Element pierwszy: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m drobne redakcyjne |
drobne merytoryczne |
||
| Linia 3: | Linia 3: | ||
==Definicja== |
==Definicja== |
||
'''Elementem pierwszym''' dowolnego pierścienia <math>R</math> nazywamy element <math>x \in R\setminus\{0\}</math> taki, że: |
'''Elementem pierwszym''' dowolnego pierścienia <math>R</math> nazywamy element <math>x \in R\setminus\{0\}</math> taki, że: |
||
:<math>\forall_{a,\; b \in R}\; |
:<math>\forall_{a,\; b \in R}\; x|(a\cdot b) \implies (x|a \or x|b)</math>. |
||
Innymi słowy, niezerowy element pierścienia <math>R</math> nazywamy elementem pierwszym, gdy z tego że dzieli on iloczyn dwóch dowolnych elementów tego pierścienia wynika, że dzieli on przynajmniej jeden z tych elementów. |
Innymi słowy, niezerowy element pierścienia <math>R</math> nazywamy elementem pierwszym, gdy z tego że dzieli on iloczyn dwóch dowolnych elementów tego pierścienia wynika, że dzieli on przynajmniej jeden z tych elementów. |
||
Wersja z 22:02, 20 kwi 2007
Element pierwszy – uogólnienie pojęcia liczby pierwszej na elementy dowolnych pierścieni.
Definicja
Elementem pierwszym dowolnego pierścienia nazywamy element taki, że:
- .
Innymi słowy, niezerowy element pierścienia nazywamy elementem pierwszym, gdy z tego że dzieli on iloczyn dwóch dowolnych elementów tego pierścienia wynika, że dzieli on przynajmniej jeden z tych elementów.
Jak widać, zgodnie z podaną wyżej definicją, jedynka pierścienia jest elementem pierwszym, podczas gdy przyjmuje się, że 1 nie jest liczbą pierwszą.
Własności
- Jeżeli jest elementem pierwszym i dzieli iloczyn dowolnej ilości czynników z , to dzieli on co najmniej jeden z tych czynników.
- Każdy element odwracalny pierścienia jest elementem pierwszym.
- Każdy element pierwszy jest elementem nierozkładalnym, natomiast nie każdy element nierozkładalny jest elementem pierwszym.
- Ideał generowany przez element pierwszy jest ideałem pierwszym.
