Mnożniki Lagrange’a

Mnożnik Lagrange’a – metoda obliczania ekstremum warunkowego funkcji różniczkowalnej wykorzystywana w teorii optymalizacji. Nazwa metody pochodzi od nazwiska matematyka Josepha Louisa Lagrange’a.

Sformułowanie i analiza problemu

Szukanie ekstremów warunkowych funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ z warunkiem zerowania $G\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$ będących zarazem punktami regularnymi, sprowadza się do rozwiązania układu równań operatorowych

$\left\{{\begin{array}{l}f^{\prime }(x)=\Lambda \circ G^{\prime }(x)\\G(x)=0\end{array}}\right.,$

gdzie $\Lambda \in (\mathbb {R} ^{m})^{\star }.$ Wiadomo, że każdy taki funkcjonał $\Lambda$ jest reprezentowany przez układ $m$ liczb rzeczywistych $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m},$ a pochodna $G^{\prime }(x)$ jest macierzą wymiaru $m\times n$ rzędu $m$. Układ równań operatorowych sprowadza się więc do układu $m+n$ równań skalarnych:

$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{j}}}=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}{\frac {\partial G_{i}(x)}{\partial x_{j}}},\;j=1,\ldots ,n\\G_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\;k=1,\ldots ,m\end{array}}\right.,$

gdzie $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ o $n+m$ zmiennych $\lambda _{i},x_{k},\;i\leqslant m,k\leqslant n.$ Wszystkie punkty, w których funkcja może przyjmować ekstrema warunkowe, należą do zbioru rozwiązań tego układu równań. Liczby $\lambda _{i}$ spełniają tylko rolę pomocniczą i nazywane są często mnożnikami Lagrange’a. Po znalezieniu punktów spełniających warunek konieczny dla ekstremum, należy odwołać się do warunku wystarczającego, tj. zbadać dodatnią (ujemną) określoność

$f^{\prime \prime }(x)-\Lambda \circ G^{\prime \prime }(x)$

dla

$h\in X_{1}=\ker G^{\prime }(x_{0}),$

co sprowadza się do badania formy kwadratowej

$\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\lambda _{k}{\frac {\partial ^{2}G_{k}(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)h_{i}h_{j},$

gdzie:

$h\in X_{1},h=(h_{1},\ldots ,h_{n}).$

Warunek $h\in X_{1}$ jest równoważny równaniu

$G^{\prime }(x)h=0,$

które w postaci macierzowej przybiera formę

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial G_{k}(x)}{\partial x_{i}}}h_{i}=0,\;k=1,2,\ldots ,m.$

Do badania określoności tej macierzy można stosować kryterium Sylvestera.

W praktyce, gdy $X=\mathbb {R} ^{2},Y=\mathbb {R}$ wprowadzamy funkcję pomocniczą

$F(x,y)=f(x,y)+\lambda G(x,y)$

i szukamy dla niej warunków koniecznych na istnienie jej ekstremów, jako funkcji dwóch zmiennych, tj. rozwiązaniu układu równań $F_{x}^{\prime }=0,F_{y}^{\prime }=0,$ a następnie wyrugowaniu z tego układu równań czynnika nieoznaczonego $\lambda .$
Do otrzymanego warunku dołączamy warunek $G(x,y)=0.$ Równoważnie, wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi można wyznaczyć z układu równań

$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {D(f,G)}{D(x,y)}}=0\\G(x,y)=0\end{array}}\right.,$

gdzie ${\tfrac {D(f,G)}{D(x,y)}}$ oznacza jakobian funkcji $f$ i $G.$

Przykład – ekstrema funkcji na okręgu

Wykresem funkcji $f(x,y)=x+y$ jest płaszczyzna. W przestrzeni trójwymiarowej równanie $x^{2}+y^{2}=1$ powierzchnię boczną walca (którego podstawą jest leżący na płaszczyźnie $xy$ okrąg jednostkowy). Badanie istnienia ekstremów warunkowych sprowadza się w tym wypadku do analizy punktów ekstremalnych części wspólnej walca i płaszczyzny.

Ilustracją zastosowania metody mnożników Lagrange’a jest problem wyznaczenia ekstremów funkcji:

$f(x,y)=x+y$

na okręgu jednostkowym, tj. przy warunku

$x^{2}+y^{2}=1.$

Zatem funkcja $G$ jest postaci

$G(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,$

a funkcja $F$ wyraża się wzorem:

${\begin{aligned}F(x,y,\lambda )&=f(x,y)+\lambda G(x,y)\\&=x+y+\lambda (x^{2}+y^{2}-1).\end{aligned}}$

Wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi są rozwiązaniami układu równań

$\left\{{\begin{array}{ll}F_{x}^{\prime }(x,y)=1+2\lambda x&=0\\F_{y}^{\prime }(x,y)=1+2\lambda y&=0\\G(x,y)=x^{2}+y^{2}-1&=0\end{array}}\right..$

Przy założeniu $x\neq 0\,\,y\neq 0$ z pierwszego równania uzyskujemy $\lambda =-{\tfrac {1}{2x}},$ analogicznie z drugiego $\lambda =-{\tfrac {1}{2y}}$ więc $x=y$ oraz dostaje się warunek $2x^{2}=1,$ skąd wynika $x=\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}.$ Funkcja $f$ może zatem przyjmować ekstrema tylko w punktach $\left(-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right),\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right).$ Ponieważ okrąg jest zbiorem domkniętym i ograniczonym (czyli zwartym), więc na mocy twierdzenia Weierstrassa, funkcja $f$ osiąga w tych punktach ekstrema (warunkowe):

• minimum warunkowe: $f\left(-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)=-{\sqrt {2}},$
• maksimum warunkowe: $f\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\sqrt {2}}.$

Warto zauważyć, że funkcja $f,$ określona na całej płaszczyźnie (bez dodatkowego warunku) nie ma ekstremów.

Przykład – problem maksymalnej entropii

Problem polega na znalezieniu dyskretnego rozkładu zmiennej losowej maksymalizującego entropię. Funkcja entropii prawdopodobieństw $p_{1},\ldots ,p_{n}$ wyraża się wzorem

$f(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})=-\sum _{k=1}^{n}p_{k}\log _{2}p_{k}.$

Oczywiście, suma prawdopodobieństw $p_{1},\ldots ,p_{n}$ jest równa jeden, więc warunek na $G$ przyjmuje postać

$G(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})=\sum _{k=1}^{n}p_{k}-1.$

Stosując metodę mnożników Lagrange’a, dostajemy układ $n$ równań:

${\frac {\partial }{\partial p_{k}}}(f(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})+\lambda (G(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})))=0,\;\;1\leqslant k\leqslant n,$

który sprowadza się do układu

${\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\left(-\sum _{k=1}^{n}p_{k}\log _{2}p_{k}+\lambda (\sum _{k=1}^{n}p_{k}-1)\right)=0,\;\;1\leqslant k\leqslant n.$

Różniczkując każde wyrażenie względem $p_{k},$ powyższy układ sprowadza się do poniższego:

$-\left({\frac {1}{\ln 2}}+\log _{2}p_{k}\right)+\lambda =0,\;\;1\leqslant k\leqslant n.$

Z powyższego wynika, że wszystkie prawdopodobieństwa są równe, tj. $p_{1}=\ldots =p_{n},$ a ponieważ ich suma jest równa jeden, wynika stąd, że dla dowolnego $1\leqslant k\leqslant n{:}$

$p_{k}={\frac {1}{n}}.$

Zastosowania

Metodę optymalizacji przy pomocy mnożników Lagrange’a powszechnie stosuje się w teorii ekonomii, na przykład w celu rozwiązania problemu wyboru konsumenta, w którym konsument maksymalizuje swoją funkcję użyteczności, tak aby nie przekroczyć ograniczenia budżetowego.

Bibliografia

• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce
• Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976. ISBN 978-83-01-09939-8. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Lagrange Multiplier (ang.) MathWorld