ਵਿੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ, ਵਿੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਇਟਾਲੀਅਨ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਜੀਅਨ ਕਾਰਲੋ ਵਿੱਕ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ-ਨੰਬਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਜਗਹ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ-ਨੰਬਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਰਤ ਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆ ਪ੍ਰਤਿ ਕਿਸੇ ਹੱਲ ਤੋਂ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੱਸਿਆ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਹੱਲ ਖੋਜਣ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਇਹ ਤਬਦੀਲੀ (ਰੂਪਾਂਤਰਨ) ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਹੋਰ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਹੱਲ ਖੋਜਣ ਲਈ ਵੀ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਸਾਰਾਂਸ਼

ਵਿੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਇਸ ਨਿਰੀਖਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕ (ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ ਵਾਸਤੇ (−1, +1, +1, +1) ਵਾਲੀ ਪ੍ਰੰਪਰਾ ਵਾਲੀਆਂ) ਕੁਦਰਤੀ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

$ds^{2}=-\left(dt^{2}\right)+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

ਅਤੇ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕ

$ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

ਇੱਕ-ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ, ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ t ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਮੁੱਲ ਲ਼ੈਣ ਦੀ ਪ੍ਰਵਾਨਗੀ ਹੋਵੇ।

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕ, ਯੁਕਿਲਡਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ t ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਉਲਟ ਵੀ। x, y, z, t ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਾਲੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈ ਕਿਸੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਲੈ ਕੇ ਇਸਨੂੰ t = −iτ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਕਦੇ ਕਦੇ, ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਯੁਕਿਲਡਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ x, y, z, τ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਤੋਂ ਅਸਾਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਹੱਲ ਫੇਰ, ਉਲਟ ਬਦਲ ਅਧੀਨ, ਮੂਲ ਸਮੱਸਿਆ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਹੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਆਂਕੜਾਤਮਿਕ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ

ਵਿੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਕਾਲਪਨਿਕ ਟਾਈਮ $it/\hbar$ ਨਾਲ ਉਲਟ ਤਾਪਮਾਨ $1/(k_{\text{B}}T)$ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨਾਲ ਜੋੜਦੀ ਹੈ। ਤਾਪਮਾਨ T ਉੱਤੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਊਰਜਾ E ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਔਸੀਲੇਟਰ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਦੀ ਤੁਲਨਾਤਿਕ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ $\exp(-E/k_{\text{B}}T)$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k_B ਬੋਲਟਜ਼ਮਨ ਦਾ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਨਿਰੀਖਣਯੋਗ Q ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ, ਕਿਸੇ ਨੌਰਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਤੱਕ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

$\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}}{k_{\text{B}}T}}},$

ਜਿੱਥੇ j ਸਾਰੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, j^th ਅਵਸਥਾ ਅੰਦਰ Q ਦਾ ਮੁੱਲ $Q_{j}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ j^th ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਊਰਜਾ $E_{j}$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਧਾਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕੁਆਂਟਮ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰ ਨੂੰ ਲਓ, ਜੋ ਇੱਕ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ H ਅਧੀਨ ਇੱਕ ਟਾਈਮ t ਲਈ ਉਤਪੰਨ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ। ਊਰਜਾ E ਵਾਲੀ ਅਧਾਰ ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਫੇਜ਼ ਤਬਦੀਲੀ $\exp(-Eit/\hbar ),$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, $\hbar$ ਘਟਾਇਆ ਹੋਇਆ ਪਲੈਂਕ ਦਾ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ।

ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਜੋ

$|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle$

ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਇੱਕਸਾਰ (ਸਮਾਨ ਤੌਰ ਤੇ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ) ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਨਚਾਹੀ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ,

$|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle$

ਤੱਕ ਉਤਪੰਨ ਹੋਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਨੌਰਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਤੱਕ, ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

$\left\langle Q\left|e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}\right|\psi \right\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}\langle j|j\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}.$

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ

• ਕੰਪਲੈਕਸ ਸਪੇਸਟਾਈਮ
• ਕਾਲਪਨਿਕ ਸਮਾਂ
• ਸ਼ਵਿੰਗਰ ਫੰਕਸ਼ਨ

ਹਵਾਲੇ

• Wick, G. C. (1954). "Properties of Bethe-Salpeter Wave Functions". Physical Review. 96 (4): 1124–1134. Bibcode:1954PhRv...96.1124W. doi:10.1103/PhysRev.96.1124.

ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ

• A Spring in Imaginary Time — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle
• Euclidean Gravity — a short note by Ray Streater on the "Euclidean Gravity" programme.