Przejdź do zawartości

Element pierwszy: Różnice pomiędzy wersjami

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Konradek (dyskusja | edycje)
m drobne redakcyjne
drobne merytoryczne
Linia 3: Linia 3:
==Definicja==
==Definicja==
'''Elementem pierwszym''' dowolnego pierścienia <math>R</math> nazywamy element <math>x \in R\setminus\{0\}</math> taki, że:
'''Elementem pierwszym''' dowolnego pierścienia <math>R</math> nazywamy element <math>x \in R\setminus\{0\}</math> taki, że:
:<math>\forall_{a,\; b \in R}\; a|(b\cdot c) \implies (a|b \or a|c)</math>.
:<math>\forall_{a,\; b \in R}\; x|(a\cdot b) \implies (x|a \or x|b)</math>.


Innymi słowy, niezerowy element pierścienia <math>R</math> nazywamy elementem pierwszym, gdy z tego że dzieli on iloczyn dwóch dowolnych elementów tego pierścienia wynika, że dzieli on przynajmniej jeden z tych elementów.
Innymi słowy, niezerowy element pierścienia <math>R</math> nazywamy elementem pierwszym, gdy z tego że dzieli on iloczyn dwóch dowolnych elementów tego pierścienia wynika, że dzieli on przynajmniej jeden z tych elementów.

Wersja z 22:02, 20 kwi 2007

Element pierwszy – uogólnienie pojęcia liczby pierwszej na elementy dowolnych pierścieni.

Definicja

Elementem pierwszym dowolnego pierścienia nazywamy element taki, że:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \forall_{a,\; b \in R}\; x|(a\cdot b) \implies (x|a \or x|b)} .

Innymi słowy, niezerowy element pierścienia nazywamy elementem pierwszym, gdy z tego że dzieli on iloczyn dwóch dowolnych elementów tego pierścienia wynika, że dzieli on przynajmniej jeden z tych elementów.

Jak widać, zgodnie z podaną wyżej definicją, jedynka pierścienia jest elementem pierwszym, podczas gdy przyjmuje się, że 1 nie jest liczbą pierwszą.

Własności

  • Jeżeli jest elementem pierwszym i dzieli iloczyn dowolnej ilości czynników z , to dzieli on co najmniej jeden z tych czynników.
  • Każdy element odwracalny pierścienia jest elementem pierwszym.
  • Każdy element pierwszy jest elementem nierozkładalnym, natomiast nie każdy element nierozkładalny jest elementem pierwszym.
  • Ideał generowany przez element pierwszy jest ideałem pierwszym.

Szablon:Matematyka stub