — gleichbedeutend mit der Folge der Teilsummen; . [...] Wir haben so den Begriff der Reihe zurückgeführt auf den Begriff der Folge (der Teilsummen)."

[47] – N. Bourbaki, Éléments de mathématique (première partie), Livre III (Topologie générale), Chapitre III (Groupes topologiques), éd. 1, 1942, blz. 42; éd. 2, 1951 blz. 42; éd. 3(revue et augmentée) 1960, blz. 66: "On appelle série définíe par la suite (x_n), ou série de terme générale x_n (ou simplement série (x_n), par abus de langage, s'il ne risque pas d'y avoir de confusion), le couple des suites (x_n) et (s_n) ainsi associées."
– M. Zamansky, Introduction à l'algèbre et l'analyse modernes, 1958, blz. 279: "On appellera série le couple des deux suites (u_n) et (s_n)."
- J.A.E. Dieudonné, Foundations of modern analysis, 1960 (Franse vertaling D. Huet, 1963), blz. 91: "A pair of sequences ${\textstyle \,(x_{n})_{n\geq 0},(s_{n})_{n\geq 0}\,}$ is called a series if the elements ${\textstyle \,x_{n},s_{n}\,}$ are linked by ..."
– R.C. Buck, Advanced calculus, second edition, 1965, blz.158: "An infinite series of real numbers is a pair of real sequences ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{A_{n}\}\,}$ whose term are connected by the relations [...] ".
- R.G. Bartle, C.I. Tulcea, An introduction to calculus, 1969, blz. 248: "The series generated by sequence ${\textstyle \,(u_{n})_{n\in N}\,}$ is the pair of sequences: ${\textstyle \,(\,(u_{n})_{n\in N}\,,\,(s_{n})_{n\in N}\,)\,}$ .
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, second edition, 1974, blz. 185: "The ordered pair of sequences ({a_n}, {s_n}) is called an infinite series."
– K. Maurin, Analysis, part I, 1976 (Pools 1973), blz. 116: "A pair ${\textstyle \,(\,(y_{n})_{0}^{\infty },\,(S_{n})_{0}^{\infty })\,}$ is called a series with the general term ${\textstyle \,y_{n}\,}$ ."
– M.H. Protter, C.B. Morrey, A first course in real analysis, 1977, blz. 210:" "An infinite series is an ordered pair ${\textstyle \,(\,\{u_{n}\},\,\{s_{n}\})\,}$ of infinite sequences in which ${\textstyle \,s_{n}=u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}\,}$ for each ${\textstyle n}$ ."
– Encyclopaedia of Mathematics, 1992, volume 8 blz. 284: "A pair of sequences of complex numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{s_{n}\}\,}$ [...] is called a (simple) series of numbers " .
– E.D. Gaughan, Introduction to analysis (1st ed. 1968) 5th ed. 1998, blz. 173: "An infinite series is a pair ${\textstyle (\,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\ \{S_{n}\}_{n=1}^{\infty })\,}$ [...]."
– ~~Wikipedia-nl,~~ Reeks (wiskunde), Alternatieve definitie: "Een 'reeks' wordt ook wel formeel gedefinieerd als een bepaalde combinatie van een rij $(a_{n})$ en de rij $(s_{n})$ van zijn partiële sommen, bijvoorbeeld $(\,(a_{n},s_{n})\,)_{n=1}^{\infty }$ ." [Commentaar: De formulevorm beschrijft een oneindige verzameling van getalparen, niet een koppel van twee rijen.]

[48] – L.M. Kells, Calculus, 1943, blz. 397: "A series is the indicated sum of a succession of terms related by a law."
– R.R. Middlemiss, Differential and integral calculus, 1946, blz. 392: "The indicated sum of a sequence is called a series. "
– L. Zippin, Uses of infinity, 1962 (MAA nr.7), blz. 65: "A sequence of terms with indicated additions (or substractions) is called a series."
– L.A. Pipes, L.R. Harvill, Applies mathematics for engineers and physicists, third edition, 1970, blz. 820: "A series is the indicated sum of the terms of a sequence."
– F. Ayres, Differential and integral calculus, in SI metric units, 1972, blz. 220: "The indicated sum ${\textstyle \,\sum s_{n}\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }s_{n}\ =\ s_{1}{+}s_{2}{+}s_{3}{+}\ldots {+}s_{n}{+}\ldots \,}$ of an infinite sequence ${\textstyle \,\{s_{n}\}}$ is called an infinite series."
– J.R. Lee, Advanced calculus with linear analysis, 1972, blz. 22: "An infinite series is an indicated sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ =\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}\ =\ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\,}$ ."
– J.E. Weber, Mathematical analysis, 4th edition 1982, blz. 317: "a series is the indicated sum u₁+u₂+ ··· of the terms of a sequence. "
– J. Daintith, R.D. Nelson, The Penguin dictionary of mathematics, 1989, blz. 292: " series = The indicated sum of the terms of a sequence.".
– G. James, R.C. James, Mathematical dictionary, 5th edtion, 1992, blz. 357: " Series = The indicated sum of a finite or infinite sequence of terms."
– W. Kaplan, Advanced calculus; fifth edition, 2003, blz. 375: "An infinite series is an indicated sum of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ , going on to infinitely many terms."

[49] – H. Looman, Beginselen der hogere wiskunde, deel II, 2e druk 1946, blz. 18: "Onder een reeks verstaat men een onbegrensd voortgezette rij van getallen u₁, u₂, u₃, ..., die opgeteld moeten worden,".
– J.H.C. Lisman, Wiskundige propaedeuse voor econometristen, 2e druk 1963, blz. 18, 21: "Een opvolging van elementen [...] noemt men een rij. Zodra men deze gaat sommeren spreekt men van een reeks ".
– The universal encyclopedia of mathematics, 1964 (Duits 1960), blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence." Blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series."
– J. Marsden, A. Weinstein, Calculus II, 1985, sectie 12.1 blz. 561: "An infinite series is a sequence of numbers whose terms are to be added up.".

[50] – L.V. Ahlfors, Complex analysis, 1953 blz. 133 (idem 2nd ed. 1966, blz. 35): "An infinite series is a formal infinite sum"
– The universal encyclopedia of mathematics 1964 (Duits 1960), blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series." Blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence."
– R.A. Adams, Calculus, a complete course; fifth edition, 2003, blz. 527: "An infinite series, usually just called a series, is a formal sum of infinitely many terms."
– ~~Wikipedia-nl,~~ Reeks (wiskunde), Definitie: "Voor iedere rij ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som ${\textstyle \ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots }$ ."
– TEGENSTEM: ~~Wikipedia-en,~~ Series (mathematics), "While many uses of power series refer to their sums, it is also possible to treat power series as formal sums, meaning that no addition operations are actually performed, and the symbol "+" is an abstract symbol of conjunction which is not necessarily interpreted as corresponding to addition."

[51] – G.E.F. Sherwood, A.E. Taylor, Calculus, 3rd edition 1954, blz. 383: "This [u₁+u₂+u₃+ ··· +u_n+ ··· ] formal expression is called an infinite series."
– J.H. Mathews, R.W. Howell, Complex analysis for mathematics and engineering; fourth edition, 2001, Chapter 4: "The formal expression ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }z_{k}\,=\,z_{1}{+}z_{2}{+}\cdots {+}z_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series,"
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker: Teil 1, 2006, blz. 156: "Man nennt den formalen Ausdruck ${\textstyle \,a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \,}$ eine unendliche Reihe".

[52] – G.R. Veldkamp, Inleiding tot de analyse, 1957, blz. 259: "Een reeks is dus niets anders dan de rij van zijn partiële sommen." ["Zijn" verwijst naar het te definiëren object: cirkeldefinitie.]
– E. Coplakova, M. Edixhoven, Wiskundige Structuren, Univ. Leiden, 2008, blz. 73: "De reeks [formulevorm] wordt nu 'geïdentificeerd’ met de rij [formulevorm] van zijn partiële sommen." ["zijn" verwijst naar het te definiëren object: cirkeldefinitie.]
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "Voordat we aan een reeks, dwz. aan zo'n som van oneindig veel getallen, een getalwaarde kunnen toekennen, [...]." [Commentaar: Onduidelijk blijft waar het 'zo'n' naar verwijst, want voorafgaand is alleen gezegd hoe het bedoelde ding genoteerd wordt, nog niet wat het is: cirkeldefinitie.]
– Les mathématiques net, Forums>Analyse>Discussion, 2011, eerste sectie: "une série numérique est définié comme étant une suite: la suite de ses sommes partiales." [Commentaar: "ses" verwijst naar het te definiëren object: cirkeldefinitie.]

[53] Bij deze omschrijving van de betekenis worden twee aspecten genegeerd: (1) het feit dat een rij altijd bestaat uit de partieelsommen van een andere rij (de verschilrij van de eerste) en er dus geen sprake is van een speciaal soort; (2) het strijdig zijn met iedere logica om de a_n' s aan te duiden als 'de termen van de nieuwe rij (s_n)', en om z'n eventuele limiet aan te duiden met 'z'n som'.
– W.J. Vollewens, Repertorium der wiskunde voor ingenieurs, deel I, 1950, blz. 195: "Is een variant [= oneindige rij] gegeven [...] dan kan met daaruit afleiden de zg. somvariant [...] Deze somvariant heet een reeks;" .
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, a modern approach to advanced calculus, 1957, (6th printing 1973) blz. 355: "A sequence {s_n} formed in this way is called a series (or an infinite series)."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 297: "Een reeks is een rij die volgens een bepaald optellingsschema uit een andere rij is afgeleid." (Dit verschilt van 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".)
– T.M. Apostol, Calculus, volume I, One-variable calculus, with an introduction to lineair algebra; second edition, 1967, blz. 384: "The sequence {s_n} of partial sums is called an infinite series, or simply a series ".
– M. Rosenlicht, Introduction to analysis, 1968, blz. 141: "If ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,}$ is a sequence of real numbers, by the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ also denoted ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ , we mean the sequence ${\textstyle \,a_{1},\,a_{1}{+}a_{2},\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\,\ldots \,}$ ."
– C.W. Burrill, J.R. Knudsen, Real variables, 1969, blz. 121: "The sequence {s_n} is called an infinite sum or infinite series or simply a series of the elements of {a_n}."
– N.P. Zwikker, J.B. Ham, Analyse 2, 1970, blz. 79: "de rij {S_n} heet dan een reeks."
– K. Endl, W. Luh, Analysis I, 1973, p.31: "Die Folge ${\textstyle \,\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ [...] nennen wir eine unendliche Reihe und bezeichne sie mit ${\textstyle \,\sum _{\nu =1}^{\infty }a_{\nu }\,}$ ."
– M. Barner, F. Flohr, Analysis I, 1974, blz.141: "Es sei ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ eine Zahlenfolge. Durch die Festsetzung ${\textstyle \,s_{n}=\,\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ wird eine Zahlenfolge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ definiert, die man als die zu ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ gehorende unendliche Reihe bezeichnet."
– H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Die unendlichen Reihe - oder kurz die Reihe - mit den Gliedern ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots \,}$ , in Zeichen ${\textstyle \ \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\ }$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ , bedeutet eine Folge, nämlich die Folge der Teilsummen ${\textstyle \,s_{n}\,:=\,a_{0}{+}a_{1}{+}\cdots a_{n}(n=0,1,2,\cdots )}$ .
– J.F. Hurley, Intermediate calculus, 1980, section 2.3: "An infinite series [...] is a sequence (s₁, s₂, ...,s_n, ...) where s₁ = a₁, s_n = a_n+s_n-1".
– O. Foster, Analysis 1, 4. Auflage 1983, blz. 23-24: "Die Folge [...] der Partialsummen heisst (unendliche) Reihe und wird mit ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ bezeichnet."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79 "Die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ist also nichts anderes als die Summenfolge ${\textstyle \,(u_{n})_{n}\,}$ der Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}}$ ."
– J.H.J. Almering, H. Bavinck, R.W. Goldbach, Analyse, 5e druk 1986 (idem 6e druk 1989), blz. 514: "Uitgaand van een rij (a_n) kan men een nieuwe rij (s_n) construeren [...]. Deze nieuwe rij noemen we de bij a_n behorende reeks (Engels: series).
– H.-G. Friedemann, Arithmetik, 1990, blz. 299: "Die Folge (s_n) der Partialsummen s₁, s₂, s₃, ..., s_n heisst die zu (a_n) gehörende Reihe.
– L. Leithold, The calculus, with analytic geometry; sixth edition, 1990, blz. 701: "If {u_n} is a sequence and . . . then the sequence {s_n} is called an infinite series."
– D. Dijkstra e.a., Dictaat analyse B (universiteit Twente), 1999, blz. 1: "De getallenrij (s_k) wordt de bij de getallenrij (a_n) behorende reeks genoemd."
– S.R. Lay, Analysis, with an introduction to proof, 2001, blz.268: "We also refer to the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ of partial sums as the infinite series (or simply the series) ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ."
– O. Riemenschneider, Analysis I, 2.Aufl. 2004, blz. 13: "Außerdem kann man aus Folgen durch Addition ihrer Glieder neue Folgen bilden, die man Reihen nennt."
– Forum, Futura-Sciences, Définition suites et séries, 2008, sectie #5: "Une série, c'est une suite définie d'une façon particulière à partir d'une autre suite, mais cela reste une suite. Réciproquement toute suite peut être définie comme une série."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "series are sequences of partial sums,".
–- L. Grüne, Analysis I und II, 2012, blz. 57: "Für eine reelle Folge ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ heisst die Folge ${\textstyle \,b_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ (unendliche) Reihe."
– U. Reif c.s., Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I, II, 2015 (TU-Darmstadt), blz. 82: "Man bezeichnet die Folge (s_m)_m als die Reihe".
– E. Weitz, Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker, 2018, blz. 511: "DIE DEFINITION, die sich inzwischen allgemein durchgesetzt hat, sieht folgendermassen aus. Wenn wir eine Folge [ ] van Zahlen haben, dann bezeichnen wir die darauf basierte Folge [ ]von endlichen Summen als Reihe (engl. series) " . [Commentaar: Dus: "Onder de voorwaarde dat we een oneindige rij enen hebben, noemen we de rij van de natuurlijke getallen 'reeks'." Is dit een DEFINITIE ? Van een wiskundig begrip dat afwijkt van een oneindige getallenrij? (Ga toch knikkeren, Professor.) ]
– ~~Wikipedia-de,~~ Reihe: "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."
– ~~Wikipedia-fr,~~ fr:Série (mathématiques): "étudier la série de terme général u_n c'est étudier la suite obtenue en prenant la somme des premiers termes de la suite (u_n),"

[54] – Fr.A. Willers, Willers Elementar-Mathematik, 12.Aufl. 1965, par. 47: "Die Summe der Glieder einer geometrische Zahlenfolge nennt man geometrische Reihe."
– E.J. Borowski, J.M. Borwein, Collins dictionary of mathematics, 1991, blz. 533: " series = the sum of a finite or infinite sequence of terms" .
– ~~Wikibooks,~~ Calculus/Definition of a Series, 2019, regel 1: "A series is the sum of the terms in a sequence."

[55] – P. Lax, S. Burstein, A. Lax, Calculus with applications and computing, volume I, 1976, blz. 21: "the infinite sum, traditionally called infinite series, "
– P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: " series = Generally, but not always, an infinite sum."
– S.I. Grossman, Calculus, second edition, 1981, blz. 628: "the infinite sum ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\ =\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series (or, simply, series)."
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Let ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ be an infinite sequence. We refer to the infinite sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ as an infinite series."
– ~~Wikipedia-en,~~ Series, Basic properties: "An infinite series or simply a series is an infinite sum, represented by an infinite expression of the form $\,a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$ "

[56] – Skolöverstyrelsen, Matematik-terminologi i skolan, 1979, blz. 115: "En serie erhålls, när elementen i en oändlig talföljd successivt adderas." (Een reeks ontstaat wanner de elementen van een oneindige getallenrij achtereenvolgens worden toegevoegd.).
– M. de Gee, Wiskunde in werking, 1995, blz. 5: "Sommeren we alle termen van een oneindige rij dan krijgen we een reeks: ".
– A. Croft, R. Davidson, Mathematics for engineers, 2004, blz. 883: "When the terms of an infinite sequence are added we obtain an infinite series."
– H. Couperus, H. Oomis, Praktische levensverzekeringswiskunde, 2013, blz. 21: "Een rij getallen a_n wordt een reeks als de termen van de rij opgeteld worden [...] Als a_n = aⁿ, dan spreken we van een meetkundige rij. Tellen we de termen op, dan krijgen we de meetkundige reeks , ook wel geometrische reeks genoemd. Een meetkundige reeks wordt gevormd uit een meetkundige rij waarbij de termen bestaan uit de som van de termen uit de meetkundige rij. " [Commentaar: Onder 'termen van een reeks' wordt vaak iets anders verstaan dan hier genoemd.]

[57] – P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: "A mathematical process which calls for an infinite number of additions."

[58] – W. Ledermann, S. Vajda, Handbook of applicable mathematics, volume IV: Analysis, 1982, blz. 13: "A series consists of a sequence (a_n) of terms from which a sequence (s_n) of partial sums is derived,".

[59] – R.S. Borden, A course in advanced calculus, 1983, blz. 300: "An infinite series, more commonly, a series is a sum of a countable number of terms."

[60] In deze betekenis wordt 'de reeks' steeds direct gevolgd door 'van' en vervolgens de aanduiding van een rij. Het opvatten van 'reeks' als de naam van een zekere afbeelding maakt het onmogelijk om een betekenis te geven aan combinaties als 'termen van een reeks', 'som van een reeks', 'convergentie van een reeks' .
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Een mogelijkheid om met behoud van het woord reeks samenhangend te spreken is: overgaan op het begrip 'reeks van een rij'. [...] Men doet er verstandiger aan de terminologie en notatie op het gebied van reeksen als 'typografische afkortingen' te beschouwen."
– E. Fisher, Intermediate real analysis, 1983, blz. 151: "If ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ is a real sequence, then the sequence ${\textstyle \,\langle S_{n}\rangle }$ , [...] is called the infinite series of terms of the sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ ."
– S. Haschler, schule 2005-06, blz. 3 'Reihen': "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."
– R. Mayer, Infinite series, 2006 (Reed College), " $\,\sum$ is actually a function that maps complex sequences to complex sequences."
– M. Veraar, Wiskundige structuren (TU Delft), 2016, module 6.1: "Laat ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ een rij reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen ${\textstyle \,(s_{n})_{n\geq 0}\,}$ wordt de reeks van ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ genoemd ".
– B. Keller, Folgen und Reihen 2017 blz. 4: "Die Folge ${\textstyle (s_{n})\,}$ [...] nennen wir Reihe der Folge ${\textstyle (a_{n})\,}$ ."
– J. Leydold, Grundlagen 2017, blz. 34: "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."

[61] – O. Teller, Vademecum van de wiskunde, Prisma 1033, 13e druk 1994, blz. 32: "'Vormt men de som van alle termen [van een meetkundige rij], dan ontstaat een meetkundige reeks."

[62] – L.J. Goldstein, D.C. Lay, D.I. Schneider, N.H. Asmar, Calculus & its applications, 11th edition, 2007, blz. 569: "An infinite series is an infinite addition of numbers ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ "
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Note here that sequences and series are intimately connected, but that they represent different concepts. A sequence is always just an infinite list of numbers without any additional structure; a series always refers to an infinite addition of numbers."

[63] – P.J. Bartlett, CALifornia institute of TECHnology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "If it does [converging partial sums], we then call the limit of this sequence the series associated to ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ ,".
– Univ. des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene, Séries numériques, 2013, blz. 4: "La limite de (S_n) est appelée série de terme général u_n."
– M. Karow, Analyse I für Ingenieure (Folien), 2018(?), Thema: unendliche Reihen: "Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen ".

[64] – A Eickhoff-Schachtebeck, A Schöbel, Mathematik in der Biologie, 2014, p. 75: "Interessiert man sich nicht für die einzelnen Glieder a₁, a₂, a₃, ... einer Folge, sondern für deren Summe a₁+a₂+ ··· +a_n bis zum Glied n, so erhällt man eine Reihe."

[65] – ~~Wikipedia-en,~~ Series, zin 11: "a series, which is the operation of adding the a_i one after the other"

[66] – M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz.324: "simply the adding up of the infinite number of terms of a sequence."
– ~~Wikipedia-nl,~~ Reeks (wiskunde), zin 1: "Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen."

[67] – P. Levrie, Pythagoras (tijdschrift), 2014 jrg. 53 nummer 5, blz. 8: "Wat is een reeks? Een reeks in de wiskunde is een som met oneindig veel termen."
– ~~Wikibooks,~~ Einführung in die Funktionentheorie/ Folgen und Reihen, 2015: "Unter einer unendlichen Reihe versteht man – wie im Reellen – eine Summe mit unbeschränkt vielen Summanden, die nach einer bestimmten Vorschrift (Bildungsgesetz) berechnet wurden."

[68] – G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "Les 'séries' sont les suites ${\textstyle \,(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,}$ récurrentes définié par une relation de type: ${\textstyle \,s_{0}=u_{0}\ ,\ s_{n}=s_{n{-}1}+u_{n}\,}$ ".

[69] – T.J.I. Bromwich, An introduction to the theory of infinite series, 1908, blz. 15: "if the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ is convergent and has the limit ${\textstyle \,S\,}$ , the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,=\,\sum _{1}^{\infty }a_{n}\,=\,\sum a_{n}}$ , is convergent; and ${\textstyle \,S\,}$ is called the sum of the series."
– É. Goursat, Cours d'analyse mathématique I, 2e édition, 1910, blz. 9: "Étant donnée une suite infinie quelconque, dont le terme général est u_n, on dit que la série u₀+u₁+···+u_n+··· est convergente, si la suite formée par les sommes successives des termes de cette série [...] est elle-même convergente."
– R.E. Johnson, F.L. Kiokemeister, Calculus, with analytic geometry; fourth edition, 1969, blz. 448: "This leads to a study of the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ associated with each sequence ${\textstyle \,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots \,}$ ."
– K.A. Ross, Elementary analysis: the theory of calculus, 1980, blz. 68: "The infinite series ${\textstyle \,\sum _{n=m}^{\infty }a_{n}\,}$ is said to converge provided [...] ".
– D. Varberg, E.J. Purcell, S.E. Rigdon, Calculus, 8th edition 2000, blz. 436: " [...] consider the infinite series "
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "In de wiskunde is er wel een duidelijk verschil [in betekenis tussen de woorden "rij" en "reeks" ]: wanneer we praten over een reeks, dan wordt daarmee meteen aangegeven dat we de intentie hebben om de getallen van de rij op te tellen. Laat ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n\geq 0}\,}$ een rij complexe getallen zijn. De daarbij horende reeks wordt genoteerd als . . .". (Commentaar: onvermeld blijft wat bedoeld wordt met 'de daarbij horende reeks'.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

Stemmen uit het reeks-moeras

"A sequence or a series is simply a function N to R -- the same in both cases"

Es gibt konvergente Zahlen und divergente Zahlen

"SUITE, en Algèbre, est la même chose que série. Voyez SÉRIE."

"Een reeks in de wiskunde is een rij, beschouwd samen met zijn rij van partiële sommen"

"een goede definitie voorhanden", "die definitie is er ook" (Bob.v.R, 2015)

Een oneindige reeks is in de wiskunde iets anders dan de optelling van eindig veel termen

Vormen de driehoeksgetallen een rij of een reeks ?

"Natuurlijk is iedere rij een reeks: hij is de somrij van z'n verschilrij."

"Merk op dat de reeks Σk≥0 ak iets anders is dan de rij (ak)k≥0 ."

"Onder een reeks ... verstaan we een uitdrukking van de vorm ΣkεN ak "

Wel een stamboek voor integer-RIJEN, maar niet voor integer-REEKSEN ?

Bestaan er naast absoluutconvergente REEKSEN, ook absoluutconvergente RIJEN ?

Bestaan er naast fundamentaalRIJEN ook fundamentaalREEKSEN?

Tja...

"Pourqoi ne pas voir l'ensemble des series numériques réelles comme étant exactement l'ensemble des suites réelles ?"

Welke onderdelen in de 'overlegversie 2 mei 2019' lijken onvoldoende met bronnen onderbouwd?

Bij plaatsing artikeltekst 23 mei 2019

Het woord "reeks" verklaard (?) met "formele som"

Welke onderdelen in de op 23 mei 2019 geplaatste artikeltekst lijken onvoldoende onderbouwd ?

Onregelmatig woordgebruik

'Convergente (termconvergente) rij' naast 'convergente (somconvergente) reeks'

'Sommeerbare rij' naast 'sommeerbare reeks'

'Komma-notatie' naast 'plusteken-notatie'

Meerduidige formulevormen

Absolute sommeerbaarheid van een rij, absolute convergentie van een reeks

Termen van een rij/reeks, som van een rij/reeks, limiet van een rij

Cauchyproduct van twee rijen/reeksen. Stelling van Mertens

Vroeger anders

Grote variatie in beschrijvingen van wat met "oneindige reeks" bedoeld kan zijn

Literatuur

Reeks (wiskunde) - overleg-versie 2 mei 2019

Reacties

Term

Voorstel

Kronig's bijgevoegde bron, versus Madyno

"Grove misleiding van de lezer"

"De term 'reeks' in de bovengenoemde betekenis"; kan Madyno die plek aanwijzen?

"Soms wordt de benaming rekenkundige reeks gebruikt"

Waarom de Kuznetsov/Stienstra-noot bij de definitiepoging met 'formele som' ?

Potsierlijk

"Formele som", nog in het artikel te verklaren en te bebronnen. Óf . . .

Wat zegt Oosthoeks Encyclopedie over reeksen?

"Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term reeks gebruikt"

Vervangingsvoorstel, wie voert het in?

"Kleine stijl-aanpassing, ..." ?

"Merk op dat de reeks Σ_k≥0 a_k iets anders is dan de rij (a_k)_k≥0 ."

"Onder een reeks ... verstaan we een uitdrukking van de vorm Σ_kεN a_k "