Paradoks zbioru wszystkich zbiorów

Paradoks zbioru wszystkich zbiorów – paradoks tzw. „naiwnej” teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora. Przykład antynomii logicznej (syntaktycznej), tzn. antynomii wynikającej z nie dość precyzyjnego używania pojęć teorii.

Paradoks jest efektem następującego rozumowania:

Przypuśćmy, że $\mathbf {Z}$ jest zbiorem wszystkich zbiorów i niech $\mathrm {P} (\mathbf {Z} )$ oznacza zbiór potęgowy zbioru $\mathbf {Z} .$

• Z jednej strony, zbiór $\mathbf {Z}$ jako zbiór wszystkich zbiorów zawiera w sobie także $\mathrm {P} (\mathbf {Z} ),$ tzn. $\mathrm {P} (\mathbf {Z} )\subset \mathbf {Z} .$
  Stąd moc zbioru $\mathrm {P} (\mathbf {Z} )$ jest nie większa od mocy zbioru $\mathbf {Z} :|\mathrm {P} (\mathbf {Z} )|\leqslant |\mathbf {Z} |.$
• Z drugiej strony, na mocy twierdzenia Cantora zbiór $\mathrm {P} (\mathbf {Z} )$ ma moc istotnie większą od mocy zbioru $\mathbf {Z} :|\mathrm {P} (\mathbf {Z} )|>|\mathbf {Z} |.$

Źródłem tego paradoksu była praktyka naiwnej teorii mnogości polegająca na definiowaniu zbiorów z użyciem formuł logicznych bez zatroszczenia się o istnienie „dziedziny” tej formuły, czyli zbioru, z którego wybieramy elementy spełniające tę formułę. Np. definicja Z={X:1=1} pozornie określa zbiór wszystkiego, w rzeczywistości określa ona klasę właściwą, a nie zbiór.

Podobnie intuicyjna i prawdziwa dla wszystkich zbiorów formuła $x\notin x$ (wynikająca zresztą z aksjomatu regularności) pozwala w naiwnej teorii mnogości zdefiniować zbiór $\{x\colon x\notin x\}.$ Jednak stwierdzenie, czy jakiś obiekt należy do tego zbioru, prowadzi wprost do paradoksu Russella.

O ile w naiwnej teorii mnogości powyższe rozumowanie prowadzi do niewytłumaczalnej sprzeczności (stąd określenie paradoks), o tyle w aksjomatycznej teorii mnogości jest ścisłym dowodem na nieistnienie zbioru wszystkich zbiorów.

Zobacz też

• paradoks Russella

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, s. 67–68, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Witold Marciszewski: Logika formalna. Zarys encyklopedyczny. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 175. ISBN 83-01-04998-7.

Linki zewnętrzne

• How Big are All Infinities Combined? (Cantor's Paradox) (ang.), kanał PBS Infinite Series na YouTube, 23 marca 2018 [dostęp 2024-08-22].