Mostrar código-fonte de Dodecaedro rômbico

Na geometria, o dodecaedro rômbico é um poliedro convexo com 12 faces congruentes. Tem 24 arestas, e 14 vértices de dois tipos. É um sólido catalão,além de ser o poliedro dual do [[cuboctaedro]].

== Propriedades ==
O dodecaedro rômbico é um zonoedro. Seu poliedro [[Poliedro dual|dual]] é o [[Cuboctaedro|cuboctahedron]]. A diagonal de cada face é exatamente [[Raiz quadrada de dois|{{Sqrt|2}}]] vezes o comprimento da diagonal menor, de modo que a face de ângulos agudos possui a medida de arccos {{sfrac|1|3}}, ou cerca de 70.53°.

Sendo o dual de um poliedro de Arquimedes, o dodecaedro rômbico é face-transitiva, ou seja, o [[grupo de simetria]] de um sólido [[Ação (matemática)|transitivamente]] sobre o conjunto de faces. Nos termos fundamentais, isso significa que, para quaisquer duas faces A e B existe uma [[Movimento de rotação|rotação]] ou [[Reflexão (matemática)|reflexão]] do sólido que deixa de ocupar a mesma região do espaço ao mover-se face A para face B.

O dodecaedro rômbico  é um dos nove poliedros aresta-transitivo convexos, sendo os outros cinco [[Sólido platónico|sólidos Platônicos]], o [[Cuboctaedro|cuboctahedron]], o [[icosidodecaedro]] e o [[triacontaedro rômbico]].

O dodecaedro rômbico pode ser usado para [[Tesselação|tesselar]] espaços tridimensionais. Pode ser empilhado para preencher um espaço muito parecido com [[hexágono]]s em um plano.

Este poliedro em um espaço de preenchimento tesselado, pode ser visto como a [[Diagrama de Voronoy|tesselação de Voronoi]] de [[Estrutura cristalina|face centrada cubic lattice]]. É a zona de Brillouin do cúbo de corpo centrado (bcc) em cristais. Alguns minerais, tais como [[Granada (mineralogia)|granada]] formam um dodecaedro rômbico de [[Hábito cristalino|cristais]]. [[Apis|As abelhas]] usam a geometria da forma [[Favo|centesimal do dodecaedro rômbico,]] a partir de um mosaico de células, cada uma das quais é um prisma hexagonal, cobertas com metade de um dodecaedro rômbico. O dodecaedro rômbico também aparece na unidade de células de [[diamante]] e [[Diamantoide|diamantóides]]. Nestes casos, quatro vértices (suplente tríplice) estão ausentes, mas as ligações químicas escondem as arestas restantes arestas.<ref name="cryst1">[http://www.khulsey.com/jewelry/crystal_habit.html#h-5. Dodecahedral Crystal Habit] {{Wayback|url=http://www.khulsey.com/jewelry/crystal_habit.html#h-5. |date=20090412012420 }}. khulsey.com</ref>

O gráfico do dodecaedro rômbico é [[Caminho hamiltoniano|hamiltoniano]].

== Dimensões ==
Se o comprimento da aresta de um dodecaedro rômbico é ''um'', o [[Raio (geometria)|raio]] de uma esfera inscrita ([[Tangente (geometria)|tangente]] a cada um das faces do dodecaedro rômbico)
:<math>r_\mathrm{i} = \frac{\sqrt{6}}{3}a \approx 0.816\,496\,5809a,</math>
o raio da interesfera é
:<math>r_\mathrm{m} = \frac{2\sqrt{2}}{3}a \approx 0.942\,809\,041\,58a,</math>.
e o raio da esfera circunscrita é
:<math>r_\mathrm{o} = \frac{2\sqrt{3}}{3}a \approx 1.154\,700\,538a,</math>.

== Área e volume ==
A área ''A'' e o volume ''V'' do dodecaedro rômbico do comprimento da aresta são:
:<math>\begin{align} A &= 8\sqrt{2}a^2 \approx 11.313\,7085a^2 \\ V &= \frac{16\sqrt{3}}{9}a^3 \approx 3.079\,201\,44a^3 \end{align}</math>

== Projeções ortogonais ==
O ''dodecaedro rômbico'' tem quatro especais projeções ortogonais ao longo de seus [[Simetria de rotação|eixos de simetria]], centrada em uma face, uma aresta, e os dois tipos de vértices, triplo e quádruplo. Os dois últimos correspondem a B<sub>2</sub> e<sub>2</sub> plano de Coxeter.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
|+ Projeções ortogonais
!<br>
simetria
|[4]
|[6]
|[2]
|[2]
|-
!Dodecaedro<br>
rômbico
|[[Ficheiro:Dual_cube_t1_B2.png|120x120px]]
|[[Ficheiro:Dual_cube_t1.png|124x124px]]
|[[Ficheiro:Dual_cube_t1_e.png|141x141px]]
|[[Ficheiro:Dual_cube_t1_v.png|161x161px]]
|-
!Cubotaedro<br>
(duplo)
|[[Ficheiro:3-cube_t1_B2.svg|120x120px]]
|[[Ficheiro:3-cube_t1.svg|120x120px]]
|[[Ficheiro:Cube_t1_e.png|120x120px]]
|[[Ficheiro:Cube_t1_v.png|120x120px]]
|}

== Coordenadas cartesianas ==
{| align="right" class="wikitable" width="300" style="margin-bottom: 10px;"
|[[Ficheiro:Pyritohedron_animation.gif|164x164px]]<br>
[[Dodecaedro|Piritoedro]] variações entre um cubo e o dodecaedro rômbico
|[[Ficheiro:R1-R3.gif|150x150px]]<br>
[[Expansão de sólido|A expansão]] de um dodecaedro rômbicoc
|}
Os oito vértices, onde três faces encontram seus ângulos obtusos têm [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas Cartesianas]]:
: (±1, ±1, ±1)
As coordenadas dos seis vértices, onde quatro faces encontramm seus ângulos agudos são:
: (±2, 0, 0), (0, ±2, 0) e (0, 0, ±2)
O dodecaedro rômbico pode ser visto como um caso de limite degenerado de uma [[Dodecaedro|piritoédro]], com permutação de coordenadas (±1, ±1, ±1) e (0, 1 + ''h'', 1 − ''h''<sup>2</sup>) com o parâmetro ''h''&#x20;=&#x20;1.

== Formas topologicamente equivalente ==

=== Paraleloedro ===
O ''dodecaedro rômbico'' é um paraleloédro, um espaço de preenchimento de poliedro.
{| class="wikitable" width="480" style="margin-bottom: 10px;"
|[[Ficheiro:Rhombic_dodecahedra.png|240x240px]]<br>
O dodecaedro rômbico pode tesselar cópias de espaços de translação iguais a si próprio. Curiosamente, Dodecaedro rômbico estrelado.
|[[Ficheiro:Parallelohedron_edges_rhombic_dodecahedron.png|253x253px]]<br>
O ''Dodecaedro rômbico.'' pode ser construída com 4 conjuntos de arestas paralelas.
|}
Outras construções simétricas do dodecaedro rômbico, são também espaço de preenchimento, e como paraleloédro são similares às variações do espaço de preenchimento [[Octaedro truncado|truncado  dos octaedros]].<ref name="Critchlow">Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.56–57</ref>

Por exemplo, com 4 faces quadradas, e 60 graus faces rômbicas, e D<sub>4h</sub> diedro simetria, ordem 16. Ele será visto como um [[Cuboctaedro|cubotaédro]] com[[Pirâmide quadrada| pirâmides]] quadradas aumentadas na parte superior e inferior.

==== Dodecaédro Bilinski ====
{| align="right" class="wikitable" width="320" style="margin-bottom: 10px;"
|[[Ficheiro:Bilinski_dodecahedron.png|160x160px]]<br>
Dodecaedro Bilinski largura das arestas e faces frontais coloridas por sua simetria de posição.
|[[Ficheiro:Bilinski_dodecahedron_parallelohedron.png|160x160px]]<br>
Dodecaedro Bilinski pelas bordas paralelas coloridas
|}
Em 1960 Stanko Bilinski descobriu um segundo dodecaedro rômbico com 12 faces rômbicas congruentes, o dodecaedro Bilinski. Ele tem a mesma topologia, mas uma geometria diferente. O rômbico dessa forma tem a [[Proporção áurea|razão de ouro]].<ref>{{citar periódico |autor=Branko Grünbaum |título=The Bilinski Dodecahedron and Assorted Parallelohedra, Zonohedra, Monohedra, Isozonohedra, and Otherhedra |ano=2010 |volume=32 |número=4 |páginas=5–15 |url=https://dlib.lib.washington.edu/researchworks/bitstream/handle/1773/15593/Bilinski_dodecahedron.pdf |jornal= |acessodata=2017-03-22 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20150402132516/https://dlib.lib.washington.edu/researchworks/bitstream/handle/1773/15593/Bilinski_dodecahedron.pdf |arquivodata=2015-04-02 |urlmorta=yes }}</ref><ref>H.S.M Coxeter, "Regular polytopes", Dover publications,  1973.</ref>
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 31px;"
|+Faces
!Primeira forma
!Segunda forma
|- align="center"
|[[Ficheiro:DU07_facets.png|140x140px]]
|[[Ficheiro:GoldenRhombus.svg|180x180px]]
|- align="center"
|{{Sqrt|2}}:1
|<span class="nowrap">&#x221A;5</span> + 12<span id="cxmw-w" tabindex="0"></span>:1
|}

=== Dodecaedro trapezoidal ===
[[Imagem:Skew_rhombic_dodecahedron-150_net.png|thumb|Examplo ({{sfrac|3|4}},{{sfrac|3|2}})]]
Outro variação topologicamente equivalentes, às vezes chamado de um '''dodecaedro trapezoidal''', é isoedral com simetria tetraédrica ordem 24, distorcendo as faces rômbicas em "[[Deltoide|pipas]]". Tem 8 vértices, ajustados em conjuntos de 4, com o caso limite de uma tetraédrica envelope. Variações pode ser parametrizada por (''a'',''b''), onde ''b'' é determinada a partir de ''um'' para planar faces. (1,1) é a solução rômbica. Como (''um'') aproxima-se {{sfrac|1|2}}, (''b'') se aproxima do infinito.
: (±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)
: (''a'', ''a'', ''a''), (−''a'', −a, ''a''), (−''a'', ''a'', −''a''), (''a'', −''a'', −''a'')
: (−''b'', −''b'', −''b''), (−''b'', ''b'', ''b''), (''b'', −''b'', ''b''), (''b'', ''b'', −''b'')

== Poliedros relacionados ==
[[Ficheiro:Spherical_rhombic_dodecahedron.png|miniaturadaimagem|160x160px|Dodecaedro rômbico esférico]]
Este poliedro é uma parte de uma seqüência de poliedros rômbicos e pavimentações com [''n'',3] simetria do grupo de coxeter. O cubo pode ser visto como um hexaedro rômbico onde o rombi são quadrados.

Da mesma forma ele se relaciona com a série infinita de pavimentações com as configurações da face V3.2''n''.3.2''n'', o primeiro no plano euclidiano, e o resto no plano hiperbólico.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
| align="center" valign="top" |[[Ficheiro:Rhombicdodecahedron_net2.png|219x219px]]<br>
V3.4.3.4<br>
[[Planificação de um poliedro|Planificação]] do dodecaedro rômbico
| align="center" valign="top" |[[Ficheiro:Tile_V3636.svg|210x210px]]<br>
V3.6.3.6<br>
Euclidiana plano de ladrilhos<br>
Rhombille ladrilhos
| align="center" valign="top" |[[Ficheiro:Uniform_dual_tiling_433-t01.png|210x210px]]<br>
V3.8.3.8<br>
Plano hiperbólico de ladrilhos<br>
(Elaborado em um modelo de disco de Poincaré)
|}

=== Estrelamentos ===
Como muitos poliedros convexos, o dodecaedro rômbico pode ser [[Estrelamento|estrelado]] estendendo as faces ou arestas até que elas se encontrem para formar um novo poliedro. Vários estrelamentos foram descritos por Dorman Lucas.<ref>{{citar periódico|autor =Luke, D.|título= Stellations of the rhombic dodecahedron|periódico=The Mathematical Gazette|volume=337|ano=1957|páginas= 189–194}}</ref>

O primeiro estrelamento, muitas vezes chamado simplesmente de o'' estrelado dodecaedro rômbico'', é bem conhecido. Ele pode ser visto como um dodecaedro rômbico com cada face aumentada através da colocação de uma base de pirâmide rômbica, com uma altura de pirâmide tal que os lados encontram-se no plano das faces vizinhas:
: [[Ficheiro:Three_flattened_octahedra_compound.png|240x240px]]
Lucas descreve mais quatro estrelamentos: o segundo e o terceiro estrelamentos (expansão para fora), formada por remover o segundo, o terceiro, e outro, adicionando o rômbico dodecaedro original de volta para a anterior.

Grande dodecaedro rômbico : 12 faces côncavas ortogonais

Grande estrelado dodecaedro rômbico : 12 faces côncavas dodecagonais

== Polítopos relacionados ==
[[Ficheiro:Hypercubeorder.svg|miniaturadaimagem|Em perfeito primeiro-vértice duas projeções de vértices de tesserato (marcado em verde claro) são projetadas exatamente no centro da dodecaedro rômbico]]
A forma do casco dodecaedro rômbico do primeiro-vértice projeta de um [[tesserato]] de três dimensões. Há exatamente duas maneiras de decompor um dodecaedro rômbico em quatro paralelepípedos congruente, dando oito paralelepípedos possíveis. Oito células do tesserato sob esta projeção precisamente para estes oito paralelepípedos.

O dodecaedro rômbico, forma máxima seção transversal de uma 24-célula, e também faz o casco de seu projeção de primeiro-vértice paralela em três dimensões. O dodecaedro rômbico pode ser decomposto em seis congruentes (não-regular) [[Octaedro|bipiramide quadrada]] unindo em um único vértice no centro; estes formam as imagens dos seis pares da célula-24 das células octaédricas.As 12 células Octaédricas restantes projeta nas faces do dodecaedro rômbico. A não-regularidade destas imagens é devido a distorção projetada; as facetas da célula-24 são octaedros regulares de 4 dimensão.

Nesta decomposição é dado um método interessante método para construir o dodecaedro rômbico: cortar um [[cubo]] em seis congruentes pirâmides quadradas congruentes, e anexá-las para as faces de um segundo cubo. As faces triangulares de cada par adjacente da pirâmides estão sobre um plano, e então mesclar em paralelogramos. 24-célula pode também ser construído de uma forma análoga, usando dois [[tesserato]]s

== Veja também ==
* [[Dodecaedro]]
* [[Triacontaedro rômbico]]
* [[Bisfenóide]]
* [[Rombicosidodecaedro]]

== Referências ==
{{reflist}}

== Leia também ==
* {{Citar livro|url=https://books.google.com/books?id=mfmzUjhs-_8C&pg=PA19|título=Dual Models|ultimo=Wenninger|primeiro=Magnus|doi=10.1017/CBO9780511569371|isbn=978-0-521-54325-5|mr=730208}} (Treze semiregular poliedros convexos e seus duplos, Página 19, Rhombic dodecaedro)
* [https://books.google.com/books?id=EtQCk0TNafsC&pg=PA345 ''As Simetrias de Coisas''] 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 21, de Nomeação de Arquimedes e catalão poliedros e pavimentações, p. 285, Rhombic dodecaedro )

== Ligações externas ==
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Realidade Virtual Poliedros] – Enciclopédia de Poliedros

=== Modelos computacionais ===
* [http://demonstrations.wolfram.com/RelatingARhombicTriacontahedronAndARhombicDodecahedron/ O relacionamento de uma Rhombic Triacontahedron e um Rhombic Dodecaedro], [http://demonstrations.wolfram.com/RhombicDodecahedron5Compound/ Rhombic Dodecaedro 5-Composto] e [http://demonstrations.wolfram.com/RhombicDodecahedron5Compound/ Rhombic Dodecaedro 5-Composto] por Sándor Kabai, [[Wolfram Demonstrations Project|O Projeto Wolfram Demonstrations]].

===Projetos de papel===
*[https://web.archive.org/web/20130523043052/http://www.ii.uib.no/%7Earntzen/kalender/ Calendário dodecaedro rômbico] – faça uma calendário dodecaedro rômbico sem cola
*[http://www.southernct.edu/~fields/PlaitedCalendar/ Outro Calendário dodecaedro rômbicoo] feito por entrançar de tiras de papel

===Aplicações práticas===
*[http://archinstitute.blogspot.com Instituto Arquimedes] Exemplos de construção de habitação de projetos utilizando esta geometria


{{Poliedros convexos}}

[[Categoria:Sólidos de Catalan]]