Widmo (matematyka)

Widmo (elementu algebry) – dla danego elementu $a$ (zwykle zespolonej) algebry z jedynką $A,$ zbiór

$\sigma _{A}(a)=\{\lambda \in \mathbb {C} :\lambda e_{A}-a\notin {\mbox{GL}}(A)\},$

przy czym $\mathrm {GL} (A)$ oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze $A$ oraz $e_{A}$ jedynkę w tej algebrze. Widmo definiuje się także dla elementów algebr, które nie mają jedynki, traktując dany element jako element algebry po dołączeniu jedynki.

Widmo elementu a w pewnej algebrze A oznacza się również symbolem $\sigma (a),$ jeżeli z góry wiadomo o jakiej algebrze jest mowa. Często, pod pojęciem widma rozumie się widmo operatora ograniczonego na pewnej przestrzeni Banacha $E,$ traktowanego jako element algebry Banacha wszystkich operatorów ograniczonych na $E.$ Definicja widma ma również sens dla nieograniczonych operatorów domykalnych (określonych, na przykład, na gęstych podprzestrzeniach danej przestrzeni Banacha).

Własności

• Widmo każdego elementu dowolnej zespolonej algebry Banacha jest niepustym i zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej.
• Algebra Banacha jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element ma skończone widmo.
• Zachodzi następujący wzór Gelfanda (poniżej, $\nu _{A}(a)$ oznacza promień spektralny elementu $a$ danej algebry Banacha $A$):

$\nu _{A}(a)=\max\{|\lambda |\colon \lambda \in \sigma _{A}(a)\}.$

• Dla każdego zwartego podzbioru płaszczyzny zespolonej istnieje operator ograniczony na przestrzeni Hilberta, którego jest on widmem (ogólniej, taki zbiór istnieje dla każdej przestrzeni Banacha, która zawiera nieskończenie wymiarową komplementarną podprzestrzeń z bezwarunkową bazą Schaudera). Istnieją przestrzenie Banacha dla których podobne stwierdzenie jest jednak fałszywe, na przykład, zespolone przestrzenie dziedzicznie nierozkładalne (tzw. przestrzeni HI), na przykład przestrzeń Gowersa-Maurey'a.

Zobacz też

• degeneracja widma
• twierdzenie spektralne