Test Kruskala-Wallisa

Test Kruskala-Wallisa – rangowy test statystyczny porównujący rozkłady zmiennej w $k>2$ populacjach. Test nie zakłada normalności rozkładów. Niekiedy uważany jest za nieparametryczną alternatywę dla jednoczynnikowej analizy wariancji pomiędzy grupami.

Hipotezą zerową $H_{0}$ jest równość dystrybuant rozkładów w porównywanych populacjach.

Danymi wejściowymi jest $n$ -elementowa próba statystyczna podzielona na $k$ rozłącznych grup o licznościach $n_{1},n_{2},\dots n_{k}.$ Zakłada się, że każda grupa jest losowana z innej populacji.

Wykonywane jest rangowanie całej próby (połączone wszystkie grupy). Niech $R_{ij}$ oznacza rangę w całej próbie $j$-tego elementu z $i$-tej grupy.

Statystyka testowa Kruskala-Wallisa:

$T={\frac {12}{n(n+1)}}\sum \limits _{i=1}^{k}n_{i}\left({\overline {R}}_{i}-{\frac {n+1}{2}}\right)^{2},$

gdzie:

${\overline {R}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}R_{ij}.$

Statystyka ta jest miarą odstępstwa średnich próbkowych rang od wartości średniej wszystkich rang, równej $(n+1)/2.$

Dokładne obliczenie rozkładu tej statystyki wymagałoby sprawdzenia wszystkich układów rang. W praktyce, do obliczania p-wartości korzysta się z twierdzenia, mówiącego, że przy (jednocześnie):

• spełnionej hipotezie H₀
• ciągłym rozkładzie cechy w porównywanych populacjach
• minimalnych licznościach grup $n_{1},n_{2},n_{3}>5$ dla $k=3$ lub $n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}>4$ dla $k>3$

zachodzi:

$P\{T\leqslant t\}\to P\{\chi _{k-1}^{2}\leqslant t\}$ dla $t\to \infty ,$

gdzie $\chi _{k-1}^{2}$ to zmienna o rozkładzie chi-kwadrat z $k-1$ stopniami swobody.

Zobacz też

• test Wilcoxona dla par obserwacji

Bibliografia

• WilliamW. Kruskal WilliamW., Wilson AllenW.A. Wallis Wilson AllenW.A., Use of ranks in one-criterion variance analysis, „Journal of the American Statistical Association”, 47 (260), grudzień 1952, s. 583–621 [dostęp 2020-04-08] .
• JacekJ. Koronacki JacekJ., JanJ. Mielniczuk JanJ., Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, Warszawa: WNT, 2001, s. 476–478, ISBN 83-204-2684-7 .