Mostrar código-fonte de E (constante matemática)

{{Candidato a bom}}
{{descrição curta|2,71828..., base dos logaritmos natural}}
{{DISPLAYTITLE:{{mvar|e}} (constante matemática)}}
{{Ver desambig|não_confundir=a [[constante de Euler]]|outros sentidos de e|e (desambiguação)}}
[[Imagem:hyperbola E.svg|thumb|237px|direita|Gráfico da equação {{math|1=''y'' = 1/''x''}}. Aqui, {{mvar|e}} é o número único maior que 1 que faz a [[Integral|área sob a curva]] ser igual a 1.]]
{{E (constante matemática)}}
O número '''{{mvar|e}}''' é uma [[constante matemática]], aproximadamente igual a 2,71828, que é a base dos [[logaritmo natural|logaritmos naturais]]. Pode ser definido de diversas maneiras, como o [[limite de uma sequência]], uma [[série infinita|soma infinita]], entre outras definições. O número {{mvar|e}} também é chamado de '''número de Euler''', nomeado em homenagem ao matemático suíço [[Leonhard Euler]], porém este nome pode levar a confusão com os {{ill|en|números de Euler|Euler numbers}}, ou a [[constante de Euler]], uma constante diferente, usualmente denotada {{mvar|&gamma;}}. Alternativamente, {{mvar|e}} pode ser chamada de '''constante de Neper''', em homenagem a [[John Napier]].{{Ref infopedia|$numero-de-neper|Número de Neper}}<ref name="Weisstein">{{mathworld|e|e|autor=Sondow, Jonathan|autor2=[[Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W.]]|acessodata=2020-08-10}}</ref> A constante foi descoberta pelo matemático suíço [[Jacob Bernoulli]] enquanto estudava juros compostos.<ref name="Pickover">{{citar livro|título=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics |edição=ilustrada |primeiro1=Clifford A. |último1=Pickover |publicado=Sterling Publishing Company |ano=2009 |isbn=978-1-4027-5796-9 |página=166 |url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC |lingua=en}} [https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA166 Extract of page 166]</ref><ref name="OConnor">{{MacTutor|id=e|titulo=The number {{mvar|e}}|classe=HistTopics}}</ref>

O número {{mvar|e}} é de grande importância na matemática,<ref>{{citar livro|último=Sawyer |primeiro=W. W. |título=Mathematician's Delight |publicado=Penguin |ano=1961 |url=https://archive.org/details/MathemateciansDelight-W.W.Sawyer/page/n153/mode/2up|acessourl=registo|páginas=155 |língua=en}}</ref> junto de 0, 1, [[Pi|{{pi}}]], e {{mvar|[[Unidade imaginária|i]]}}. Todos os cinco aparecem numa formulação da [[identidade de Euler]] <math>e^{i\pi}+1=0</math> e têm papéis importantes e recorrentes na matemática.<ref>{{citar livro|título=Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics |edição=ilustrada |primeiro1=Robinn |último1=Wilson |publicado=Oxford University Press |ano=2018 |isbn=978-0-19-251405-9 |em=(prefácio) |url=https://books.google.com/books?id=345HDwAAQBAJ |lingua=en}}</ref><ref>{{citar livro|título=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number |edição=ilustrada |primeiro1=Alfred S. |último1=Posamentier |primeiro2=Ingmar |último2=Lehmann |publicado=Prometheus Books |ano=2004 |isbn=978-1-59102-200-8 |página=68 |url=https://books.google.com/books?id=QFPvAAAAMAAJ |lingua=en}}</ref> Semelhante à constante {{pi}}, {{mvar|e}} é [[Número irracional|irracional]] (não pode ser representado como uma razão de dois inteiros) e [[Número transcendente|transcendente]] (não é uma raiz de nenhuma [[função polinomial]] com coeficientes racionais).<ref name="Weisstein" />

== Fundamentos ==
=== Definições ===
O número {{mvar|e}} pode ser definido em termos de [[Limite de uma sequência|limite]] como
<math display= block>e = \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac 1n\right)^n,</math>
sendo essa expressão oriunda da análise de [[juros compostos]].<ref name="BoyerMerzbach"/>

Este número também pode ser expresso como soma de uma [[Série (matemática)|série]] infinita:<ref name="Rudin"/>
<math display ="block">e =  \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots</math>

Ele também é o único número positivo {{mvar|a}} tal que o gráfico da função {{math|1=''y'' = ''a''<sup>''x''</sup>}} tem um [[declive]] de 1 quando {{math|1=''x'' = 0}}.{{sfn|Stewart|2016|p=179}}

A [[função exponencial]] (natural) {{math|exp(''x'')}} é a única função que é igual a sua própria [[derivada]] e que satisfaz a equação {{math|1=exp(0) = 1}}. Visto que a função exponencial é usualmente denotada como {{math|''x'' &mapsto; ''e<sup>x</sup>''}}, tem-se que{{sfn|Stewart|2016|pp=178–179}}
<math display=block>e=e^1=\exp(1).</math>

O [[logaritmo]] de base {{mvar|b}} pode ser definido como a [[função inversa]] de {{math|''x'' &mapsto; ''b<sup>x</sup>''}}. Pelo fato de {{math|1=''b'' = ''b''<sup>1</sup>}} implicar em {{math|1=log''<sub>b</sub>b'' = 1}}, {{mvar|e}} é a base do [[logaritmo natural]], pois {{math|1=''e'' = ''e''<sup>1</sup>}}.{{sfn|Stewart|2016|pp=60–61}}

O número {{mvar|e}} também pode ser caracterizado utilizando uma [[integral]]:<ref>{{dlmf}}</ref>
<math display = block>\int_1^e \frac {1}{x} \, dx =1,</math>

Para outras caracterizações, veja {{slink||Representações}}.

=== Teoria dos números ===
{{mvar|e}} é [[número irracional|irracional]], o que significa que não pode ser escrito como uma [[Números racionais|razão de dois números inteiros]]. [[Euler]] provou isso ao mostrar que a expansão de sua [[fração contínua]] não termina.<ref>{{citar web|url=http://vanilla47.com/PDFs/Leonhard%20Euler/How%20Euler%20Did%20It%20by%20Ed%20Sandifer/Who%20proved%20e%20is%20irrational.pdf|título=How Euler Did It: Who proved {{mvar|e}} is Irrational?|último=Sandifer|primeiro=Ed|data=fevereiro de 2006|publicado=MAA Online|acessodata=2010-06-18|urlmorta= sim|wayb=20140223072640|lingua=en}}</ref> (Ver também a [[Prova de que e é irracional#Prova de Fourier|Prova de Fourirer de que {{mvar|e}} é irracional]].)

Além disso, pelo [[teorema de Lindemann–Weierstrass]], {{mvar|e}} é [[Número transcendente|transcendente]], o que significa que ele não uma solução para uma equação polinomial não nula com coeficientes racionais. Ele foi o primeiro número a ser provado ser transcendente sem ter sido construído especificamente para esse fim (compare com os [[números de Liouville]]); a prova foi dada por [[Charles Hermite]] em 1873.<ref>{{citar livro|último=Gelfond |primeiro=A. O. |autorlink=Alexander Gelfond |translator-last=Boron |translator-first=Leo F. |anooriginal=1960 |ano=2015 |título=Transcendental and Algebraic Numbers |publicado=[[Dover Publications]] |local=New York |series=Dover Books on Mathematics |isbn=978-0-486-49526-2 |mr=0057921 |url={{Google books|408wBgAAQBAJ|Transcendental and Algebraic Numbers|plainurl=yes}} |página=41 |lingua=en}}</ref>

É conjecturado que {{mvar|e}} seja [[Número normal|normal]], o que significa que quando {{mvar|e}} é expresso em qualquer [[Base (aritmética)|base]], os possíveis dígitos nesta base são distribuídos uniformemente (ocorre com mesma probabilidade em qualquer sequência de um dado comprimento).<ref>{{citar livro |último=Khoshnevisan |primeiro=Davar |capítulo=Normal numbers are normal |ano=2006 |título=Clay Mathematics Institute Annual Report 2006 |publicado=[[Clay Mathematics Institute]] |páginas=15, 27–31 |lingua=en |capítulourl=http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2006/06report_normalnumbers.pdf }}</ref>

Na [[geometria algébrica]], um período é um número que pode ser expresso como uma integral de uma [[função algébrica]] sobre um [[Domínio (matemática)|domínio]] algébrico. A constante {{pi}} é um período, mas é conjurado que {{mvar|e}} não seja.<ref>{{citar web|último1=Kontsevich |primeiro1=Maxim |último2=Zagier |primeiro2=Don |autorlink1=Maxim Kontsevich |autorlink2=Don Zagier |ano=2001 |título=Periods |url=https://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Periods.pdf |lingua=en}}</ref>

=== Valores aproximados e dígitos ===
Algumas aproximações de {{mvar|e}} incluem:
*'''Inteiros''': 3{{TagNota|Bernoulli já havia chegado a conclusão que {{math|2,5 < ''e'' < 3}}, e, portanto, o inteiro mais próximo é 3.<ref name="Bernoulli, 1690"/>}}
*'''Frações''': Frações aproximadas incluem (em ordem crescente de acurácia) {{sfrac|19|7}}, {{sfrac|87|32}}, {{sfrac|106|39}}, {{sfrac|193|71}}, {{sfrac|1457|536}}, e {{sfrac|23225|8544}}.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0020739X.2017.1352043 |título=Approximations of {{mvar|e}} and {{pi}}: an exploration |data=2017 |acessodata=2024-09-19 |publicado=Taylor & Francis |periódico=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology |número=sup1 |ultimo=Brown |primeiro=Philip R. |paginas=S30–S39 |lingua=en |doi=10.1080/0020739X.2017.1352043 |issn=0020-739X}}</ref> (Lista são termos selecionados de {{OEIS2C|id=A007676}} e {{OEIS2C|id=A007677}}.)
*'''Dígitos''': Os primeiros 50 dígitos decimais são {{gaps|2,71828|18284|59045|23536|02874|71352|66249|77572|47093|69995...}}<ref>{{MacTutor|classe=HistTopics|id=e_10000|titulo=10000 digits of e}}</ref> (ver {{OEIS2C|id=A001113}})

'''Dígitos noutras bases'''
*Os primeiros 48 dígitos [[Sistema de numeração binário|binários]] ([[Base (aritmética)|base]] 2, chamado de [[bit]]s) são {{gaps|10,1011|0111|1110|0001|0101|0001|0110|0010|1000|1010|1110|1101...}} (ver {{OEIS2C|id=A004593}})
* Os primeiros 36 dígitos em [[Sistema de numeração ternário|ternário]] (base 3) são {{gaps|2,201|101|121|221|102|011|012|222|102|011|021|222...}} (ver {{OEIS2C|id=A004602}})
* Os primeiros 20 dígitos em [[hexadecimal]] (base 16) são {{gaps|2,B7E1|5162|8AED|2A6A|BF71...}} (ver {{OEIS2C|id=A170873}})

== História ==
A primeira referência à constante foi publicada em 1618 numa tabela de apêndice de um trabalho de logaritmos por [[John Napier]]. No entanto, esta obra não continha a constante em si, mas simplesmente uma lista de [[Logaritmo natural|logaritmos na base {{mvar|e}}]]. Assume-se que a tabela foi escrita por [[William Oughtred]]. Em 1661, Christiaan Huygens estudou como calcular logaritmos por métodos geométricos e calculou uma quantidade que seria o logaritmo de base 10 de {{mvar|e}}, mas ele não reconheceu o próprio {{mvar|e}} como uma quantidade de interesse.<ref name="OConnor" /><ref>{{citar periódico|url=http://www.math.bas.bg/mathmod/Proceedings_CTF/CTF-1981/files_CTF-1981/CTF-1981-254-257.pdf |primeiro=E. M. |último=Bruins |título=The Computation of Logarithms by Huygens |periódico=Constructive Function Theory |ano=1983 |páginas=254–257 |lingua=en}}</ref>

A constante em si foi introduzida por [[Jacob Bernoulli]] em 1683, para resolver problemas de [[juros continuamente compostos]].<ref name="BoyerMerzbach">{{citar livro|autor1=Carl Boyer|autor2=Uta Merzbach|autorlink2= Uta Merzbach |título=A History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|acessourl=registo|página=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/419 419]|publicado=Wiley|ano=1991|isbn=978-0-471-54397-8|edição=2.ª|lingua=en}}</ref><ref name="Bernoulli, 1690">Jacob Bernoulli considerou o problema da composição contínua de juros, o que levou a uma expressão em série para {{mvar|e}}.  Ver:  Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Algumas questões sobre juros, com a solução de um problema sobre jogos de azar, proposto no ''Journal des Savants'' (''Ephemerides Eruditorum Gallicanæ''), no ano de 1685.**), ''Acta eruditorum'', pp.&nbsp;219–23.  [https://books.google.com/books?id=s4pw4GyHTRcC&pg=PA222 Na página 222], Bernoulli coloca a questão:  ''"Alterius naturæ hoc Problema est:  Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?"''  (Este é um problema de outro tipo: A pergunta é se algum credor investisse [uma] soma de dinheiro [com] juros, deixasse acumular, de modo [que] a cada momento recebesse [uma] parte proporcional dos juros anuais; quanto seria devido [ao] final do ano?) Bernoulli constrói uma série de potências para calcular a resposta e, em seguida, escreve:''" … quæ nostra serie [expressão matemática para uma série geométrica] &c. major est.  … si ''a''=''b'', debebitur plu quam 2½''a''  & minus quam 3''a''."'' ( … que nossa série [uma série geométrica] é maior [do que]. … se {{math|1=''a'' = ''b''}}, [o credor] terá a receber mais do que {{math|2½''a''}} e menos do que {{math|3''a''}}.) Se {{math|1=''a'' = ''b''}}, a série geométrica se reduz à série para {{math|''a'' × ''e''}}, então {{math|2,5 < ''e'' < 3}}.  (** A referência é a um problema que Jacob Bernoulli propôs e que aparece no ''Journal des Sçavans'' de 1685, ao final da [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56536t/f307.image.langEN página 314.])</ref> Em sua solução, a constante {{mvar|e}} ocorre como o [[limite]]
<math qid=Q82435 display="block">\lim_{n\to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n,</math>
em que {{mvar|n}} representa o número de intervalos em um ano em que o juro composto é calculado (por exemplo, {{math|1=''n'' = 12}} para juros compostos mensalmente).

O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra {{mvar|b}} por [[Gottfried Leibniz]] em cartas a [[Christiaan Huygens]] em 1690 e 1691.<ref>{{citar web|url=https://leibniz.uni-goettingen.de/files/pdf/Leibniz-Edition-III-5.pdf |título=Sämliche Schriften Und Briefe |último=Leibniz |primeiro=Gottfried Wilhelm |ano=2003 |língua=de |citação=look for example letter nr. 6}}</ref>

Os primeiros registros de uso da letra {{mvar|e}} para a constante, por [[Leonhard Euler]], são de 1727 ou 1728, em um artigo não publicado sobre forças explosivas em canhões,<ref name="Meditatio">{{citar periódico |ultimo=Euler |url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/853/ |titulo=Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta |lingua=la |citacao={{lang|la|Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, {{mvar|e}}, qui est 2,7182817…}} (português: Escrito para o número cujo logaritmo tem a unidade, {{mvar|e}}, que é 2,7182817…")}}</ref> e em uma carta para Christian Goldbach em 25 de novembro de 1731.<ref>Lettre XV.  Euler à Goldbach, datado 25 de novembro de 1731 em:  P.H. Fuss, ed., ''Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle'' … (Correspondência matemática e física de alguns geômetras famosos do século XVIII), vol. 1, (São Petersburgo, Russia:  1843), pp.&nbsp;56–60, ver especificamente [https://books.google.com/books?id=gf1OEXIQQgsC&pg=PA58 p. 58.]  Da p. 58:  ''" … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … "'' ( … ({{mvar|e}} denota aquele número cujo logaritmo hiperbólico (isto é, logaritmo natural) é igual a 1), … )</ref><ref>{{citar livro|último=Remmert|primeiro=Reinhold|autorlink=Reinhold Remmert|título=Theory of Complex Functions|página=136|publicado=[[Springer-Verlag]]|ano=1991|isbn=978-0-387-97195-7|lingua=en}}</ref> A primeira aparição de {{mvar|e}} em uma publicação impressa foi em ''Mechanica'' de Euler (1736).<ref>Leonhard Euler, ''Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita'' (São Petersburgo (Petropoli), Russia:  Academy of Sciences, 1736), vol. 1, Capítulo 2, Corolário 11, parágrafo 171, p.&nbsp;68.  [https://books.google.com/books?id=qalsP7uMiV4C&pg=PA68 Da página 68:]  ''Erit enim <math>\frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx}</math> seu <math>c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}}</math> ubi ''e'' denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1.''  (Então isto [ou seja, {{mvar|c}}, a velocidade] será <math>\frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx}</math> ou <math>c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}}</math>, em que {{mvar|e}} denota o número pelo qual o logaritmo hiperbólico [isto é, natural] é um.)</ref> É desconhecido o motivo pela qual Euler escolheu a letra {{mvar|e}}.<ref>{{citar livro|último=Calinger |primeiro=Ronald |ano=2016 |título=Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment |publicado=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11927-4 |pagina=124 |lingua=en}}</ref> Embora alguns pesquisadores tenham usado a letra {{mvar|c}} nos anos subsequentes, a letra {{mvar|e}} era mais comum e eventualmente tornou-se o padrão.<ref>{{citar web|último1=Miller |primeiro1=Jeff |título=Earliest Uses of Symbols for Constants |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/constants/ |website=MacTutor |publicado=University of St. Andrews, Scotland |acessodata=31 de outubro de 2023 |lingua=en}}</ref>

Euler provou que {{mvar|e}} é a soma da [[série infinita]]
<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots ,</math>
em que {{math|''n''!}} é o [[fatorial]] de {{mvar|n}}.<ref name="OConnor" /> A equivalência das duas caracterizações usando o limite e a série infinita podem ser provados usando o [[binômio de Newton]].<ref name="Rudin">{{citar livro|autorlink=Walter Rudin |primeiro=Walter |último=Rudin |título=Principles of Mathematical Analysis |edição=3.ª |publicado=McGraw–Hill |ano=1976 |páginas=63–65 |isbn=0-07-054235-X |lingua=en}}</ref>

== Aplicações ==
=== Juros compostos ===
[[Imagem:Compound Interest with Varying Frequencies-pt.svg|thumb|direita|350px|O efeito de ganhar 20% de juros anuais num investimento inicial de mil dólares a várias frequências compostas. A curva limite no topo é o gráfico {{math|1=''y'' = 1000''e''<sup>0,2''t''</sup>}}, em que {{mvar|y}} está em dólares, {{mvar|t}} em anos, e 0,2 = 20%]]
Jacob Bernoulli descobriu esta constante em 1683, enquanto estudava uma questão sobre juros compostos:<ref name="OConnor" />

{{Quote|Uma conta começa com $&nbsp;1,00 e paga 100% de juros ao ano. Se os juros forem creditados uma vez, no final do ano, o valor da conta no final do ano será de $&nbsp;2,00. O que acontece se os juros forem calculados e creditados com mais frequência durante o ano?}}

Se os juros forem creditados duas vezes ao ano, os juros a cada seis meses serão de 50%; então o um dólar inicial será multiplicado por 1,5 duas vezes, rendendo {{nowrap|1=$ 1,00 × 1,5<sup>2</sup> = $ 2,25}} no fim do ano. Se forem considerados rendimentos trimestrais, renderão {{nowrap|1=$ 1,00 × 1,25<sup>4</sup> = $ 2,44140625}} e, mensalmente, {{nowrap|1=$ 1,00 × (1 + 1/12)<sup>12</sup> = $ 2,613035...}} Se há {{mvar|n}} intervalos compostos, os juros de cada intervalo serão {{math|100%/''n''}} e o valor no fim do ano será {{math|$ 1,00 × (1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup>}}.<ref name="Gonick"/><ref name="Abramson "/>

Bernoulli observou que essa sequência se aproxima de um limite à medida que {{mvar|n}} aumenta e, assim, intervalos de rendimento diminuem.<ref name="OConnor" /> Com rendimento semanal ({{math|1=''n'' = 52}}), o valor atinge $&nbsp;2,692596..., enquanto com rendimento diário ({{math|1=''n'' = 365}}) atinge $&nbsp;2,714567... (aproximadamente dois centavos a mais). O limite à medida que {{mvar|n}} cresce é o número que ficou conhecido como {{mvar|e}}. Ou seja, com rendimentos contínuos, o valor da conta atinge $&nbsp;2,718281828... De maneira mais geral, uma conta que começa com um dólar e oferece uma taxa de juros anual de {{mvar|R}}, após {{mvar|t}} anos, resultará em {{mvar|e<sup>Rt</sup>}} dólares com capitalização contínua. Aqui, {{mvar|R}} é a equivalência decimal da taxa de juros expressa em porcentagem, de modo que, para 5% de juros, {{math|1=''R'' = 5/100 = 0,05}}.<ref name="Gonick">{{citar livro|último=Gonick |primeiro=Larry |autorlink=Larry Gonick |ano=2012 |título=The Cartoon Guide to Calculus |publicado=William Morrow |url =https://www.larrygonick.com/titles/science/cartoon-guide-to-calculus-2/ |isbn =978-0-06-168909-3 |páginas=29-32 |lingua=en}}</ref><ref name="Abramson"/>

=== Ensaio de Bernoulli ===
[[Imagem:Bernoulli trial sequence.svg|thumb|300px|Gráfico de probabilidade {{mvar|P}} de ''não'' observar eventos independentes, cada um de probabilidade {{math|1/''n''}}, após {{mvar|n}} [[Ensaio de Bernoulli|ensaios de Bernoulli]], e de {{math|1 − ''P''&thinsp;}} versus {{mvar|n}}&thinsp;; pode-se observar que à medida que {{mvar|n}} aumenta, a probabilidade de um evento de chance de {{math|1/''n''}} nunca acontecer após {{mvar|n}} tentativas converge rapidamente para {{math|1/''e''}}]]
O Número {{mvar|e}} também tem aplicações na [[teoria das probabilidades]], de uma maneira que não está obviamente relacionada com o crescimento exponencial. Suponha que um jogador jogue em uma máquina caça-níqueis que paga com uma probabilidade de um em {{mvar|n}} e jogue {{mvar|n}} vezes. À medida que {{mvar|n}} aumenta, a probabilidade de o jogador perder todas as {{mvar|n}} apostas aproxima-se de {{math|1/''e''}}. Para {{math|1=''n'' = 20}}, isso já é aproximadamente 1/2,789509...<ref>{{Citar periódico |url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.4169/college.math.j.42.1.009 |título=Probability 1/e |data=janeiro de 2011 |acessodata=2024-11-01 |periódico=The College Mathematics Journal |número=1 |ultimo=Koo |primeiro=Reginald |ultimo2=Jones |primeiro2=Martin |paginas=9–13 |lingua=en |doi=10.4169/college.math.j.42.1.009 |issn=0746-8342}}</ref>

Este é um exemplo de [[processo de Bernoulli]]. Cada vez que se joga no caça-níqueis, há uma probabilidade de uma em {{mvar|n}} de ganhar. Considerando o caso de {{mvar|n}} jogadas, pode-se modelar a situação pela [[distribuição binomial]], que é proximamente relacionada ao [[binômio de Newton]] e ao [[triângulo de Pascal]]. A probabilidade de ganhar {{mvar|k}} vezes das {{mvar|n}} tentativas é de:<ref name="Kardar">{{citar livro|primeiro=Mehran |último=Kardar |título=Statistical Physics of Particles |ano=2007 |publicado=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-87342-0 |oclc=860391091 |página=41 |lingua=en}}</ref>
:<math>\Pr[k~\mathrm{vit\acute{o}rias~de}~n] = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-k}.</math>

Em particular, a probabilidade de não ganhar nenhuma vez ({{math|1=''k'' = 0}}) é<ref name="Kardar"/>
:<math>\Pr[0~\mathrm{vit\acute{o}rias~de}~n] = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}.</math>

O limite da expressão acima, quando {{mvar|n}} tende a infinito, é precisamente {{math|1/''e''}}.<ref name="Reichert">{{citar periódico |ultimo=Reichert |primeiro=Stefanie |título=e is everywhere |periódico=Nature Physics |data=setembro de 2019 |volume=15 |número=9 |páginas=982-982 |issn=1745-2481 |doi=10.1038/s41567-019-0655-9 |url=https://doi.org/10.1038/s41567-019-0655-9}}</ref>

=== Crescimento e decaimento exponencial ===
{{AP|Crescimento exponencial|Decaimento exponencial}}
O [[crescimento exponencial]] é um processo que aumenta a quantidade ao longo do tempo a uma taxa cada vez maior. Isso ocorre quando a taxa de variação instantânea (ou seja, a [[derivada]]) de uma quantidade em relação ao tempo é [[Proporcionalidade|proporcional]] à própria quantidade. Descrita como uma função, uma quantidade passando por crescimento exponencial é uma função exponencial do tempo, ou seja, a variável que representa o tempo é o expoente (em contraste com outros tipos de crescimento, como a [[ordem quadrática]]). Se a constante de proporcionalidade for negativa, então a quantidade diminui ao longo do tempo, e diz-se que está passando por um [[decaimento exponencial]]. A lei do crescimento exponencial pode ser expressa de formas diferentes, mas matematicamente equivalentes, usando uma [[Exponenciação|base]] diferente, para a qual o número {{mvar|e}} é uma escolha comum e conveniente:<ref name="Abramson">{{citar livro|capítulourl=https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/6-1-exponential-functions |capítulo=6.1 Exponential Functions |título=College Algebra 2e |publicado=OpenStax |primeiro1=Jay |último1=Abramson |numero-autores=etal |ano=2023 |isbn=978-1-951693-41-1 |lingua=en}}</ref>
<math display="block">x(t) = x_0\cdot e^{kt} = x_0\cdot e^{t/\tau}.</math>

Aqui, {{math|''x''<sub>0</sub>}} denota o valor inicial da quantidade {{mvar|x}}, {{mvar|k}} é o constante de variação, e {{mvar|&tau;}} é o tempo que leva para a quantidade aumentar um fator de {{mvar|e}}.<ref name="Abramson"/><ref>{{Citar livro|título=Cálculo|ultimo=Anton|primeiro=Howard|ultimo2=Bivens|primeiro2=Irl|ultimo3=Davis|primeiro3=Stephen|tradutor-ultimo=Doering|tradutor-primeiro=Claus Ivo|data=2014|editora=Bookman|volume=II|edicao=10.ª|local=São Paulo|páginas=571-574|isbn=978-85-8260-245-4}}</ref>

=== Distribuição normal padrão ===
{{AP|Distribuição normal}}
A distribuição normal com média zero e [[desvio padrão]] unitário é conhecida como a ''distribuição normal padrão'',<ref name="openstax">{{citar livro |titulo=Statistics |capítulourl=https://openstax.org/books/statistics/pages/6-1-the-standard-normal-distribution |capítulo=6.1 The Standard Normal Distribution |primeiro1=Barbara |ultimo1=Illowsky |primeiro2=Susan |ultimo2=Dean |numero-autores=etal |editora=OpenStax |isbn=978-1-951693-22-0 |ano=2023 |lingua=en}}</ref> dada pela [[função densidade de probabilidade]]<ref name="NIST">{{citar web |url=https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htm |titulo=Normal Distribution |publicado=[[Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia]] |acessodata=2024-05-08 |wayb=20240224183712}}</ref>
<math display="block">\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}.</math>

A restrição do desvio padrão unitário (e, portanto, também da variância unitária) resulta no {{sfrac|1|2}} do expoente, e a restrição da área total unitária sob a curva <math>\phi(x)</math> resulta no fator <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>. Esta função possui o [[eixo de simetria]] em {{math|1=''x'' = 0}}, onde ela atinge o seu valor máximo <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>, e tem os [[Ponto de inflexão|pontos de inflexão]] em {{math|1=''x'' = &pm;1}}.<ref name="NIST"/>

=== Desarranjo ===
{{AP|Desarranjo}}
Outra aplicação de {{mvar|e}}, também descoberta em parte por Jacob Bernoulli junto com [[Pierre Rémond de Montmort]], está no problema de [[desarranjo]]s:<ref name=":0">{{citar livro|último1=Grinstead|primeiro1= Charles M. |último2= Snell|primeiro2= James Laurie |data=1997 |url=http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html |título= Introduction to Probability |wayb=20110727200156|tipo=published online under the [[GFDL]]|publicado=American Mathematical Society |página= 85 |isbn=978-0-8218-9414-9 |autorlink2=James Laurie Snell |lingua=en}}</ref> {{mvar|n}} convidados são convidados para uma festa e, à entrada, os convidados entregam seus chapéus ao mordomo, que por sua vez coloca os chapéus em {{mvar|n}} caixas, cada uma rotulada com o nome de um convidado. No entanto, o mordomo não perguntou as identidades dos convidados e, portanto, coloca os chapéus em caixas selecionadas aleatoriamente. O problema de Montmort é encontrar a probabilidade de nenhum dos chapéus ser colocado na caixa certa. Essa probabilidade, denotada por {{mvar|p<sub>n</sub>}}, é dada por<ref name=":0" />:
:<math>p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>

Quando {{mvar|n}} tende a infinito, {{mvar|p<sub>n</sub>}} se aproxima de {{math|1/''e''}}. Além disso, o número de maneiras que os chapéus podem ser colocados nas caixas de forma que nenhum fique na caixa correta é o inteiro mais próximo de {{math|''n''!/''e''}}, para todo {{mvar|n}} positivo.<ref>{{citar livro|último=Knuth |primeiro=Donald |autorlink=Donald Knuth |ano=1997 |título=The Art of Computer Programming |títulolink=The Art of Computer Programming |volume=I |publicado=Addison-Wesley |página=183 |isbn=0-201-03801-3 |lingua=en}}</ref>

=== Problemas de planejamento ótimo ===
O valor máximo de <math>\sqrt[x]{x}</math> ocorre em {{math|1=''x'' = ''e''}}. Equivalentemente, para qualquer valor da base {{math|''b'' > 1}}, o valor máximo de {{math|''x''<sup>-1</sup>log<sub>''b''</sub> ''x''}} ocorre em {{math|1=''x'' = ''e''}} (o {{ill|en|problema de cálculo de Steiner|Steiner's calculus problem}}, discutido em {{slink||Função do tipo exponencial}}).<ref name="Anderson"/>

Isto é útil em problemas de um graveto de comprimento {{mvar|L}} que foi quebrado em {{mvar|n}} partes iguais. O valor de {{mvar|n}} que maximiza o produto de seus comprimentos é{{sfn|Finch|2003|p=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/14 14]}}
:<math>n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor</math> ou <math>\left\lceil \frac{L}{e} \right\rceil.</math>

A quantidade {{math|''x''<sup>-1</sup>log<sub>''b''</sub> ''x''}} também é uma medida de [[Teoria da informação|informação]] extraída de um evento que ocorre com probabilidade {{math|1/''x''}} (aproximadamente 36,8% quando {{math|1=''x'' = ''e''}}, de modo que essencialmente a mesma divisão ótima aparece em problemas de planejamento ótimo, como o [[problema da secretária]].<ref name="Reichert"/>

=== Assintóticos ===
O número {{mvar|e}} ocorre naturalmente em conexão com diversos outros problemas envolvendo [[análise assintótica]]. Um exemplo é a [[Fórmula de Stirling]] para a análise assintótica da função [[fatorial]], no qual ambos os números {{mvar|e}} e [[pi|{{pi}}]] aparecem:<ref name="greg">{{citar livro|primeiro=Greg |último=Gbur |ano=2011 |título=Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering |isbn=978-0-521-51610-5 |publicado=Cambridge University Press |página=779 |lingua=en}}</ref>
<math display="block>n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

Consequentemente,<ref name="greg"/>
<math display="block>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} .</math>

== Propriedades ==
=== Cálculo ===
[[Imagem:Exp derivative at 0.svg|thumb|direita|Os gráficos das funções {{math|''x'' ↦ ''a''<sup>''x''</sup>}} para quando {{math|1=''a'' = 2}} (pontilhado), {{math|1=''a'' = ''e''}} (azul), e {{math|1=''a'' = 4}} (tracejado). Todos eles passam pelo ponto {{math|(0,1)}}, mas a reta vermelha (cujo declive é {{math|1}}) somente é tangente de {{mvar|e{{sup|x}}}} neste caso]]
[[Imagem:Ln+e.svg|thumb|direita|O valor da função logarítmica natural para o logaritmando {{mvar|e}}, isto é, {{math|ln ''e''}}, é igual a {{math|1}}]]
A principal motivação para a introdução do número {{mvar|e}}, particularmente no [[cálculo]], é para realizar [[Derivada|cálculos diferenciais]] e [[Integral|integrais]] com [[Função exponencial|funções exponenciais]] e [[Logaritmo|logarítmicas]].<ref name="Kline">{{citar livro |ultimo=Kline |primeiro=Morris |titulo=Calculus: An Intuitive and Physical Approach |editora=[[Dover Publications]] |local=Mineola, Nova Iorque, EUA |ano=1998 |isbn=0-486-40453-6 |páginas=337—341 |url=https://books.google.com/books?id=YdjK_rD7BEkC&pg=PA337 |lingua=en}}</ref> A função exponencial geral {{math|''y'' {{=}} ''a''<sup>''x''</sup>}} tem uma derivada, dada pelo [[Limite de uma função|limite]]:{{sfn|Stewart|2016|pp=177–179}}
:<math>\begin{align}
  \frac{d}{dx}a^x
    &= \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{a^x a^h - a^x}{h} \\
    &= a^x \cdot \left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h - 1}{h}\right).
\end{align}</math>

O limite entre parênteses é independente da variável {{mvar|x}}. Seu valor é o logaritmo de {{mvar|a}} na base {{mvar|e}}. Portanto, quando o valor de {{mvar|a}} é igual a {{mvar|e}}, o limite é igual a {{math|1}}, e assim chega-se à simples identidade:{{sfn|Stewart|2016|p=179}}{{sfn|Anton|Bivens|Davis|2014|pp=198–199, 218}}
<math display ="block">\frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>

Assim, diferentemente de qualquer outra base, os cálculos envolvendo derivada são simplificados quando a base da função exponencial é {{mvar|e}}.{{sfn|Stewart|2016|p=179}}

Ao se considerar a derivada da função logarítmica de base {{mvar|a}} (ou seja, {{math|log<sub>''a''</sub> ''x''}}),<ref name="Kline"/> para {{math|''x'' > 0}}
:<math>\begin{align}
  \frac{d}{dx}\log_a x
    &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x + h) - \log_a(x)}{h} \\
    &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(1 + h/x)}{x\cdot h/x} \\
    &= \frac{1}{x}\log_a\left(\lim_{u\to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}\right) \\
    &= \frac{1}{x}\log_a e,
\end{align}</math>
em que foi feita a substituição {{math|1=''u'' = ''h''/''x''}}. O logaritmo de base {{mvar|a}} de {{mvar|e}} é {{math|1}}, se {{mvar|a}} for igual a {{mvar|e}}.{{sfn|Stewart|2016|p=218}} Então, simbolicamente,
<math display ="block">\frac{d}{dx}\log_e x = \frac{1}{x}.</math>

O logaritmo com esta base especial é chamado de [[logaritmo natural]], sendo denotado, geralmente, por {{math|ln}}.{{sfn|Anton|Bivens|Davis|2014|pp=56}}{{TagNota|Devido ao uso do logaritmo de base {{mvar|e}} ser generalizado na matemática por causa de suas particulares propriedades analíticas, muitas vezes {{math|log}} é utilizado para denotar {{math|log<sub>''e''</sub>}}.<ref name="MathWorldLog">{{MathWorld|NaturalLogarithm|Natural Logarithm|acessodata=2024-11-01}}</ref> Ver também {{slink|Logaritmo|Bases particulares}}.}}

[[Imagem:Area under rectangular hyperbola.svg|thumb|direita|As cinco regiões coloridas possuem a mesma área, e definem unidades de [[ângulo hiperbólico]] junto com a [[hipérbole]] {{math|1=''xy'' = 1}}.]]
A [[série de Taylor]] para a função exponencial pode ser deduzida de fato que essa função é a sua própria derivada e que é igual a 1 quando avaliada em {{math|1=''x'' = 0}}:{{sfn|Strang|Herman|2023|loc=[https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/6-3-taylor-and-maclaurin-series 6.3 Taylor and Maclaurin Series]}}
<math display="block">e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>

Definindo {{math|1=''x'' = 1}} recupera a definição de {{mvar|e}} como a soma de séries infinitas.{{sfn|Stewart|2016|p=763}}

A função logaritmo natural pode ser definida como a integral de 1 a {{mvar|x}} de {{math|1/''t''}}, e a função exponencial como a função inversa do logaritmo natural. O número {{mvar|e}} é o valor da função exponencial avaliada em {{math|1=''x'' = 1}}, ou, equivalentemente, o número no qual o logaritmo natural é 1. Disso segue que {{mvar|e}} é o único [[número real]] positivo que<ref>{{dlmf}}</ref>
<math display="block">\int_1^e \frac{1}{t} \, dt = 1.</math>

Porque {{mvar|e<sup>x</sup>}} é a única função ([[Salvo (matemática)|salvo]] pelas multiplicações por uma constante {{mvar|K}}) que é igual a sua própria [[derivada]]:
<math display="block">\frac{d}{dx}Ke^x = Ke^x,</math>
e, portanto, também por sua própria [[antiderivada]]:{{sfn|Strang|Herman|2023|loc=[https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-10-antiderivatives 4.10 Antiderivatives]}}
<math display="block">\int Ke^x\,dx = Ke^x + C .</math>

Equivalentemente, a família de funções
<math display="block">y(x) = Ke^x</math>
em que {{mvar|K}} é qualquer número real ou complexo, é a solução completa para a [[equação diferencial]]{{sfn|Stewart|2016|p=179}}
<math display="block">y' = y .</math>

=== Desigualdades ===
[[Imagem:Exponentials vs x+1.pdf|thumb|direita|As funções exponenciais {{math|1=''y'' = 2<sup>''x''</sup>}} e {{math|1=''y'' = 4<sup>''x''</sup>}} interseptam o gráfico de {{math|1=''y'' = ''x'' + 1}}, respectivamente, em {{math|1=''x'' = 1}} e {{math|1=''x'' = -1/2}}. O número {{mvar|e}} é a única base tal que {{math|1=''y'' = ''e''<sup>''x''</sup>}} intersepta apenas em {{math|1=''x'' = 0}}.  Podemos inferir que {{mvar|e}} está entre 2 e 4]]
O número {{mvar|e}} é o único número real tal que
<math display="block">\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < e < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x+1}</math>
para todo {{mvar|x}} positivo.<ref>{{citar livro|último1=Dorrie|primeiro1=Heinrich|título=100 Great Problems of Elementary Mathematics|data=1965|publicado=Dover|páginas=44–48|lingua=en}}</ref>

Da primeira das desigualdades acima resulta que
<math display="block">e^x \ge x + 1</math>
para todo {{mvar|x}} real, com a igualdade [[se, e somente se]], {{math|1=''x'' = 0}}. Tal desigualdade pode ser vista como um caso limite da [[desigualdade de Bernoulli]]. Além disso, {{mvar|e}} é a única base da exponencial {{math|''a''<sup>''x''</sup>}} tal que a desigualdade {{math|''a''<sup>''x''</sup> ≥ ''x'' + 1}} se mantém verdadeira para todo {{mvar|x}}.<ref>Um exercício comum de cálculo que utiliza o [[teorema do valor médio]]; ver, por exemplo, {{citar livro |ultimo=Apostol |primeiro=Tom M. |ano=1967 |titulo=Calculus |em=§&nbsp;6.17.41 |isbn=0 471 00005 1 |editora=John Wiley & Sons |local=Waltham, Massachusetts, EUA |lingua=en}}.</ref>

=== Função do tipo exponencial ===
[[Imagem:Xth root of x.svg|thumb|direita|250px|O [[Pontos extremos de uma função|máximo global]] de {{math|{{sqrt|''x''|''x''}}}} ocorre em {{math|1=''x'' = ''e''}}]]
O {{ill|en|problema de cálculo de Steiner|Steiner's calculus problem}} questiona o [[Pontos extremos de uma função|máximo global]] da função
<math display="block"> f(x) = x^\frac{1}{x} .</math>

Este máximo ocorre precisamente em {{math|1=''x'' = ''e''}}. Isso pode ser verificado ao notar que a derivada de {{math|ln ''f''(''x'')}} é zero somente neste valor de {{mvar|x}}.<ref name="Anderson"/>

Similarmente, {{math|1=''x'' = 1/''e''}} é onde ocorre o [[Pontos extremos de uma função|mínimo global]] da função<ref name="Anderson"/>
<math display="block"> f(x) = x^x .</math>

A [[tetração]] infinita
:<math>x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} </math> ou <math>{^\infty}x</math>
converge se e somente se {{math|''x'' ∈ [(1/''e'')<sup>''e''</sup>, ''e''<sup>1/''e''</sup>] ≈ [0,06599, 1,4447] }},<ref>{{Citar OEIS|A073230|Decimal expansion of (1/e)^e}}</ref><ref>{{Citar OEIS|A073229|Decimal expansion of e^(1/e)}}</ref> o que foi mostrado por [[Leonhard Euler]].<ref>{{citar periódico |ultimo=Euler |primeiro=Leonhard |título=De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus |periódico=Acta Acad. Scient. Petropol. 2 |páginas=29–51 |ano=1783 |pontofinal=. |lingua=la}} Reimpresso em {{citar livro |ultimo=Euler |primeiro=Leonhard |titulo=Opera Omnia, Series Prima |volume=6 Commentationes Algebraicae. |local=Leipzig, Germany |editora=Teubner |páginas=350–369 |ano=1921 |url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E532.pdf |pontofinal=. |lingua=la}}</ref><ref>{{citar periódico|último=Knoebel |primeiro=R. Arthur |data=1981 |título=Exponentials Reiterated |url=https://www.jstor.org/stable/2320546 |periódico=The American Mathematical Monthly |volume=88 |número=4 |páginas=235–252 |doi=10.2307/2320546 |jstor=2320546 |issn=0002-9890 |lingua=en}}</ref><ref name="Anderson">{{citar periódico|último=Anderson |primeiro=Joel |data=2004 |título=Iterated Exponentials |url=https://www.jstor.org/stable/4145040 |periódico=The American Mathematical Monthly |volume=111 |número=8 |páginas=668–679 |doi=10.2307/4145040 |jstor=4145040 |issn=0002-9890 |lingua=en}}</ref>

=== Números complexos ===
A [[função exponencial]] {{mvar|e<sup>x</sup>}} pode ser escrita como uma [[série de Taylor]]{{sfn|Strang|Herman|2023|loc=[https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/6-3-taylor-and-maclaurin-series 6.3 Taylor and Maclaurin Series]}}
<math display="block"> e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.</math>

Já que esta série é [[Série convergente|convergente]] para todo valor [[número complexo|complexo]] de {{mvar|x}}, é comumente utilizada para estender a definição de {{mvar|e<sup>x</sup>}} para os números complexos.<ref name="Dennery">{{citar livro|primeiro1=P. |último1=Dennery |primeiro2=A. |último2=Krzywicki |título=Mathematics for Physicists |ano=1995 |anooriginal=1967 |publicado=Dover |isbn=0-486-69193-4 |páginas=23–25 |lingua=en}}</ref> Isto, junto com a série de Taylor para [[Função trigonométrica|{{math|sen}} e {{math|cos ''x''}}]], permite que seja derivado a [[fórmula de Euler]]:
<math display="block">e^{ix} = \cos x + i\sen x ,</math>
que vale para todo complexo {{mvar|x}}.<ref name="Dennery"/> O caso especial com {{math|1=''x'' = [[pi|''{{pi}}'']]}} é a [[identidade de Euler]]:
<math display="block">e^{i\pi} + 1 = 0 ,</math>
que é considerado um exemplar de [[beleza da matemática]], já que exibe uma profunda conexão entre os números mais fundamentais da matemática. Em adição, é diretamente utilizado [[Teorema de Lindemann–Weierstrass#Transcendência de e e π|numa prova]] que {{mvar|{{pi}}}} é [[Número transcendente|transcendente]], que implica na impossibilidade da [[quadratura do círculo]].<ref>{{citar arXiv|título=The Transcendence of π and the Squaring of the Circle|último1=Milla|primeiro1=Lorenz|eprint=2003.14035|ano=2020|class=math.HO |lingua=en}}</ref><ref>{{citar web|url=https://math.colorado.edu/~rohi1040/expository/eistranscendental.pdf |wayb=20210623215444|urlmorta=não |título=e is transcendental|último=Hines |primeiro=Robert |website=University of Colorado |lingua=en}}</ref> Além disso, a identidade implica que, no principal [[Ponto de ramificação|ramo]] do logaritmo,<ref name="Dennery"/>
<math display="block">\ln (-1) = i\pi .</math>

Ademais, usando as propriedades da potenciação,
<math display="block">(\cos x + i\sen x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sen (nx) ,</math>
para qualquer inteiro {{mvar|n}}, que é a [[fórmula de De Moivre]].<ref name="Sultan"/>

As expressões {{math|cos ''x''}} e {{math|sen ''x''}} em termos da [[função exponencial]] pode ser deduzido como a série de Taylor:<ref name="Dennery"/>
<math display="block">
  \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} , \qquad
  \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}.
</math>

A expressão {{math|cos ''x'' + sen ''x''}} às vezes é abreviado como {{math|cis ''x''}}.<ref name="Sultan">{{citar livro|título=The Mathematics That Every Secondary School Math Teacher Needs to Know |primeiro1=Alan |último1=Sultan |primeiro2=Alice F. |último2=Artzt |ano=2010 |páginas=326–328 |publicado=Routledge |isbn=978-0-203-85753-3 |lingua=en}}</ref>

== Representações ==
{{AP|Lista de representações de e{{!}}Lista de representações de {{mvar|e}}}}
O número {{mvar|e}} pode ser representado de diversas maneiras: como uma [[série infinita]], um [[produtório]] infinito, uma [[fração contínua]], ou um [[limite]]. Em adição aos limites e séries dados acima, há também a fração contínua
:<math>
  e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ..., 1, 2n, 1, ...],
</math><ref>{{citar livro |último=Hofstadter |primeiro=D.R. |autorlink=Douglas Hofstadter |título=Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought |publicado=Basic Books |data=1995 |isbn=0-7139-9155-0 |lingua=en}}</ref><ref name="OEIS continued fraction">{{Citar OEIS|A003417|Continued fraction for ''e''}}</ref>

que escrito é
:<math>e = 2 +
\cfrac{1}
   {1 + \cfrac{1}
      {2 + \cfrac{1}
         {1 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
               {4 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
               {1 + \ddots}
                  }
               }
            }
         }
      }
   }
.
</math>

O seguinte produtório é avaliado como {{mvar|e}}{{sfn|Finch|2003|p=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/14 14]}}
<math display="block">e = \frac{2}{1} \left(\frac{4}{3}\right)^{1/2} \left(\frac{6 \cdot 8}{5 \cdot 7}\right)^{1/4} \left(\frac{10 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16}{9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15}\right)^{1/8} \cdots.</math>

Diversas outras representações de {{mvar|e}} como séries, produtórios, frações contínuas e limites já foram provados.{{sfn|Finch|2003|p=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/15 15]}}

=== Representações estocásticas ===
Em adição às expressões analíticas exatas para representar {{mvar|e}}, há técnicas [[Estocástico|estocásticas]] para estimar {{mvar|e}}. Uma dessas aproximações inicia com a sequência infinita de variáveis aleatórias {{math|''X''<sub>1</sub>}}, {{math|''X''<sub>2</sub>}}..., dados da [[distribuição uniforme]] em [0, 1]. Seja {{mvar|V}} o menor número {{mvar|n}} tal que a soma das primeiras {{mvar|n}} observações exceda 1:
<math display="block">V = \min\left\{ n \mid X_1 + X_2 + \cdots + X_n > 1 \right\}.</math>

Então o [[valor esperado]] de {{mvar|V}} é {{mvar|e}}: {{math|1=E(''V'') = ''e''}}.<ref>{{citar periódico |último=Russell |primeiro= K.G. |jstor=2685243 |título=Estimating the Value of e by Simulation |periódico=The American Statistician |volume=45 |número=1 |data=fevereiro de 1991 |páginas=66–68 |doi=10.1080/00031305.1991.10475769 |lingua=en}}</ref><ref>{{citar web |ultimo=Dinov |primeiro=ID |ano=2007 |url=http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/SOCR_EduMaterials_Activities_LawOfLargeNumbers#Estimating_e_using_SOCR_simulation |titulo=Estimating e using SOCR simulation |publicado=SOCR Hands-on Activities |acessodata=2007-12-26 |lingua=en}}</ref>

=== Dígitos conhecidos ===
O número de dígitos conhecidos de {{mvar|e}} aumentou substancialmente durante a última década. Isso foi devido tanto ao aumento do desempenho dos computadores quanto a melhorias nos algoritmos.<ref>{{citar web |ultimo1=Sebah |primeiro1=Pascal |ultimo2=Gourdon |primeiro2=Xavier |titulo=The constant e and its computation |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html |data=2001-12-14 |website=Numbers, constants and computation |lingua=en}}</ref><ref>{{citar web |ultimo=Gourdon |primeiro=Xavier |titulo=Reported large computations with PiFast |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/computations.html |data=2003-10-14 |website=Numbers, constants and computation |lingua=en}}</ref>

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ Número de dígitos decimais conhecidos de {{mvar|e}}
! Data || Dígitos decimais || Computação realizada por
|-
| 1690 ||align=right| 1 || [[Jacob Bernoulli]]<ref name="Bernoulli, 1690" />
|-
| 1714 ||align=right| 13 || [[Roger Cotes]]<ref>{{citar periódico |primeiro=Roger |ultimo=Cotes |ano=1714 |titulo=Logometria |periódico=[[Philosophical Transactions of the Royal Society]] |volume=29 |número=338 |páginas=5–45 |pontofinal=, |lingua=la |jstor=103030 |jstor-access=free}} ver especificamente no final da página 10. ''"Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … "'' (Além disso, da mesma forma, a relação é entre 2,718281828459… e 1, … )</ref>
|-
| 1748 ||align=right| 23 || [[Leonhard Euler]]<ref>{{citar livro |primeiro=Leonhard |ultimo=Euler |titulo=Introductio in Analysin Infinitorum |local=Lausanne, Suiça |editora=Marc Michel Bousquet & Co. |ano=1748 |volume=1 |url=https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ/page/n115 |página=90 |lingua=la}}</ref>
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| 1853 ||align=right| 137 || [[William Shanks]]<ref>{{citar livro |primeiro=William |ultimo=Shanks |titulo=Contributions To Mathematics, Comprising Chiefly the Rectification of the Circle |local=Londres, Inglaterra |editora=G. Bell |ano=1853 |url=https://books.google.com/books?id=d-9ZAAAAcAAJ&pg=PA89 |página=89 |lingua=en}}</ref>
|-
| 1871 ||align=right| 205 || William Shanks<ref>{{citar periódico |primeiro=William |ultimo=Shanks |ano=1871 |url=https://books.google.com/books?id=sclTAAAAcAAJ&pg=PA27 |titulo=On the numerical values of ''e'', log<sub>''e''</sub> 2, log<sub>''e''</sub> 3, log<sub>''e''</sub> 5, and log<sub>''e''</sub> 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals |periódico=Proceedings of the Royal Society of London |volume=20 |páginas=27–29 |lingua=en}}</ref>
|-
| 1884 ||align=right| 346 || J. Marcus Boorman<ref>{{citar periódico |primeiro=J. Marcus |ultimo=Boorman |data=outubro de 1884 |url=https://books.google.com/books?id=mG8yAQAAMAAJ&pg=PA204 |titulo=Computation of the Naperian base |periódico=Mathematical Magazine |volume=1 |numero=12 |paginas=204–205 |lingua=en}}</ref>
|-
| 1949 ||align=right| 2010 || [[John von Neumann]] (no [[ENIAC]])<ref>{{citar livro |autor=Reitwiesner, George W. |capítulo=An ENIAC Determination of pi and e to more than 2000 Decimal Places |título=Pi: A Source Book |ano=2000 |publicado=Springer New York |local=New York, NY |páginas=277–281 |isbn=978-1-4757-3240-5 |doi=10.1007/978-1-4757-3240-5_34 |url=https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3240-5_34}}</ref>
|-
| 1961 ||align=right| 100 265 || [[Daniel Shanks]] e [[John Wrench]]<ref>{{citar periódico|autor=Daniel Shanks and John W Wrench|citação=We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program|título=Calculation of Pi to 100,000 Decimals|periódico=Mathematics of Computation|volume= 16 |ano=1962|número=77|páginas=76–99 (78)|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf|doi=10.2307/2003813|jstor=2003813|lingua=en}}</ref>
|-
| 1978 ||align=right| 116 000 || [[Steve Wozniak]] no [[Apple II]]<ref name="wozniak198106">{{citar jornal| url=https://archive.org/stream/byte-magazine-1981-06/1981_06_BYTE_06-06_Operating_Systems#page/n393/mode/2up |título=The Impossible Dream: Computing ''e'' to 116,000 Places with a Personal Computer |obra=BYTE |data=junho de 1981 |acessodata=18 de outubro de 2013 |autor=Wozniak, Steve |páginas=392 |lingua=en}}</ref>
|}

Desde 2010, a proliferação de [[Computador pessoal|computadores pessoais]] modernos de alta velocidade, tornou-se viável que amadores computassem trilhões de dígitos de {{mvar|e}} numa quantidade aceitável de tempo. Em 5 de dezembro de 2020, um cálculo recorde foi feito, tendo sido calculado {{fmtn|31415926535897}} (aproximadamente {{mvar|π}}&nbsp;{{e|13}}) dígitos de {{mvar|e}}.<ref>{{citar web |ultimo=Yee |primeiro=Alexander |url=http://www.numberworld.org/digits/E/ |titulo=e |acessodata=2023-11-20 |wayb=20230924203332|lingua=en}}</ref>

== Computar os dígitos ==
Uma maneira de computar os dígitos de {{mvar|e}} é com a série{{sfn|Finch|2003|p=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/12 12]}}
<math display=block>e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}.</math>

Um método mais rápido que envolve duas funções recursivas {{math|''p''(''a'', ''b'')}} e {{math|''q''(''a'', ''b'')}}. As funções são definidas como
:<math>\begin{bmatrix}p(a,b)\\q(a,b)\end{bmatrix}= \begin{cases} \begin{bmatrix}1\\b\end{bmatrix}, & \text{se }b=a+1\text{,} \\ \begin{bmatrix}p(a,m)q(m,b)+p(m,b)\\q(a,m)q(m,b)\end{bmatrix}, & \mathrm{caso\ contr\acute{a}rio,} \end{cases}</math>
em que {{math|1=''m'' = {{piso|(''a'' + ''b'')/2}}}}.{{sfn|Finch|2003|pp=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/12 12-13]}}

A expressão
<math display=block>1+\frac{p(0,n)}{q(0,n)}</math>
produz a {{mvar|n}}-ésima soma parcial da série acima. Este método utiliza {{ill|en|Divisão binária (matemática)|Binary splitting|divisão binária}} para computar {{mvar|e}} com menos operações aritméticas de dígito único e, portanto, reduzindo a complexidade por unidades. Combinando com métodos baseados na [[transformada rápida de Fourier]] de multiplicar inteiros deixa a computação dos dígitos bem rápida.{{sfn|Finch|2003|pp=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/12 12-13]}}

== Na cultura computacional ==
Durante o surgimento da [[cibercultura]], o número {{mvar|e}} tem recebido homenagens ao longo da história, refletindo sua importância em diversas áreas.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.nature.com/articles/s41567-019-0655-9 |título=e is everywhere |data=setembro de 2019 |acessodata=2024-11-01 |periódico=Nature Physics |número=9 |ultimo=Reichert |primeiro=Stefanie |paginas=982–982 |lingua=en |doi=10.1038/s41567-019-0655-9 |issn=1745-2473}}</ref>

Um antigo exemplo é do cientista da computação [[Donald Knuth]] fez que o número da versão do seu programa [[Metafont]] se aproximasse de {{mvar|e}}. As versões eram 2, 2.7, 2.71, 2.718, e assim por diante.<ref>{{citar periódico |título=The Future of TeX and Metafont |primeiro=Donald |último=Knuth |autorlink=Donald Knuth |periódico=TeX Mag |volume=5 |número=1 |página=145 |data=1990-10-03 |url=http://www.ntg.nl/maps/05/34.pdf |acessodata=2017-02-17 |lingua=en}}</ref>

Noutra instância, a [[oferta pública inicial]] do Google em 2004, em vez de um valor redondo de dinheiro, a empresa anunciou que a intenção era de aumentar {{fmtn|2718281828|[[USD]]}}, que é o arredondamento de {{mvar|e}} bilhões de dolares.<ref>{{citar periódico|último=Roberge |primeiro=Jonathan |último2=Melançon |primeiro2=Louis |data=junho de 2017 |título=Being the King Kong of algorithmic culture is a tough job after all: Google’s regimes of justification and the meanings of Glass |url=http://journals.sagepub.com/doi/10.1177/1354856515592506 |periódico=Convergence: The International Journal of Research into New Media Technologies |língua=en |volume=23 |número=3 |páginas=306–324 |doi=10.1177/1354856515592506 |issn=1354-8565}}</ref>

O Google também foi responsável por um ''outdoor''<ref>{{citar web|url=http://braintags.com/archives/2004/07/first-10digit-prime-found-in-consecutive-digits-of-e/|título=First 10-digit prime found in consecutive digits of {{math|e}}|website=Brain Tags|acessodata=2012-02-24|wayb=20131203102744|lingua=en}}</ref> que apareceu no coração do [[Vale do Silício]], e posteriormente em [[Cambridge]], [[Massachusetts]]; [[Seattle]], [[Washington]]; e [[Austin]], [[Texas]]. Ele dizia "{first 10-digit prime found in consecutive digits of {{mvar|e}}}.com" ({{lit}} primeiro [[número primo]] de 10 dígitos encontrado em dígitos consecutivos de {{mvar|e}}). O primeiro número primo de 10 dígitos em {{mvar|e}} é 7427466391, que começa no 99.º dígito.<ref>{{citar web |primeiro=Marcus |último=Kazmierczak |título=Google Billboard |publicado=mkaz.com |data=2004-07-29 |url=http://mkaz.com/math/google-billboard |acessodata=2007-06-09 |lingua=en |wayb=20100923111259|urlmorta=sim}}</ref> Resolver esse problema e visitar o site anunciado (agora desativado) levou a um problema ainda mais difícil de resolver, que consistia em encontrar o quinto termo na sequência 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Descobriu-se que a sequência consistia em números de 10 dígitos encontrados em dígitos consecutivos de {{mvar|e}}, cuja soma dos dígitos era 49. O quinto termo na sequência é 5966290435, que começa no 127.º dígito.<ref>{{citar web |url=http://explorepdx.com/firsten.html |titulo=The first 10-digit prime in {{math|e}} |wayb=20210411010312|website=Explore Portland Community |acessodata=2020-12-09 |lingua=en}}</ref> Resolver esse segundo problema levou finalmente a uma página da [[Google Labs]] onde o visitante era convidado a enviar um currículo.<ref>{{citar jornal|primeiro=Andrea |último=Shea |título=Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle |obra=NPR |url=https://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=3916173 |acessodata=2007-06-09 |lingua=en}}</ref>

{{Notas}}

{{Referências}}

=== Bibliografia ===
{{InícioRef|indentação=sim}}
* {{citar livro|titulo=Cálculo|ultimo=Anton|primeiro=Howard|ultimo2=Bivens|primeiro2=Irl|ultimo3=Davis|primeiro3=Stephen|tradutor-ultimo=Doering|tradutor-primeiro=Claus Ivo|data=2014|editora=Bookman|volume=I|edição=10.ª|local=Porto Alegre, RS, Brasil|isbn=978-85-8260-226-3|ref=harv}}
* {{citar livro |último=Finch |primeiro=Steven R. |url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc |acessourl=registro |título=Mathematical constants |data=2003 |local=Cambridge, Reino Unido |publicado=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-81805-6 |oclc=180072364 |lingua=en |ref=harv}}
* {{citar livro |ultimo=Stewart |primeiro=James |autorlink=James Stewart (matemático) |data=2016 |titulo=Calculus: Early Transcendentals |edição=8.ª |lingua=en |local=Boston, MA, EUA |editora=Cengage Learning |isbn=978-1-285-74155-0 |ref=harv}}
* {{citar livro|primeiro1=Gilbert |último1=Strang |primeiro2=Edwin |último2=Herman |título=Calculus, volume 2 |publicado=OpenStax |numero-autores=etal |ano=2023 |isbn=978-1-947172-14-2 |lingua=en |ref=harv}}
{{RefFim}}

== Leitura adicional ==
{{InícioRef|indentação=sim}}
* {{citar livro |ultimo=Maor |primeiro=Eli |ano=1998 |anooriginal=1994 |título={{mvar|e}}: The Story of a Number |local=[[Princeton]], Nova Jérsia, EUA |publicado=Princeton University Press |isbn=0-691-05854-7}}
* {{citar periódico|autor=McCartin, Brian J.|título=e: The Master of All|periódico=The Mathematical Intelligencer|volume=28|ano=2006|número= 2|páginas=10–21|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Chauvenet/mccartin.pdf|doi=10.1007/bf02987150|s2cid=123033482}}
{{RefFim}}

==Ligações externas==
{{Commonscat|e (mathematical constant)|{{mvar|e}} (constante matemática)}}
* <!-- https://www.gutenberg.org/ebooks/127 -->[https://web.archive.org/web/20070210095028/http://www.gutenberg.org/ebooks/127 1 milhão de casas decimais do número {{mvar|e}}] e [https://apod.nasa.gov/htmltest/rjn_dig.html NASA.gov] para 2, 5 e 10 milhões de casas decimais {{en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/eApproximations.html Aproximações de {{mvar|e}}] {{en}} no Wolfram MathWorld
* [http://jeff560.tripod.com/constants.html Primeiros usos de símbolos para constantes] {{en}} 13 de janeiro de 2008
* [http://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/the-story-of-e A história de {{mvar|e}}] {{en}}, por Robin Wilson no Gresham College, 28 de fevereiro de 2007 (download disponível do áudio e vídeo)
* [http://pisearch.org/e Ferramenta de busca de {{mvar|e}}] {{en}} 2 bilhões de dígitos pesquisáveis de {{mvar|e}}, {{pi}} e {{radic|2}}

{{Número irracional}}
{{Controle de autoridade}}

[[Categoria:E (constante matemática)| ]]
[[Categoria:Leonhard Euler]]
[[Categoria:Constantes matemáticas]]
[[Categoria:Números transcendentais]]