Mostrar código-fonte de Função trigonométrica

{{mais-notas|data=Janeiro de 2011}}
{{Trigonometria}}
Em [[matemática]], as '''funções trigonométricas''' são [[função (matemática)|funções]] [[ângulo|angulares]], importantes no estudo dos [[triângulos]] e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como [[razão|razões]] entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no [[círculo unitário]]. Na [[análise matemática]], estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de [[Série (matemática)|séries infinitas]] ou como soluções para certas [[equação diferencial|equações diferenciais]]. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos [[números complexos|complexos]].

Atualmente, existem seis funções trigonométricas básicas em uso, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão conforme tabela abaixo. As inversas destas funções são chamadas de '''função de arco''' ou [[funções trigonométricas inversas]]. A nomenclatura é feita através do prefixo "arco-", ou seja, arco seno, arco cosseno, etc. Matematicamente, são designadas por "arc''função''", i.e., ''arcsen'', ''arccos'', etc.; a notação usando-se −1 como na notação da [[função inversa]] não é recomendada, pois causa confusão com o [[inverso multiplicativo]], como em sen<sup>-1</sup> e cos<sup>-1</sup>.<ref name="sean.raleigh">[[Sean Raleigh]], ''Notation Guide for Precalculus and Calculus Students'' [http://faculty.sdmiramar.edu/sraleigh/Notation%20Guide.pdf <small><nowiki>[em linha]</nowiki></small>]</ref> O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo:
<math display="block">\operatorname{arcsen}(1) = \frac{\pi}{2}</math>
pois
<math display="block">\operatorname{sen}\,\frac{\pi}{2} = 1.</math> 

== História ==
{{Artigo principal|[[História das funções trigonométricas]]}}
{| class=wikitable align="right" style="margin-left:1em"
! style="text-align:left" | '''Função'''
! style="text-align:left" | '''Abreviatura'''
! style="text-align:left" | '''[[Identidade trigonométrica]]'''
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Seno'''
| sen<br />(ou sin)
| <math>\sen \theta \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\csc \theta}</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Cosseno'''
| cos
| <math>\cos \theta \equiv \sen \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\sec \theta}</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Tangente'''
| tan<br />(ou tg)
| <math>\tan \theta \equiv \frac{\sen \theta}{\cos \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\cot \theta}</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Cossecante'''
| csc<br />(ou cosec)
|  <math>\csc \theta \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\sen \theta}</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Secante'''
| sec
| <math>\sec \theta \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\cos \theta}</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Cotangente'''
| cot<br />(ou ctg ou ctn)
| <math>\cot \theta \equiv \frac{\cos \theta}{\sen \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\tan \theta}</math>
|}

A noção de que existe alguma correspondência padrão entre os tamanhos dos lados de um triângulo e os ângulos do triângulo surge assim que se reconhece que [[Semelhança (geometria)|triângulos semelhantes]] têm as mesmas razões entre seus lados. Isto é, para qualquer triângulo semelhante, a razão entre a [[hipotenusa]] (por exemplo) e um dos outros lados permanece a mesma. Se a hipotenusa for duas vezes maior, os lados serão duas vezes maiores. As funções trigonométricas expressam justamente tais razões.
As funções trigonométricas foram estudadas por [[Hiparco]] de [[Niceia]] (180-125 a.C.), [[Ptolomeu]] do [[Egito]] (90-165 d.C.), [[Aryabhata]] (476-550), [[Varahamihira]], [[Brahmagupta]], {{Unicode|[[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi|Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī]]}}, [[Abū al-Wafā' al-Būzjānī]], [[Omar Khayyām|Omar Khayyam]], [[Bhāskara II]], [[Nasir al-Din al-Tusi]], [[Ghiyath al-Kashi]] (século XIV), [[Ulugh Beg]] (século XIV), [[Regiomontanus]] (1464), [[Georg Joachim Rheticus|Rheticus]], e o estudante de Rheticus, [[Valentin Otho]].{{Carece de fontes|data=Junho de 2008}}

[[Madhava de Sangamagramma]] (c. 1400) fez progressos iniciais na [[análise matemática|análise]] de funções trigonométricas em termos de [[série (matemática)|séries infinitas]].<ref name=mact-biog>
{{Citar web
| publicado = School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland
| autor = J J O'Connor and E F Robertson
| url = http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html
| título = Madhava of Sangamagramma
| acessodata = 2007-09-08
| arquivourl = https://web.archive.org/web/20060514012903/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html
| arquivodata = 2006-05-14
| urlmorta = yes
}}
</ref> ''Introductio in analysin infinitorum'' (1748), de [[Leonhard Euler]], foi em boa parte responsável por estabelecer o tratamento analítico das funções trigonométricas na Europa, também as definindo como séries infinitas e apresentando a "[[fórmula de Euler]]", bem como as abreviações quase modernas ''sen., cos., tang., cot., sec.,'' e ''cosec.''<ref name=boyer>Ver Boyer (1991).</ref>

Algumas funções eram historicamente comuns, mas agora são raramente usadas, como a [[corda (geometria)|corda]] (crd(''θ'') = 2&nbsp;sen(''θ''/2)), o [[verseno]] (versen(''θ'') = 1&nbsp;−&nbsp;cos(''θ'') = 2&nbsp;sen²(''θ''/2)) (que surgiu nas mais antigas tabelas<ref name=boyer/>), o [[haverseno]] (haversen(''θ'') = versen(''θ'')&nbsp;/&nbsp;2 = sen²(''θ''/2)), a [[exsecante]] (exsec(''θ'') = sec(''θ'')&nbsp;−&nbsp;1) e a [[excossecante]] (excsc(''θ'') = exsec(π/2&nbsp;−&nbsp;''θ'') = csc(''θ'')&nbsp;−&nbsp;1). Muitas outras relações entre essas funções estão listadas no artigo sobre [[identidades trigonométricas]].

[[Etimologia|Etimologicamente]], a palavra ''seno'' deriva da palavra [[sânscrito|sânscrita]] para metade da corda, ''jya-ardha'', abreviada para ''jiva''. Esta foi [[transliteração|transliterada]] para o [[língua árabe|árabe]] como ''jiba'', escrita como ''jb'', já que as [[Vogal|vogais]] não são escritas em árabe. A seguir, a transliteração foi mal traduzida, no [[século XII]], para o [[latim]], como ''[[wikt:sinus|sinus]]'', com a impressão errônea de que ''jb'' referia-se à palavra ''jaib'', que significa "seio" em árabe, tal como ''sinus'' em latim.<ref>Ver Maor (1998), capítulo 3, sobre a etimologia.</ref> Finalmente, o uso em língua portuguesa converteu a palavra latina ''sinus'' para ''seno''.<ref>{{Citar web|url=http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/|título=Clark University}}</ref> A palavra ''tangente'' vem do latim ''tangens'', que significa ''tocando'', já que a linha ''toca'' o círculo unitário; já ''secante'' origina-se do latim ''secans'' — "cortando" — já que a linha ''corta'' o círculo.

== Definição do triângulo retângulo ==
A fim de definir as funções trigonométricas de um [[ângulo|ângulo agudo]] não nulo <math>\alpha,</math> considera-se um [[triângulo retângulo]] que possui um ângulo igual a <math>\alpha.</math> As funções são definidas como:
[[Imagem:Webysther 20160330 - Trigonometria no Triângulo Retângulo.svg|300px|tangente e tangente400px|direita|Triângulo retângulo indicando a hipotenusa e os catetos.]]

<math display="block">\begin{array}{rclcl}
\sen \alpha &=& \frac{\hbox{cateto oposto}}{\hbox{hipotenusa}}&=&\frac{a}{h}\\ ~\\
\cos \alpha &=& \frac{\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{hipotenusa}}&=&\frac{b}{h}\\ ~\\
\tan \alpha &=& \frac{\hbox{cateto oposto}}{\hbox{cateto adjacente}}&=&\frac{a}{b}\\ ~\\
\cot \alpha &=& \frac{\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{cateto oposto}}&=&\frac{b}{a}\\ ~\\
\sec \alpha &=& \frac{\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto adjacente}}&=&\frac{h}{b}\\ ~\\
\csc \alpha &=& \frac{\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto oposto}}&=&\frac{h}{a}
\end{array}</math>

Deve-se observar que as funções ficam assim bem definidas, ou seja, a relação entre os lados do triângulo não depende da escolha particular do triângulo, mas apenas dos ângulos do triângulo. Isto é uma consequência do [[Teorema de Tales (interseção)|teorema de Tales]].

== Definição no ciclo trigonométrico ==
[[Imagem:Webysther 20160305 - Ciclo trigonométrico.svg|direita|300px|Ciclo trigonométrico]]

A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo <math>\theta</math> real qualquer através do [[ciclo trigonométrico]]. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto <math>(x,y)</math> pertencente ao ciclo está a uma distância ''1'' da origem, o [[teorema de Pitágoras]] afirma que:
<math display="block">x^2 + y^2=1\quad (1)</math>
E, ainda, para cada ângulo <math>\theta</math> existe um único ponto ''P'' pertencente ao círculo, tal que o segmento <math>\overline{OP}</math> faz um ângulo <math>\theta</math> com o eixo ''x''.

Neste caso, o seno é definido como a projeção do segmento <math>\overline{OP}</math> sobre o eixo ''y''. O cosseno é definido como a projeção do segmento <math>\overline{OP}</math> com o eixo ''x''. Isto é:
<math display="block">\sen\theta=y\quad \cos\theta=x\quad (2)</math>

As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir:
<math display="block">\begin{array}{rclrcl}
\tan \theta  &=& \frac{\sen \theta}{\cos \theta}\quad &
\sec \theta  &=& \frac{1}{\cos \theta}\\~\\
\csc\, \theta  &=& \frac{1}{\sen \theta}\quad &
\cot\, \theta &=& \frac{\cos \theta}{\sen \theta}\end{array}</math>

Deve-se observar que esta definição, quando restrita aos ângulos [[agudos]], concorda com a definição no triângulo retângulo.

=== Relação fundamental ===
{{Artigo principal|Identidade trigonométrica fundamental}}
Observa-se diretamente de ''(1)'' e ''(2)'' a '''relação fundamental''' entre o cosseno e o seno de um ângulo <math>\theta:</math> 
<math display="block">\sen^2\theta+\cos^2\theta =1</math>

===<ref name=":0">{{citar livro|título=Análise de Fourier|ultimo=AZEVEDO|primeiro=Fabio Souto de|editora=UFRGS|ano=2018|local=|páginas=Capítulo 2|acessodata=20/06/2019}}</ref>Demais relações ===
Considerando <math>x,y \in \mathbb{R}</math>,  as seguintes afirmações são válidas:

==== Soma de arcos ====
<math>\sen(x\pm y)=\sen(x)\cos(y)\pm \sen(y)\cos(x)</math>

<math>\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sen(y)\sen(x)</math>

Das relações acima, fazendo <math>y = x</math>, obtém-se:

<math>\cos(2x) = \cos^2(x) - \sen^2(x)</math>

<math>\sen(2x) = 2\sen(x) \cos(x)</math>

Outras relações:

<math>\tan(x+y)=\frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}\quad \ \ \ \ x,y \neq\pi/2+K\pi,\ K\in \Zeta</math>

==== Transformação soma-produto / Fórmulas de Werner / Prostaférese ====

# <math>\cos(a)+\cos(b)=2\cos\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\tfrac{a-b}{2}\right)</math>
# <math>\cos(a)-\cos(b)=-2 \sen\left(\tfrac{a+b}{2}\right) \sen\left(\tfrac{a-b}{2}\right)</math>
# <math>\sen(a)+\sen(b)=2\sen\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\tfrac{a-b}{2}\right)</math>
# <math>\sen(a)-\sen(b)=2\cos\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\sen\left(\tfrac{a-b}{2}\right)</math>

==== Transformação produto-soma ====

# <math>\cos(a)\cos(b)=\tfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]</math>
# <math>\cos(a)\sen(b)=\tfrac{1}{2}[\sen(a+b)-\sen(a-b)]</math>
# <math>\sen(a)\cos(b)=\tfrac{1}{2}[\sen(a+b) + \sen(a-b)]</math>
# <math>\sen(a)\sen(b)=\tfrac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]</math>

=== Definições geométricas ===
Alternativamente, todas as funções trigonométricas podem ser definidas geometricamente conforme figura ao lado. Observe que o triângulo ''OAE'' é retângulo, o cateto ''AO'' é unitário e o cateto ''AE'' é oposto ao ângulo <math>\theta</math> e, portanto, sendo ''OE'' a hipotenusa deste triângulo, temos:
<math display="block">
\tan\theta=\frac{~~\overline{AE}~~}{\overline{AO}}=\overline{AE},\quad
\sec\theta=\frac{~~\overline{OE}~~}{\overline{AO}}=\overline{OE}</math>

O triângulo ''AOF'' também é retângulo, sendo o cateto ''AO'' unitário, a hipotenusa ''OF'' e o ângulo ''AFO'' igual a <math>\theta,</math> portanto:
<math display="block">
\cot\theta=\frac{~~\overline{AF}~~}{\overline{AO}}=\overline{AF},\quad
\csc\theta=\frac{~~\overline{OF}~~}{\overline{AO}}=\overline{OF}</math>

== Função geral ==
A função geral é uma representação das funções trigonométricas criada a fim de simplificar e tornar mais intuitivas suas propriedades e relações. Ela é definida do seguinte modo: <math>V_0(\theta) = \cos(\theta)</math> e <math>D^n_\theta V_x(\theta)=V_{n+x}(\theta)</math>, em que <math>D^n_x</math> é a notação de Euler para diferenciação. Exemplificam-se as abaixo as representações tradicionais na forma generalizada :

# <math>V_{-2}(x)=-\cos(x)</math>
# <math>V_{-1}(x)=\sen(x)</math>
# <math>V_0(x)=\cos(x)</math>
# <math>V_{0,5}(x)=\cos(x-\pi/4)</math>
# <math>V_1(x)=-\sen(x)</math>

Detalhes de notação: <math>V_a=V_a(0)</math>

==== Propriedades ====

# Base par: <math>V_p(\theta)=V_p(-\theta)</math>
# Relação fundamental: se <math>a-b</math> for um número ímpar, então <math>V_a^2(x)+V_b^2(x)=1</math>
# Base ímpar:<math>V_i(\theta)=-V_i(-\theta)</math>
# Mudança de Base: <math>V_a(\theta)=V_b\left(\theta +\tfrac{a-b}{2}\pi\right)</math>
# Periodicidade da base: <math>V_a(\theta)=(-1)^{k}V_{a+2k}(\theta), k\in \mathbb{Z}</math>
# Periodicidade do arco: <math>V_a(\theta)=V_a(\theta + 2k\pi), k\in \mathbb{Z}  </math>
#Extrusão de base: <math>V_a (\theta) = V_0 \left(\theta+a\frac{\pi}{2}\right)</math>
#"Passar arco para o outro lado": <math>V_\alpha (x+a) = V_\beta (b) \implies V_\alpha (x) = V_\beta(b-\alpha)</math>

==== Transformação soma-produto ====
<math>V_a(x)+V_b(y)=2 V_{\tfrac{a+b}{2}}\left(\tfrac{x+y}{2}\right)V_{\tfrac{a-b}{2}}\left({\tfrac{x-y}{2}}\right)</math>

''Exemplos:''

# Soma de cossenos: <math>\begin{cases} \cos(a)+\cos(b)&=&2\cos\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\ \iff V_0(a)+V_0(b)&=&2V_{\tfrac{0+0}{2}}
\left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{\tfrac{0-0}{2}}\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\\iff  V_0(a)+V_0(b)&=&2V_0
\left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_0\left(\tfrac{a-b}{2}\right) \end{cases}</math>
#Diferença de cossenos: <math>\begin{cases}\cos(a)-\cos(b)&=&-2\sen\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\sen\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\\iff V_0(a)+V_2(b)&=&2V_{\tfrac{0+2}{2}}
\left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{\tfrac{0-2}{2}}\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\\iff V_0(a) + V_2(b) &=&2V_1
\left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{-1}\left(\tfrac{a-b}{2}\right) \iff \\\iff V_0(a) + V_2(b) &=& -2V_{-1}
\left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{-1}\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\end{cases}</math>
# Soma de senos: <math>\begin{cases} \sen(a)+\sen(b)&=&2\sen\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff\\\iff V_{-1}(a)+V_{-1}(b)&=&
2V_{\tfrac{-1-1}{2}}
\left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{\tfrac{-1+1}{2}}\left(\tfrac{a-b}{2}\right) \iff \\\iff V_{-1}(a)+V_{-1}(b)&=& 2V_{-1}
\left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_0\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\end{cases}</math>
#Diferença de senos: <math>\begin{cases} \sen(a)-\sen(b)&=&2\cos\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\sen\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_1(b)&=&
2V_{\tfrac{-1+1}{2}}
\left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{\tfrac{-1-1}{2}}\left(\tfrac{a-b}{2}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_1(b) &=& 2V_0
\left(\tfrac{a+b}{2}\right)V_{-1}\left(\tfrac{a-b}{2}\right) \end{cases}</math>

==== Transformação de produto em soma ====
É também possível transformar produto de gerais em soma de gerais. Isto é feito da seguinte forma:

* Para 2 termos, <math>V_a(x)V_b(y)=\tfrac{1}{2}[V_{a+b}(x+y)+V_{a-b}(x-y)]</math>
* Para 3 termos, <math>V_a(x)V_b(y)V_c(z)=\tfrac{1}{4}[V_{a+b+c}(x+y+z)+V_{a+b-c}(x+y-z)+V_{a-b+c}(x-y+z)+V_{a-b-c}(x-y-z)]</math>
* Para 4 termos, <math>V_a(w)V_b(x)V_c(y)V_d(z) = \frac{1}{8}\left[\begin{array}{c} V_{a+b+c+d}(w+x+y+z) + V_{a+b+c-d}(w+x+y-z)+\\+V_{a+b-c+d}(w+x-y+z)+V_{a+b-c-d}(w+x-y-z)+\\ +V_{a-b+c+d}(w-x+y+z) + V_{a-b+c-d}(w-x+y-z)+\\+V_{a-b-c+d}(w-x-y+z)+V_{a-b-c-d}(w-x-y-z)\end{array}\right]</math>
* Para 5 termos, <math>V_a(v)V_b(w)V_c(x)V_d(y)V_e(z) = \frac{1}{16}\left[\begin{array}{c} V_{a+b+c+d+e}(v+w+x+y+z) + V_{a+b+c+d-e}(v+w+x+y-z)+\\ +V_{a+b+c-d+e}(v+w+x-y+z) + V_{a+b+c-d-e}(v+w+x-y-z)+\\+ V_{a+b-c+d+e}(v+w-x+y+z) + V_{a+b-c+d-e}(v+w-x+y-z)+\\ +V_{a+b-c-d+e}(v+w-x-y+z) + V_{a+b-c-d-e}(v+w-x-y-z)+\\+ V_{a-b+c+d+e}(v-w+x+y+z) + V_{a-b+c+d-e}(v-w+x+y-z)+\\ +V_{a-b+c-d+e}(v-w+x-y+z) + V_{a-b+c-d-e}(v-w+x-y-z)+\\+ V_{a-b-c+d+e}(v-w-x+y+z) + V_{a-b-c+d-e}(v-w-x+y-z)+\\ +V_{a-b-c-d+e}(v-w-x-y+z) + V_{a-b-c-d-e}(v-w-x-y-z) \end{array}\right]</math>

Repare a sequência [[Sistema de numeração binário|binária]] nos sinais '+' e '-'. Para 3 termos, por exemplo, note que os sinais entre 'a', 'b' e 'c' se comportam da seguinte maneira: ++, +-, -+, --. O comportamento binário é observado para qualquer quantidade de termos. Tal formulação é bastante vantajosa para um alto número de termos, encontrados, entre outros, no estudo de [[Máquina elétrica|máquinas elétricas]] (como no cálculo do torque eletromagnético, que demanda 3 termos) - a qual seria de difícil obtenção através dos meios tradicionais. 

Exemplos:

# Produto do seno com o cosseno: <math>
\begin{cases} \sen(a)\cos(b)&=&\tfrac{1}{2}[\sen(a+b)+\sen(a-b)]\iff\\\iff V_{-1}(a)V_0(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-1+0}(a+b)
+V_{-1-0}(a-b)]\iff\\\iff V_{-1}(a)V_0(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-1}(a+b)
+V_{-1}(a-b)] \end{cases}</math>
#Produto de cossenos: <math>\begin{cases} \cos(a)\cos(b)&=&\tfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]\iff\\\iff V_0(a)V_0(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{0+0}(a+b)
+V_{0-0}(a-b)]\iff \\\iff V_0(a)V_0(b) &=&\tfrac{1}{2}[V_0(a+b)
+V_0(a-b)]\end{cases}</math>
#Produto do cosseno com o seno: <math>\begin{cases} \cos(a)\sen(b)&=&\tfrac{1}{2}[\sen(a+b)-\sen(a-b)]\iff\\\iff V_0(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{0-1}(a+b)
+V_{0+1}(a-b)]\iff\\\iff V_0(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-1}(a+b)
+V_1(a-b)]\iff\\\iff V_0(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-1}(a+b)-V_{-1}(a-b)] \end{cases}</math>
#Produto de senos: <math>\begin{cases} \sen(a)\sen(b)&=&\tfrac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\iff\\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-1-1}(a+b)
+V_{-1+1}(a-b)]\iff\\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[V_{-2}(a+b)
+V_0(a-b)]\iff\\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&\tfrac{1}{2}[-V_0(a+b)+V_0(a-b)] \end{cases}</math> <br />

==== Soma de arcos ====
Para uma geral de dado arco, é possível decompô-la em soma de produtos de gerais de outros arcos.

* Em 2 arcos, <math>V_a(x+y)=V_a(x)V_0(y)+V_{a+1}(x)V_{-1}(y) </math>
* Em 3 arcos, <math>V_a(x+y+z)=V_a(x)V_0(y)V_0(z)+V_{a+1}(x)V_0(y)V_{-1}(z)+V_{a+1}(x)V_{-1}(y)V_0(z)+V_{a+2}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z) </math>
* Em 4 arcos, <math>V_a(w+x+y+z)=\left(\begin{array}{c} V_{a}(w) V_{0}(x) V_{0}(y) V_{0}(z)+V_{a+1}(w) V_{0}(x) V_{0}(y) V_{-1}(z)+\\
+V_{a+1}(w) V_{0}(x) V_{-1}(y) V_{0}(z)+V_{a+2}(w) V_{0}(x) V_{-1}(y) V_{-1}(z)+\\
+V_{a+1}(w) V_{-1} (x) V_{0}(y) V_{0}(z)+V_{a+2}(w) V_{-1}(x) V_{0}(y) V_{-1}(z)+\\
+V_{a+2}(w) V_{-1}(x) V_{-1}(y) V_{0}(z)+V_{a+3}(w) V_{-1} (x) V_{-1}(y) V_{-1}(z)\\
\end{array}\right) </math>
* Em 5 arcos, <math>V_a(v+w+x+y+z) = \left(\begin{array}{c} V_{a} (v) V_{0} (w) V_{0} (x) V_{0} (y) V_{0} (z) + V_{a+1} (v) V_{0} (w) V_{0} (x) V_{0} (y) V_{-1} (z)+\\
+V_{a+1} (v) V_{0} (w) V_{0} (x) V_{-1} (y) V_{0} (z) + V_{a+2} (v) V_{0} (w) V_{0} (x) V_{-1} (y) V_{-1} (z)+\\
+V_{a+1} (v) V_{0} (w) V_{-1} (x) V_{0} (y) V_{0} (z) + V_{a+2} (v) V_{0} (w) V_{-1} (x) V_{0} (y) V_{-1} (z)+\\
+V_{a+2} (v) V_{0} (w) V_{-1} (x) V_{-1} (y) V_{0} (z) + V_{a+3} (v) V_{0} (w) V_{-1} (x) V_{-1} (y) V_{-1} (z)+\\
+V_{a+2} (v) V_{-1} (w) V_{0} (x) V_{0} (y) V_{0} (z) + V_{a+2} (v) V_{-1} (w) V_{0} (x) V_{0} (y) V_{-1} (z)+\\
+V_{a+3} (v) V_{-1} (w) V_{0} (x) V_{-1} (y) V_{0} (z) + V_{a+3} (v) V_{-1} (w) V_{0} (x) V_{-1} (y) V_{-1} (z)+\\
+V_{a+3} (v) V_{-1} (w) V_{-1} (x) V_{0} (y) V_{0} (z) + V_{a+3} (v) V_{-1} (w) V_{-1} (x) V_{0} (y) V_{-1} (z)+\\
+V_{a+3} (v) V_{-1} (w) V_{-1} (x) V_{-1} (y) V_{0} (z) + V_{a+4} (v) V_{-1} (w) V_{-1} (x) V_{-1} (y) V_{-1} (z)
\end{array}\right) </math>

Note a sequência binária na base das funções gerais V(y) e V(z): 00, 0(-1), (-1)0, (-1)(-1). O comportamento binário é observado para qualquer 'n'. A base da função geral da esquerda, V(x), altera-se, em cada termo da soma para manter igual a soma das bases iguais à base inicial:

* No caso, para 2 arcos, note que, na base, tem-se:<math>\begin{cases}a+0+0=a\\ (a+1)+0+(-1) = a\\ (a+1)+(-1)+0 = a\\ (a+2)+(-1)+(-1)=a \end{cases}</math>

''Exemplos'':

# Cosseno da soma:<math>
\begin{cases}
\cos(a + b) &=& \cos(a)\cos(b)-\sen(a)\sen(b)\iff\\
\iff V_0(a+b)&=&V_0(a)V_0(b)+V_{0+1}(a)V_{-1}(b)\iff\\
\iff V_0(a+b)&=&V_0(a)V_0(b)+V_1(a)V_{-1}(b)\iff\\
\iff V_0(a+b)&=&V_0(a)V_0(b)-V_{-1}(a)V_{-1}(b)
\end{cases}</math>
#Seno da soma: <math>

\begin{cases}
\sen(a + b) &=& \sen(a)\cos(b)+\cos(a)\sen(b)\iff\\
\iff V_{-1}(a+b)&=&V_{-1}(a)V_0(b)+V_{-1+1}(a)V_{-1}(b)\iff\\
\iff V_{-1}(a+b)&=&V_{-1}(a)V_0(b)+V_0(a)V_{-1}(b)

\end{cases}</math>
# Seno da diferença: <math>\begin{cases}
\sen(a - b) &=& \sen(a)\cos(b)-\cos(a)\sen(b)\iff\\
\iff V_{-1}(a-b)&=&V_{-1}(a)V_0(-b)+V_{-1+1}(a)V_{-1}(-b)\iff\\
\iff V_{-1}(a-b)&=& V_{-1}(a)V_0(b)-V_0(a)V_{-1}(b)
\end{cases}</math>
# Cosseno da diferença: <math>\begin{cases}
\cos(a - b) &=& \cos(a)\cos(b)+\sen(a)\sen(b)\iff\\
\iff V_0(a-b)&=&V_0(a)V_0(-b)+V_{0+1}(a)V_{-1}(-b)\iff\\
\iff V_0(a-b)&=&V_0(a)V_0(-b)+V_1(a)V_{-1}(-b)\iff\\
\iff V_0(a-b)&=&V_0(a)V_0(b)+V_{-1}(a)V_{-1}(b)
\end{cases}</math>

==== Soma de arcos defasados com ângulo comum variável ====
Seja <math>f(x)</math> uma função de natureza exponencial (seja real ou complexa).

''Exemplos:''

* <math>f(x) = \sum_i A_i V_{\alpha_i}(x-\beta_i)</math>
* <math>f(x) = \sum_i A_i e^{j(x+\alpha_i)} + \sum_i B_i e^{j(-x+\beta_i)}</math>
* <math>f(x)</math> é um [[fasor]]


É válida a seguinte identidade:

<math>f(x) = f(0)\cdot V_0(x) + f'(0) \cdot V_{-1}(x)</math>


Como a função foi decomposta em soma ponderada de seno e cosseno com ângulo comum variável em função de x, pode-se juntar os dois arcos da seguinte forma:

<math>AV_0 (x) + BV_{-1}(x) = \sgn(A)\sqrt{A^2+B^2} V_0 \left(x- \tan^{-1}\frac{B}{A}\right)</math>

== Ângulos notáveis ==
[[Imagem:teq.png|direita|300px|Triângulo equilátero]]
Podemos calcular as funções trigonométricas para os ângulos de 30 e 60 graus através de um [[triângulo equilátero]] partido ao meio por sua altura.

<math display="block">\begin{array}{rclcrcl}
\sen 30^o &=& \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2},\quad&
\sen 60^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\~\\
\cos 30^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},&
\cos 60^o &=& \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\\~\\
\tan 30^o &=& \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3},&
\tan 60^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\~\\
\cot 30^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3},&
\cot 60^o &=& \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\~\\
\sec 30^o &=& \frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{3}}{3},&
\sec 60^o &=& \frac{1}{1/2}=2\\~\\
\csc 30^o &=& \frac{1}{1/2}=2,&
\csc 60^o &=& \frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
\end{array}</math>

As funções trigonométricas para o ângulo de 45 graus podem ser calculadas com o auxílio de um triângulo retângulo isósceles de catetos ''1'', cuja hipotenusa vale (pelo teorema de Pitágoras) <math>\sqrt{2}.</math> 

<math display="block">\begin{array}{rclcrcl}
\sen 45^o &=& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad&
\cos 45^o &=& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\~\\
\tan 45^o &=& \frac{1}{1}=1,\quad&
\cot 45^o &=& \frac{1}{1}=1\\~\\
\sec 45^o &=& \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} \quad&
\csc 45^o &=& \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}
\end{array}</math>

== Funções elementares ==
=== Função seno ===
[[Imagem:Funcao trigonometrica seno.PNG|thumb|Gráfico de f(x) = sen x]]

<math display="block">f(x) = \sen x</math>
Associa a cada número real <math>x,</math> o número <math>y = \sen x</math>
* Domínio: Como <math>x</math> pode assumir qualquer valor real: <math>D = \mathbb{R}</math>
* Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o [[conjunto imagem]] é o intervalo entre esses valores. Logo, <math>\operatorname{Im} = [-1, 1]</math>
* Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a <math>2\pi.</math> Esse intervalo é denominado '''[[senoide]]'''. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
* Período: É sempre o comprimento da senoide. No caso da função <math>f(x) = \operatorname{sen}\, x,</math> a senoide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a <math>2\pi,</math> portanto o período é 2<math>\pi.</math> 
* Paridade: Dado que <math>\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x,</math> a  função seno é ímpar.
* Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
** <math>f(x) = \sen x</math>  é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva).
** <math>f(x) = \sen x</math> é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa).

=== Função cosseno ===
[[Imagem:Funcao trigonometrica coseno.PNG|thumb|Gráfico de f(x) = cos x]]

<math display="block">f(x) = \cos x</math>
Associa a cada número real <math>x,</math> o número <math>y = \cos x</math>
* Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: <math>D = R</math>
* Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: <math>\operatorname{Im} = [-1, 1]</math>
* Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a <math>2\pi.</math> Esse intervalo é denominado '''cossenoide'''. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
* Período: É sempre o comprimento da cossenoide. No caso da função f(x) = cos x , a cossenoide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a <math>2\pi,</math> portanto o período é <math>2\pi.</math> 
* Paridade: Dado que <math>\operatorname{cos}(-x)=\operatorname{cos}x,</math> a função cosseno é par.
* Sinal da Função: Como o cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
** <math>f(x) = \cos x</math> é positiva no 1° e 4° quadrante (abscissa positiva).
** <math>f(x) = \cos x</math> é negativa no 2° e 3° quadrante (abscissa negativa).

=== Função tangente ===
[[Imagem:Funcao trigonometrica tangente.PNG|thumb|Gráfico de f(x) = tg x]]

<math display="block">f(x) = \operatorname{tg} x</math>
Associa a cada número real ''x'' o número <math>y =\operatorname{tg} x</math>
* Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de <math>\cos x = 0</math> (porque a [[divisão por zero]] não está definida), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno.
* Conjunto Imagem:  <math>\operatorname{Im} = \mathbb{R}</math>
* Gráfico: Tangentoide.
* Período: o período da função tangente é <math>\pi.</math> 
* Paridade: Dado que <math>\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}x,</math> a função tangente é ímpar.
* Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de um [[círculo unitário]] e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:
<math display="block">f(x) = \operatorname{tg} x</math> é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva).
<math display="block">f(x) = \operatorname{tg} x</math>é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa).

=== Função cotangente ===
<math>f(x)=\operatorname{cot}x</math>

Associa a cada número real x o número <math>y=\operatorname{cot} x</math>
* Domínio: A função da cotangente apresenta uma peculiaridade, similar a função tangente. Ela não existe quando o valor de <math>\operatorname{tg}x=0.</math> Assim, seu domínio fica definido como: <math>\left\{x\in{\mathbb{R}}|x\ne{k}\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}.</math> 
* Conjunto imagem: A imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, logo: <math>\operatorname{Im}=\mathbb{R}.</math> 
* Período: o período da função cotangente é <math>\pi.</math> 
* Paridade: Dado que <math>\operatorname{cot}(-x)=-\operatorname{cot}x,</math> temos que a função cotangente é impar.
* Sinal da função: A função cotangente apresenta os mesmo sinais de uma função tangente de mesmo arco, logo:
<math>f(x)=\operatorname{cot}(x)</math> é positiva no 1° e no 3° quadrante e negativa no 2° e no 4° quadrante.

=== Função secante ===
<math>f(x)=\operatorname{sec}x</math>

Associa a cada número real x o número <math>f(x)=\operatorname{sec}x.</math> 
* Domínio: A função secante apresenta domínio igual ao conjunto dos números reais, retirando os valores para os quais o <math>\operatorname{cos}x=0.</math> Assim, seu domínio fica definido como: <math>\left\{x\in\mathbb{R}|x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}</math>
* Conjunto imagem: a imagem da função secante é dada por <math>\mathbb{R}-\left({-1,1}\right).</math> 
* Período: o período da função secante é <math>2\pi.</math> 
* Paridade: a função secante é uma função par, pois  <math>\operatorname{sec}x=\operatorname{sec}(-x).</math> 
* Sinal da função:a função secante apresenta os mesmos sinais da função cosseno, logo:
<math>f(x)=\operatorname{sec}x</math> é positiva no 1° e no 4° quadrante e negativa no 2° e no 3° quadrante.

=== Função cossecante ===
<math>f(x)=\operatorname{csc}x</math>

Associa a cada número real x o número <math>f(x)=\operatorname{csc}x.</math> 
* Domínio: a função cossecante apresenta domínio igual ao conjunto dos números reais, retirando os valores para os quais o <math>\operatorname{sen}x=0.</math> Logo, seu domínio fica definido como: <math>\left\{x\in\mathbb{R}|x\ne{k}\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}</math>
* Conjunto imagem: a imagem da função cossecante é dada por <math>\mathbb{R}-\left({-1,1}\right).</math> 
* Período: o período da função cossecante é <math>2\pi.</math> 
* Paridade; a função cossecante é ímpar, pois <math>\operatorname{csc}x=-\operatorname{csc}(-x)</math>
* Sinal da função: a função cossecante apresenta os mesmos sinais da função seno, logo:
<math>f(x)=\operatorname{csc}x</math> é positiva no 1° e no 2° quadrante e negativa no 3° e no 4° quadrante.<ref>{{citar livro|nome = Gelson|sobrenome = Iezzi|título = Fundamentos de Matemática elementar 3|ano = 2004|isbn = 9788535704570|subtítulo = Trigonometria}}</ref>

== Definições analíticas ==
[[Imagem:Trigonometric-functions-thick.gif|300px|thumb|Funções trigonométricas: <span style="color:#0A0">Verde</span> - Cosseno, <span style="color:#00A">Azul</span> - Seno, <span style="color:#A00">Vermelho</span> - Tangente,
<span style="color:#AA0">Amarelo</span> - Co-secante,
<span style="color:#A0A">Magenta</span> - Secante,
<span style="color:#0AA">Ciano</span> - Cotangente]]

Pode-se definir as funções ''sen(x)'' e ''cos(x)'' pelas [[séries de Taylor]] a seguir:<ref>[http://www.ucl.ac.uk/Mathematics/geomath/level2/series/ser121.html The Taylor series for sen(x)]</ref><ref>[http://www.understandingcalculus.com/chapters/23/23-1.php More on Taylor Series]</ref>

<math display="block">\operatorname{sen}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}</math>
<math display="block">\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}</math>

Estas séries têm [[raio de convergência]] infinito e portanto definem as funções em todos os reais e também em todos os complexos.

As propriedades usuais destas funções podem ser inferidas diretamente das definições acima.

=== Soma de arcos ===
{{Artigo principal|Identidade trigonométrica}}
Sejam ''x'' e ''y'' quaisquer então:
<math display="block">\operatorname{sen}(x+y)=\operatorname{sen}(x)\cos(y)+\operatorname{sen}(y)\cos(x)</math>

Dem.:
<math>\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(x+y)^{2n+1}</math>

Usando o [[binômio de Newton]]:
<math display="block">\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\sum_{l=0}^{2n+1}{2n+1 \choose l}x^l y^{2n+1-l}</math>

A [[convergência uniforme]] nos permite rearranjar os termos:
<math display="block">\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{l\text{ ímpar}}x^l\sum_{n=(l-1)/2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}{2n+1 \choose l}y^{2n}+\sum_{l\text{ par}}x^l\sum_{n=l/2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}{2n+1 \choose l}y^{2n+1}</math>

<math display="block">\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{l\text{ impar}}x^l\sum_{n=(l-1)/2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{l!(2n+1-l)!}y^{2n+1-l}+\sum_{l\text{ par}}x^l\sum_{n=l/2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{l!(2n+1-l)!}y^{2n+1-l}</math>

Escreva (l=2i+1) no primeiro [[somatório]] e (l=2i) no segundo.
<math display="block">\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{i}^{\infty}x^{(2i+1)}\sum_{n=i}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2i+1)!(2n-2i)!}y^{2n-2i}+\sum_{i=0}^{\infty}x^{2i}\sum_{n=i}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2i)!(2n+1-2i)!}y^{2n-2i}</math>

Substitua <math>n \gets n+i:</math> 
<math display="block">\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{i}^{\infty}x^{(2i+1)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+i}}{(2i+1)!(2n)!}y^{2n}+\sum_{i=0}^{\infty}x^{2i}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+i}}{(2i)!(2n+1)!}y^{2n}</math>

<math display="block">\operatorname{sen}(x+y)=\left(\sum_{i}^{\infty}\frac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{(2i+1)}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}y^{2n}\right)+\left(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{(2i)!}x^{2i}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}y^{2n}\right)</math>

E assim: <math>\operatorname{sen}(x+y)=\operatorname{sen}(x)\cos(y)+\operatorname{sen}(y)\cos(x)</math>

===<ref name=":0" />Extensões das funções trigonométricas ===
Devido à natureza simétrica e periódica das funções trigonométricas, estas podem ser estendidas como:

:<math>\begin{align}
\cos(\theta) &= -\cos(\pi - \theta) \\
\sen(\theta) &= \sen(\pi - \theta) \\
\cos(\theta) &= -\cos(\theta - \pi) \\
\sen(\theta) &= -\sen(\theta - \pi) \\
\cos(\theta) &= \cos(2\pi - \theta) \\
\sen(\theta) &= -\sen(2\pi - \theta)
\end{align}</math>

A extensão para os números reais ocorre pela periodicidade:

:<math>\begin{align}
\cos(\theta+2k\pi) &= \cos(\theta), \quad k \in\mathbb Z \\
\sen(\theta + 2k\pi) &= \sen(\theta), \quad k \in\mathbb Z
\end{align}</math>
== Referências ==
{{correlatos|commonscat=Trigonometric functions}}
<!-- Atenção! Não foi usada a predefinição {{Referências}} para que a caixa dos correlatos possa se encaixar ao lado das referências //-->
<references />

[[Categoria:Funções matemáticas|Trigonometricas]]
[[Categoria:Trigonometria]]