Funkcja regularna

Niech funkcja $f\colon {\mathcal {U}}\to {}\mathbb {R}$, gdzie ${\mathcal {U}}\subseteq {}\mathbb {R} ^{n}$. Funkcja $f$ jest regularna rzędu $k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ (jest klasy $C^{k}({\mathcal {U}})$), co oznaczamy $f\in C^{k}({\mathcal {U}})$, jeśli wszystkie pochodne cząstkowe funkcji $f$, do rzędu $k$ włącznie, są ciągłe i istnieją w całej dziedzinie ${\mathcal {U}}$.

Regularność $f\in C^{0}$ oznacza, że funkcja $f$ jest ciągła. Funkcję $f\in C^{\infty }$ nazywa się funkcją gładką, jest ona dowolnie wysokiej regularności, tj. istnieją pochodne wszystkich rzędów i są ciągłe.

Przykłady

1. Funcja moduł $f(x)\!=\!|x|$ jest ciągła w każdym punkcie, pochodna $f'(0)$ nie istnieje, więc $f\in C^{0}$, ale $f\notin C^{1}$.
2. Funcja $g(x)=e^{5x}$ jest różniczkowalna dowolnie wiele razy, zatem $g\in C^{\infty }$.
3. Funkcja:

$f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {(1/x)}&{\mbox{dla }}x\neq 0,\\0&{\mbox{dla }}x=0\end{cases}}$

ma pochodną określoną w całej dziedzinie, ale pochodna ta nie jest ciągła w punkcie x=0, nie jest więc klasy $C^{1}(\mathbb {R} )$.