System LTI

System LTI, czyli system liniowy niezmienniczy w czasie – system, który jest liniowy ze względu na wszystkie swoje argumenty (czyli elementy) w dowolnej chwili czasu.

Wstęp

Interpretacja pojęcia sygnału

Sygnał to w najprostszym rozumieniu zapis pewnej wielkości fizycznej. Jest on zależny od czasu, ponieważ z czasem badane zjawisko może ulegać różnym, badanym zmianom. Można wyobrażać sobie sygnał przykładowo jako pewnego rodzaju funkcję postaci $x(t).$ Jednak w analizie danych nie dysponuje się wartościami takiej funkcji dla każdego i dowolnego czasu $t.$ Fizycznie można bowiem zmierzyć pewną wielkość $x$ tylko dla skończonej liczby czasów – przykładowo dla $t=2$ s zmierzono $x=0{,}001(x(2)=0{,}001),$ dla $t=10{,}8{\text{ s}}$ otrzymano $x=-1991(x(10{,}8)=-1991)$ itd. Nie można jednak zmierzyć wartości $x$ dla każdej wartości $t,$ gdyż wartości $t$ jest nieskończenie wiele.

Dlatego też zamiast funkcji określającej sygnał w sposób ciągły $(x(t)),$ korzysta się z wartości dyskretnych: $x[n],$ gdzie $n=0,1,2,3,\dots$ Ich liczba w danym doświadczeniu jest skończona, przykładowo dla 3 s zapisu pewnego dźwięku, który w przyrodzie jest ciągły (gdyż występuje w dowolnej chwili czasu) można posiadać różne wartości $x$ natężenia dźwięku dla $n$ = 0 sekundy, $n$ = 1 sekundy, $n$ = 2 sekundy i $n$ = 3 sekundy. Zapisuje się to jako $x[n]=[9,0,-9,-18],$ skąd $x[0]=9,$ $x[1]=0,$ $x[2]=-9$ i $x[3]=-18.$

Możliwe jest zatem wykonywanie stosownych, interesujących z perspektywy celu badań, operacji, jak dodawanie tych wartości itp.

Zapis $x[n]$ (lub $x$ ) rozumie się po prostu jako sygnał.

Interpretacja pojęcia systemu

System w tym wypadku należy rozumieć jako dowolną fizyczną całość, która fizycznie modyfikuje sygnał w pewien sposób. Przykładem takiego systemu może być filtr. Istotę systemu można przedstawić schematycznie:

x[n]{\xrightarrow[{\text{system}}]{}}y[n],

gdzie $y$ to nowe, zmienione systemem, wartości pewnego zjawiska. W ogólnym wypadku, $x[n]$ i $y[n]$ to wektory, a system jest operatorem (czyli pewną macierzą).

Formalnie stosuje się jednak zapis z użyciem symboli:

x[n]{\xrightarrow[{T\{\}}]{}}y[n]=T\{x[n]\},

gdzie $T$ oznacza system.

Pojęcia opisujące system

Liniowość systemu

Niech dany będzie sygnał postaci $ax_{1}+bx_{2},$ gdzie $a$ i $b$ to pewne stałe wielkości (liczby, których może być więcej), wynikające przykładowo z charakteru przeprowadzanego doświadczenia, a $x_{1}$ i $x_{2}$ to pewne sygnały (których również może być więcej). Sygnał taki jest zatem sumą dwóch sygnałów o odpowiednich liczbowych współczynnikach.

System, zapisany jak powyżej, uznaje się za liniowy, jeżeli zmodyfikuje on sygnał typu $ax_{1}+bx_{2}$ w następujący sposób:

T\{ax_{1}+bx_{2}\}=aT\{x_{1}\}+bT\{x_{2}\},

lub analogicznie. Powyższe przekształcenie stanowi definicję liniowości.

Sekwencja jednostkowa

Na potrzeby dalszej analizy, zdefiniowano sekwencję jednostkową o symbolu δ[n], będącą sygnałem określonym w następujący sposób:

\delta [n]={\begin{cases}1,{\text{ dla }}n=0\\0,{\text{ dla }}n\neq 0\end{cases}}.

Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza pierwszym. Innymi słowy δ[n] = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...].

Z powyższej definicji, sygnał δ[n – k] ma postać

\delta [n-k]={\begin{cases}1,{\text{ dla }}n-k=0{\text{, czyli }}n=k\\0,{\text{ dla }}n-k\neq 0{\text{, czyli }}n\neq k\end{cases}}.

Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza $k$ -tym ( $k$ jest liczbą całkowitą).

Można zauważyć, że za pomocą sekwencji jednostkowej można zapisać dowolny sygnał $x$ jako pewną sumę sekwencji jednostkowych:

x[n]=\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k].

gdzie $N$ – liczba elementów sygnału. Przykładowo:

x[n]=[9,0,-9,-18],

x[n]=9\cdot [1,0,0,0]+0\cdot [0,1,0,0]+(-9)\cdot [0,0,1,0]+(-18)\cdot [0,0,0,1],

x[n]=x[0]\cdot \delta [n-0]+x[1]\cdot \delta [n-1]+x[2]\cdot \delta [n-2]+x[3]\cdot \delta [n-3].

Powyższe przekształcenia wynikają z własności wektorów.

System LTI

Sygnał $x$ opisany za pomocą sekwencji jednostkowej można zmodyfikować systemem, otrzymując inny sygnał $y,$ będący odpowiedzią systemu:

y[n]=T{\Big \{}x[n]{\Big \}}=T\left\{\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k]\right\}.

Jeżeli system jest liniowy, to

T\left\{\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k]\right\}=\sum _{k=0}^{N}x[k]T{\Big \{}\delta [n-k]{\Big \}}.

Jeżeli system jest również niezmienniczy w czasie, czyli jego parametry są stale takie same, to odpowiedź systemu na sekwencję jednostkową również będzie wciąż taka sama, jako że sekwencja jednostkowa z definicji nie ulega zmianom. Fakt ten uwzględnia się w zapisie

T\{\delta [n-k]\}=h[n-k].

Stąd ostatecznie

y[n]=\sum _{k=0}^{N}x[k]h[n-k].

System liniowy i niezmienniczy w czasie nazwano systemem LTI (ang. linear time-invariant). Znając odpowiedź pewnego systemu, będącego systemem LTI, na sekwencję jednostkową (pik), można zatem obliczyć jego odpowiedź na dowolny inny, znany sygnał $x!$

Jednocześnie, powyższy zapis jest definicją splotu:

y[n]=x[n]\star h[n].

Zobacz też