Pi

Sjå òg bokstaven Pi.

Når diameteren til ein sirkel er 1, er omkrinsen lik π

Den matematiske konstanten pi (π) er eit irrasjonalt tal definert som omkrinsen til ein sirkel dividert med diameteren til sirkelen. Tilnærma verdi er 3,14159. Når diameteren til ein sirkel er 1, er omkrinsen lik pi. Pi er også kjent som Arkimedes' konstant og Ludolphs tal.

Talet er transcendent, og derfor irrasjonalt. Pi har ein tendens til å dukka opp i mange fleire uttrykk, truleg som ein konsekvens av at sirkelen er tett assosiert med metrikken til dei komplekse tala; den algebraiske lukkinga av dei reelle tala.

Definisjon

I euklidisk geometri vert det nytta to definisjonar av pi. Den eine er sirkelens omkrins dividert med sirkelens diameter. Når diameteren er lik 1, er omkrinsen lik pi. Den andre definisjonen er arealet av ein sirkel dividert med sirkelens radius opphøgd i andre.

Numerisk verdi

Den numeriske verdien av pis første 50 desimalar er:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

Sjå Linkane nedanfor for fleire desimalar.

Sjølv om ein har kalkulert fleire milliardar desimalar av π, krev praktisk vitskap og ingeniørkunst sjeldan meir enn 10 desimalar. Viss ein reknar ut jordomkrinsen med 10 desimalar, vil svaret avvika med under 0,2 mm. Den nøyaktige verdien av π har uendeleg mange desimalar. Desimalane vil heller ikkje gjenta seg sjølv i sekvensar. Difor er π eit irrasjonalt tal, eller rettare sagt transcendent.

Kalkulering av π

Ein kan finna π ved å teikna ein stor sirkel, og måla diameteren og omkrinsen, i og med at omkrisen alltid er lik π gonga med diameteren.

π kan også kalkulerast ved å bruka reine matematiske metodar. Dei fleste formlane som vert nytta inneheld mange matematiske eigenskapar, men er vanskeleg å skjøne utan ein bakgrunn i trigonometri og matematisk analyse. Nokon av dei er derimot ganske enkle, som til dømes Leibniz formell for pi.

\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots

Sjølv om den formelen er enkel å skrive og kalkulere, er det ikkje med ein gong klart kvifor han gjer π. Ein meir intuitiv måte å gjere det på er å teikne ein imaginer sirkel med radius «r» sentrert ved origo. Då vil kva som helst punkt (x,y) viss distanse er «d» frå origo og er mindre enn «r» vil innsida av sirkelen vera gitt ved Pytagoras' setning.

d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

Ved å finna ei samling punkt innanfor sirkelen vert det mogleg å tilnærma arealet i sirkelen. Sidan arealet «A» av ein sirkel er lik π gonger radius opphøgd i andre potens, kan π kalkulerast som:

\pi ={\frac {A}{r^{2}}}

Historie

Første gongen symbolet π vart brukt for den matematiske konstanten, var i boka til William Jones A New Introduction to Mathematics, gjeve ut i 1706, men symbolet vart først populært etter at Leonhard Euler tok det i bruk nokre år seinare.

Den omtrentlege verdien av π har vore kjend sidan antikken. Så tidleg som i det 19. hundreåret før vår tidsrekning nytta babylonske matematikarar tilnærminga π=25/8, ei tilnærming som gjev eit avvik på om lag 0,5 %.

Den egyptiske skrivaren Ahmes skreiv den eldste kjende teksten som gjev ei tilnærming av π. Han siterer ein tekst frå mellomriket, der han bruker tilnærminga 256/81, eller 3,160.

1. Kongebok 7:23 i Bibelen gjev uttrykk for at π=3.

Arkimedes fann ut at π låg ein plass mellom 223/71 og 22/7. Snittet av desse to tala er om lag 3,1418511.

I år 263 rekna den kinesiske matematikaren Liu Hui π til å vera 3,141014 og foreslo 3,14 som ei god tilnærming.

I det 5. hundreåret gav den indiske matematikaren og astronomen Aryabhata tilnærminga π = 62832⁄20000 = 3.1416. Han medgav også at dette berre var ei tilnærming.

I det 5. hundreåret rekna også den kinesiske matematikaren og astronomen Zu Chongzhi π til å vera mellom 3,1415926 og 3,1415927 og gav to tilnærmingar, 355/113 og 22/7.

I det 14. hundreåret rekna den indiske matematikaren og astronomen Madhava frå Sangamagrama ut verdien til π med heile 13 desimalar.

Den persiske astronomen Ghyath ad-din Jamshid Kashani (1350–1439) klarte å rekna ut dei første 9 desimalane på 60-talsystemet, noko som tilsvarer 16 desimalar: 2π = 6.2831853071795865

Seinast i år 1610 hadde den tyske matematikaren Ludolph van Ceulen gjort seg ferdig med å rekna ut dei første 35 desimalane i π. Det vert sagt at han var så stolt over dette at han fekk dei rissa inn i gravsteinen sin.

I 1789 betra den slovenske matematikaren Jurij Vega den engelske matematikaren John Machins formel frå 1706 og rekna ut dei første 140 desimalplassane av π, der dei første 126 var korrekte, og heldt den verdsrekorden fram til 1841, då Wiliam Rutherford rekna ut 208 desimalar, der 152 var korrekte.

Den engelske amatørmatematikaren William Shanks brukte over 20 år på å rekna ut 707 desimalar av π, men i 1944 fann D. F. Ferguson ut at Shanks hadde gjort ein feil ved den 528. desimalen, og at alle dei etterfølgjande desimalane var galne. Innan 1947 hadde Ferguson rekna ut 808 desimalar (ved hjelp av ein mekanisk skrivebordskalkulator).

Seinare utrekingar av pi er utført ved hjelp av datamaskiner. Rådande rekord (2002) har den japanske matematikaren Yasumasa Kanada. Han rekna ut over 1,2 billionar desimalar ved hjelp av ein supercomputer med 64 nodar. Reknestykket tok over 600 timar.

Tabell over historisk utrekning av Pi

Matematikar	År	Desimalar
Egypt, Babilon, India	1900 - 1700 fvt.	1
Arkimedes	ca. 250 fvt.	3
Zu Chongzhi	ca. 480	7
Jamshid Masud Al-Kashi	ca. 1424	16
Ludolph van Ceulen	1596	35
Jurij Vega	1794	136
William Shanks	1874	527
Levi B. Smith, John W. Wrench	1949	1 120
Daniel Shanks, John W. Wrench	1961	100 265
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura	1982	16 777 206
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo	1987	134 217 700
Chudnovskys	1989	1 011 196 691
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1997	51 539 600 000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1999	206 158 430 000
Yasumasa Kanada (ikkje stadfesta)	2002	1 241 100 000 000

Tilnærmingar

Sidan π er transcendent er det ingen avgrensa definisjonar gjevne ved algebraiske tal og funksjoner som kan gje ein eksakt definisjon av π. Formlar for å kalkulera π vil gje uttrykk for at prosessen held fram i det uendelege. Uansett kor langt ein lèt ein slik prosess gå vil ikkje resultatet vera nøyaktig π, men jo lengre prosessen held på, jo meir nøyaktig vert resultatet.

Det er difor gjeve mange tilnærmingar av π. For mange føremål er 3.14, eller 22/7 nære nok. Ingeniørar nyttar ofte 3.1416 eller 3.14159 for høgre presisjon. Tilnærmingane 22/7 og 355/113 som gir høvesvis 3 og 7 riktige tal er dei enklaste tilnærmingane gitt ved brøkar. 355/113 (3.14159292) er den beste tilnærminga ein får med tre eller fire tal i teljar og nemnar.

Geometriske formlar

Konstanten π er mykje brukt i geometriske formlar, spesielt når det gjeld sirklar og sfærar.

Geometrisk form	Formel
Omkrinsen til ein sirkel med radius r og diameter d	$O=2\pi r=\pi d\,\!$
Arealet av ein sirkel med radius r	$A=\pi r^{2}={\frac {1}{4}}\pi d^{2}\,\!$
Arealet av ein ellipse med semiakse a og b	$A=\pi ab\,\!$
Volumet av ein sfære med radius r og diameter d	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{6}}\pi d^{3}\,\!$
Overflata av ein sfære med radius r og diameter d	$A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}\,\!$
Volumet av ein sylinder med høgde h og radius r	$V=\pi r^{2}h\,\!$
Overflata av ein sylinder med høgde h og radius r	$A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!$
Volumet av ei kjegle med høgde h og radius r	$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!$
Overflata av ei kjegle med høgde h og radius r	$A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!$

Pugging av pi

Det å pugge desimalar av pi er for mange ein lidenskap. Den noverande rekorden er på 100.000 desimalar og er halden av Akira Haraguchi den 3. oktober 2006 [1].

Det vert nytta mange måtar for å pugga pi. Ein måte er å nytta såkalla piems, det vil seia dikt (avleidd frå eng. poems) der kvart ord har det same talet bokstavar som den tilsvarande desimalen i pi. Eit eksempel på eit piem er: «How I need a drink, alcoholic in nature (alternativt: of course), after the heavy lectures involving quantum mechanics». Legg merke til at det første ordet er laga av 3 bokstavar, det neste av 1, så 4 og så vidare. Eitt slikt piem er Cadaeic Cadenza [2].

Denne metoden vert ineffektiv når det kjem til å pugga store delar av pi. Ein annan metode er å gjera bruk av mønster i tala ved å assosiera visse tal til årstal og liknande.

Trivialia

14. mars vert ofte kalla pi-dagen («Pi-day») på grunn av den amerikanske skrivemåten 3/14. Dette er også fødselsdagen til Albert Einstein.

Bakgrunnsstoff

Desimalar

Dei 4 fyrste millionane desimaltal i π Arkivert 2008-03-09 ved Wayback Machine. - Åtvaring! - Filstorleiken er om lag 2 megabyte.
Søk gjennom dei 200 fyrste millionane desimaltal i π for gjeve talrekker

Generelt