Função trigonométrica: diferenças entre revisões

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Revisão das 20h52min de 9 de dezembro de 2024

Na matemática, as funções trigonométricas (também chamadas de funções circulares, funções angulares ou funções goniométricas)^[1] são funções reais que relacionam um ângulo de um triângulo retângulo a razões de dois comprimentos laterais. Elas são amplamente utilizadas em todas as ciências relacionadas à geometria, como navegação, mecânica dos sólidos, mecânica celeste, geodésia e muitas outras. Elas estão entre as funções periódicas mais simples e, como tal, também são amplamente utilizadas para estudar fenômenos periódicos por meio da análise de Fourier.

As funções trigonométricas mais amplamente usadas na matemática moderna são as funções de seno, de cosseno e de tangente. Suas recíprocas são respectivamente as funções de cossecante, de secante, e de cotangente, que são menos usadas. Cada uma dessas seis funções trigonométricas tem uma função inversa correspondente, e uma análoga entre as funções hiperbólicas.

As definições mais antigas de funções trigonométricas, relacionadas a triângulos retângulos, as definem apenas para ângulos agudos. Para estender as funções de seno e de cosseno para funções cujo domínio é toda a reta real, definições geométricas usando o círculo unitário padrão (ou seja, um círculo com raio de 1 unidade) são frequentemente usadas; então o domínio das outras funções é a reta real com alguns pontos isolados removidos. Definições modernas expressam funções trigonométricas como séries infinitas ou como soluções de equações diferenciais. Isso permite estender o domínio das funções de seno e de cosseno para todo o plano complexo, e o domínio das outras funções trigonométricas para o plano complexo com alguns pontos isolados removidos.

Notação

Convencionalmente, uma abreviação do nome de cada função trigonométrica é usada como seu símbolo em fórmulas. Hoje, as versões mais comuns dessas abreviações são "sen" para seno, "cos" para cosseno, "tan" ou "tg" para tangente, "sec" para secante, "csc" ou "cosec" para cossecante e "cot" ou "ctg" para cotangente. Historicamente, essas abreviações foram usadas pela primeira vez em frases em prosa para indicar segmentos de linha específicos ou seus comprimentos relacionados a um arco de um círculo arbitrário e, mais tarde, para indicar proporções de comprimentos, mas à medida que o conceito de função se desenvolveu nos séculos XVII e XVIII, elas começaram a ser consideradas como funções de medidas de ângulos com valores numéricos reais e escritas com notação funcional, por exemplo, $sen(x)$ . Parênteses ainda são frequentemente omitidos para reduzir a desordem, mas às vezes são necessários; por exemplo, a expressão $\operatorname {sen} x+y$ normalmente seria interpretada como $\operatorname {sen}(x)+y,$ então parênteses são necessários para expressar $\operatorname {sen}(x+y)$ .

Um inteiro positivo aparecendo como um sobrescrito após o símbolo da função denota exponenciação, não composição de função. Por exemplo, $\operatorname {sen} ^{2}x$ e $\operatorname {sen} ^{2}(x)$ denotam $\operatorname {sen}(x)\cdot \operatorname {sen}(x)$ , não $\operatorname {sen}(\operatorname {sen} x)$ . Isso difere da notação funcional geral (historicamente posterior) em que $f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x))$ .

No entanto, o expoente ${-1}$ é comumente usado para denotar a função inversa, não a recíproca. Por exemplo, $\operatorname {sen} ^{-1}x$ e $\operatorname {sen} ^{-1}(x)$ denotam a função trigonométrica inversa escrita alternativamente ${\text{arcsen }}x$ : A equação $\theta =\operatorname {sen} ^{-1}x$ implica $\operatorname {sen} \theta =x,$ não $\theta \cdot \operatorname {sen} x=1$ . Neste caso, o sobrescrito pode ser considerado como denotando uma função iterada ou composta, mas sobrescritos negativos diferentes de ${-1}$ não são de uso comum.

Definições de triângulo retângulo

Neste triângulo retângulo, denotando a medida do ângulo BAC como A: $sen A = a c$ ; $cos A = b c$ ; $tan A = a b$ .

Gráfico (em inglês) das seis funções trigonométricas, o círculo unitário e uma reta para o ângulo $θ = 0,7 radianos$ . Os pontos rotulados 1, Sec(θ), Csc(θ) representam o comprimento do segmento de reta da origem até aquele ponto. Sin(θ), Tan(θ), e 1 são as alturas da reta começando do eixo $x$ , enquanto Cos(θ), 1, e Cot(θ) são comprimentos ao longo do eixo $x$ começando da origem.

Se o ângulo agudo $θ$ for dado, então quaisquer triângulos retângulos que tenham um ângulo de $θ$ são semelhantes entre si. Isso significa que a razão de quaisquer dois comprimentos laterais depende apenas de $θ$ . Assim, essas seis razões definem seis funções de $θ$ , que são as funções trigonométricas. Nas definições a seguir, a hipotenusa é o comprimento do lado oposto ao ângulo reto, oposto representa o lado oposto ao ângulo $θ$ dado, e adjacente representa o lado entre o ângulo $θ$ e o ângulo reto.^[2]^[3]

seno $\operatorname {sen} \theta ={\frac {\mathrm {oposto} }{\mathrm {hipotenusa} }}$	cossecante $\csc \theta ={\frac {\mathrm {hipotenusa} }{\mathrm {oposto} }}$
cosseno $\cos \theta ={\frac {\mathrm {adjacente} }{\mathrm {hipotenusa} }}$	secante $\sec \theta ={\frac {\mathrm {hipotenusa} }{\mathrm {adjacente} }}$
tangente $\tan \theta ={\frac {\mathrm {oposto} }{\mathrm {adjacente} }}$	cotangente $\cot \theta ={\frac {\mathrm {adjacente} }{\mathrm {oposto} }}$

Vários mnemônicos podem ser usados para lembrar essas definições.

Em um triângulo retângulo, a soma dos dois ângulos agudos é um ângulo reto, ou seja, $90°$ ou ⁠ $π 2 radianos$ . Portanto, $\operatorname {sen}(\theta )$ e $\cos(90^{\circ }-\theta )$ representam a mesma razão e, portanto, são iguais. Essa identidade e relações análogas entre as outras funções trigonométricas são resumidas na tabela a seguir.

Resumo das relações entre funções trigonométricas^[4]
Função	Descrição	Relação
Função	Descrição	usando radianos	usando graus
seno	$oposto hipotenusa$	$\operatorname {sen} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}$	$\operatorname {sen} x=\cos \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\csc x}}$
cosseno	$adjacente hipotenusa$	$\cos \theta =\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,$	$\cos x=\operatorname {sen} \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,$
tangente	$oposto adjacente$	$\tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}$	$\tan x={\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}$
cotangente	$adjacente oposto$	$\cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot x={\frac {\cos x}{\operatorname {sen} x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}$
secante	$hipotenusa adjacente$	$\sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}$	$\sec x=\csc \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cos x}}$
cossecante	$hipotenusa oposto$	$\csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}$	$\csc x=\sec \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\operatorname {sen} x}}$

Radianos versus graus

Nas aplicações geométricas, o argumento de uma função trigonométrica é geralmente a medida de um ângulo. Para esse propósito, qualquer unidade angular é conveniente. Uma unidade comum é graus, em que um ângulo reto é 90° e uma volta completa é 360° (particularmente na matemática elementar).

No entanto, no cálculo e na análise matemática, as funções trigonométricas são geralmente consideradas mais abstratamente como funções de números reais ou complexos, em vez de ângulos. De fato, as funções $sen$ e $cos$ podem ser definidas para todos os números complexos em termos da função exponencial, via séries de potências,^[5] ou como soluções para equações diferenciais dados valores iniciais particulares^[6] (veja abaixo), sem referência a quaisquer noções geométricas. As outras quatro funções trigonométricas ( $tan$ , $cot$ , $sec$ , $csc$ ) podem ser definidas como quocientes e recíprocas de $sen$ e $cos$ , exceto onde zero ocorre no denominador. Pode ser provado, para argumentos reais, que essas definições coincidem com definições geométricas elementares se o argumento for considerado um ângulo em radianos.^[5] Além disso, essas definições resultam em expressões simples para as derivadas e integrais indefinidas para as funções trigonométricas.^[7] Assim, nos cenários além da geometria elementar, radianos são considerados a unidade matematicamente natural para descrever medidas de ângulos.

Quando radianos (rad) são empregados, o ângulo é dado como o comprimento do arco do círculo unitário subtendido por ele: o ângulo que subtende um arco de comprimento 1 no círculo unitário é 1 rad (≈ 57,3°), e uma volta completa (360°) é um ângulo de 2 $π$ (≈ 6,28) rad. Para o número real x, a notação $sen x$ , $cos x$ , etc. refere-se ao valor das funções trigonométricas avaliadas em um ângulo de x rad. Se unidades de graus forem pretendidas, o sinal de grau deve ser explicitamente mostrado ( $sen x°$ , $cos x°$ , etc.). Usando essa notação padrão, o argumento x para as funções trigonométricas satisfaz a relação x = (180x/ $π$ )°, de modo que, por exemplo, $sen π = sen 180°$ quando tomamos x = $π$ . Dessa forma, o símbolo de grau pode ser considerado uma constante matemática tal que 1° = $π$ /180 ≈ 0,0175.

Definições de círculo unitário

Todas as funções trigonométricas do ângulo $θ$ (teta) podem ser construídas geometricamente em termos de um círculo unitário centrado em O.

As seis funções trigonométricas podem ser definidas como valores de coordenadas de pontos no plano euclidiano que estão relacionados ao círculo unitário, que é o círculo de raio um centrado na origem $O$ deste sistema de coordenadas. Enquanto as definições de triângulo retângulo permitem a definição das funções trigonométricas para ângulos entre $0$ e ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ radianos $(90°)$ , as definições do círculo unitário permitem que o domínio das funções trigonométricas seja estendido a todos os números reais positivos e negativos.

Seja ${\mathcal {L}}$ o raio obtido pela rotação de um ângulo $θ$ da metade positiva do eixo $x$ (rotação anti-horária para $\theta >0$ , e rotação horária para $\theta <0$ ). Este raio intercepta o círculo unitário no ponto $\mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} })$ . O raio ${\mathcal {L}}$ , estendido para uma reta se necessário, intercepta a reta da equação $x=1$ no ponto $\mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} })$ , e a reta da equação $y=1$ no ponto $\mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1)$ . A reta tangente ao círculo unitário no ponto $A$ , é perpendicular a ${\mathcal {L}}$ , e intercepta os eixos $y$ e $x$ nos pontos $\mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })$ e $\mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0)$ . As coordenadas desses pontos fornecem os valores de todas as funções trigonométricas para qualquer valor real arbitrário de $θ$ da seguinte maneira.

As funções trigonométricas de $cos$ e $sen$ são definidas, respectivamente, como os valores das coordenadas x e y do ponto $A$ . Ou seja,

\cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad

e

\quad \operatorname {sen} \theta =y_{\mathrm {A} }

.^[9]

No intervalo $0\leq \theta \leq \pi /2$ , esta definição coincide com a definição do triângulo retângulo, tomando o triângulo retângulo como tendo o raio unitário $OA$ como hipotenusa. E como a equação $x^{2}+y^{2}=1$ vale para todos os pontos $\mathrm {P} =(x,y)$ no círculo unitário, esta definição de cosseno e seno também satisfaz a identidade pitagórica.

\cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1

As outras funções trigonométricas podem ser encontradas ao longo do círculo unitário como

\tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad

e

\quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} }

,

\csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad

e

\quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }

.

Ao aplicar os métodos de identidade pitagórica e de prova geométrica, essas definições podem ser facilmente demonstradas como coincidentes com as definições de tangente, cotangente, secante e cossecante em termos de seno e cosseno, ou seja:

\tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}

.

Como uma rotação de um ângulo de $\pm 2\pi$ não altera a posição ou o tamanho de uma forma, os pontos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , e $E$ são os mesmos para dois ângulos cuja diferença é um múltiplo inteiro de $2\pi$ . Assim, as funções trigonométricas são funções periódicas com período $2\pi$ . Ou seja, as igualdades

\operatorname {sen} \theta =\operatorname {sen} \left(\theta +2k\pi \right)\quad

e

\quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)

valem para qualquer ângulo $θ$ e qualquer inteiro $k$ . O mesmo é verdade para as outras quatro funções trigonométricas. Observando o sinal e a monotonicidade das funções de seno, cosseno, cossecante e secante nos quatro quadrantes, pode-se mostrar que $2\pi$ é o menor valor para o qual elas são periódicas (ou seja, $2\pi$ é o período fundamental dessas funções). No entanto, após uma rotação de um ângulo $\pi$ , os pontos $B$ e $C$ já retornam à sua posição original, de modo que a função de tangente e a função de cotangente têm um período fundamental de $\pi$ . Isto é, as igualdades

\tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad

e

\quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )

valem para qualquer ângulo $θ$ e qualquer inteiro $k$ .

Valores algébricos

As expressões algébricas para os ângulos mais importantes são as seguintes:

\operatorname {sen} 0=\operatorname {sen} 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0

(ângulo zero/nulo)

\operatorname {sen} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {sen} 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}

\operatorname {sen} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {sen} 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

\operatorname {sen} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {sen} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}

\operatorname {sen} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {sen} 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1

(ângulo reto)

Escrever os numeradores como raízes quadradas de inteiros não negativos consecutivos, com um denominador de 2, fornece uma maneira fácil de lembrar os valores.^[10]

Essas expressões simples geralmente não existem para outros ângulos que são múltiplos racionais de um ângulo reto.

Para um ângulo que, medido em graus, é um múltiplo de três, os valores trigonométricos exatos do seno e do cosseno podem ser expressos em termos de raízes quadradas. Esses valores do seno e do cosseno podem, portanto, ser construídos por régua e compasso.
Para um ângulo de um número inteiro de graus, o seno e o cosseno podem ser expressos em termos de raízes quadradas e da raiz cúbica de um número complexo que não é real. A teoria de Galois permite uma prova de que, se o ângulo não for um múltiplo de 3°, raízes cúbicas que não são reais são inevitáveis.
Para um ângulo que, expresso em graus, é um número racional, o seno e o cosseno são números algébricos, que podem ser expressos em termos de raízes $n$ -ésimas. Isso resulta do fato de que os grupos de Galois dos polinômios ciclotômicos são cíclicos.
Para um ângulo que, expresso em graus, não é um número racional, então o ângulo ou tanto o seno quanto o cosseno são números transcendentais. Este é um corolário do teorema de Baker, provado em 1966.

Valores algébricos simples

A tabela a seguir lista os senos, cossenos e tangentes de múltiplos de 15 graus de 0 a 90 graus.

Ângulo, θ, em		$\operatorname {sen}(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$
radianos	graus	$\operatorname {sen}(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$1$	$0$
${\frac {\pi }{12}}$	$15^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	$2-{\sqrt {3}}$
${\frac {\pi }{6}}$	$30^{\circ }$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
${\frac {\pi }{4}}$	$45^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ^[a]	$1$
${\frac {\pi }{3}}$	$60^{\circ }$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
${\frac {5\pi }{12}}$	$75^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	$2+{\sqrt {3}}$
${\frac {\pi }{2}}$	$90^{\circ }$	$1$	$0$	Indefinido

Periodicidade e assíntotas

As funções de cosseno e de seno são periódicas, com período $2\pi$ , que é o menor período positivo: $\cos(z+2\pi )=\cos(z),\quad \operatorname {sen}(z+2\pi )=\operatorname {sen}(z)$ Consequentemente, a secante e a cossecante também têm $2\pi$ como seu período. As funções de seno e de cosseno também têm semiperíodos $\pi$ , e: $\cos(z+\pi )=-\cos(z),\quad \operatorname {sen}(z+\pi )=-\operatorname {sen}(z)$ Segue-se, portanto, que $\tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z)$ bem como outras identidades, como $\cos ^{2}(z+\pi )=\cos ^{2}(z),\quad \operatorname {sen} ^{2}(z+\pi )=\operatorname {sen}(z),\quad \cos(z+\pi )\operatorname {sen}(z+\pi )=\cos(z)\operatorname {sen}(z)$ Também temos: $\cos(x+\pi /2)=-\operatorname {sen}(x),\quad \operatorname {sen}(x+\pi /2)=\cos(x)$ A função $\operatorname {sen}(z)$ tem um zero único (em $z=0$ ) na faixa $-\pi <\Re (z)<\pi$ . A função $\cos(z)$ tem o par de zeros $z=\pm \pi /2$ no mesmo domínio. Devido à periodicidade, os zeros de seno são: $\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C}$ Os zeros de cosseno são: ${\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C}$ Todos os zeros são zeros simples, e cada função tem derivada $\pm 1$ em cada um dos zeros.

A função de tangente $\tan(z)=\operatorname {sen}(z)/\cos(z)$ tem um zero simples em $z=0$ e assíntotas verticais em $z=\pm \pi /2$ , onde tem um polo simples de resíduo $-1$ . Novamente, devido à periodicidade, os zeros são todos os múltiplos inteiros de $\pi$ e os polos são múltiplos ímpares de $\pi /2$ , todos tendo o mesmo resíduo. Os polos correspondem a assíntotas verticais $\lim _{x\to \pi ^{-}}\tan(x)=+\infty ,\quad \lim _{x\to \pi ^{+}}\tan(x)=-\infty$ A função de cotangente $\cot(z)=\cos(z)/\operatorname {sen}(z)$ tem um polo simples de resíduo 1 nos múltiplos inteiros de $\pi$ e zeros simples nos múltiplos ímpares de $\pi /2$ . Os polos correspondem às assíntotas verticais $\lim _{x\to 0^{-}}\cot(x)=-\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{+}}\cot(x)=+\infty$

Identidades básicas

Muitas identidades inter-relacionam as funções trigonométricas. Esta seção contém as mais básicas; para mais identidades, veja Lista de identidades trigonométricas. Essas identidades podem ser provadas geometricamente a partir das definições de círculo unitário ou de triângulo retângulo (embora, para as últimas definições, deva-se tomar cuidado com ângulos que não estejam no intervalo $[0, π /2]$ , veja Provas de identidades trigonométricas). Para provas não geométricas usando apenas ferramentas de cálculo, pode-se usar diretamente as equações diferenciais, de uma forma semelhante à da prova acima da identidade de Euler. Também se pode usar a identidade de Euler para expressar todas as funções trigonométricas em termos de exponenciais complexos e usar propriedades da função exponencial.

Paridade

O cosseno e a secante são funções pares; as outras funções trigonométricas são funções ímpares. Isto é:

{\begin{aligned}\operatorname {sen}(-x)&=-\operatorname {sen} x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x\end{aligned}}

Períodos

Todas as funções trigonométricas são funções periódicas de período $2 π$ . Este é o menor período, exceto para a tangente e a cotangente, que têm $π$ como menor período. Isto significa que, para cada inteiro $k$ , tem-se:

{\begin{array}{lrl}\operatorname {sen}(x+&2k\pi )&=\operatorname {sen} x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x\end{array}}

Identidade pitagórica

A identidade de Pitágoras é a expressão do teorema de Pitágoras em termos de funções trigonométricas. É

\operatorname {sen} ^{2}x+\cos ^{2}x=1

.

Dividindo por $\cos ^{2}x$ ou $\operatorname {sen} ^{2}x$ resulta

\tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x

e

1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x

.

Fórmulas de soma e diferença

As fórmulas de soma e diferença permitem expandir o seno, o cosseno e a tangente de uma soma ou uma diferença de dois ângulos em termos de senos e cossenos e tangentes dos próprios ângulos. Elas podem ser derivadas geometricamente, usando argumentos que datam de Ptolomeu. Também é possível produzi-las algebricamente usando a fórmula de Euler.

Soma: ${\begin{aligned}\operatorname {sen} \left(x+y\right)&=\operatorname {sen} x\cos y+\cos x\operatorname {sen} y\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\operatorname {sen} x\operatorname {sen} y\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}\end{aligned}}$
Diferença: ${\begin{aligned}\operatorname {sen} \left(x-y\right)&=\operatorname {sen} x\cos y-\cos x\operatorname {sen} y\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\operatorname {sen} x\operatorname {sen} y\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}\end{aligned}}$

Quando os dois ângulos são iguais, as fórmulas de soma se reduzem a equações mais simples, conhecidas como fórmulas de ângulo duplo.

{\begin{aligned}\operatorname {sen} 2x&=2\operatorname {sen} x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\operatorname {sen} ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}\end{aligned}}

Essas identidades podem ser usadas para derivar as identidades de produto-soma.

Ao definir $t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta$ , todas as funções trigonométricas de $\theta$ podem ser expressas como frações racionais de $t$ :

{\begin{aligned}\operatorname {sen} \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}}\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}\end{aligned}}

Junto com

d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt

esta é a substituição de meio-ângulo tangente, que reduz o cálculo de integrais e antiderivadas de funções trigonométricas ao de frações racionais.

Derivadas e antiderivadas

As derivadas de funções trigonométricas resultam daquelas de seno e cosseno aplicando a regra do quociente. Os valores dados para as antiderivadas na tabela a seguir podem ser verificados diferenciando-as. O número $C$ é uma constante de integração.

$f(x)$	$f'(x)$	${\textstyle \int f(x)\,dx}$
$\operatorname {sen} x$	$\cos x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$-\operatorname {sen} x$	$\operatorname {sen} x+C$
$\tan x$	$\sec ^{2}x$	$\ln \left\|\sec x\right\|+C$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	$\ln \left\|\csc x-\cot x\right\|+C$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$\ln \left\|\sec x+\tan x\right\|+C$
$\cot x$	$-\csc ^{2}x$	$-\ln \left\|\csc x\right\|+C$

Nota: Para $0<x<\pi$ a integral de $\csc x$ também pode ser escrita como $-\operatorname {arsenh} (\cot x)$ , e para a integral de $\sec x$ para $-\pi /2<x<\pi /2$ como $\operatorname {arsenh} (\tan x)$ , onde $\operatorname {arsenh}$ é o seno hiperbólico inverso.

Alternativamente, as derivadas das 'cofunções' podem ser obtidas usando identidades trigonométricas e a regra de cadeia:

{\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\operatorname {sen}(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\operatorname {sen} x\,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,\end{aligned}}

Funções inversas

As funções trigonométricas são periódicas e, portanto, não são injetivas, então, estritamente falando, elas não têm uma função inversa. No entanto, em cada intervalo em que uma função trigonométrica é monotônica, pode-se definir uma função inversa, e isso define funções trigonométricas inversas como funções multivaloradas. Para definir uma função inversa verdadeira, deve-se restringir o domínio a um intervalo em que a função é monotônica e, portanto, é bijetiva desse intervalo para sua imagem pela função. A escolha comum para esse intervalo, chamada de conjunto de valores principais, é dada na tabela a seguir. Como de costume, as funções trigonométricas inversas são denotadas com o prefixo "arc" antes do nome ou sua abreviação da função.

Função	Definição	Domínio	Conjunto de valores principais
$y={\text{arcsen }}x$	$\operatorname {sen} y=x$	$-1\leq x\leq 1$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$
$y=\arccos x$	$\cos y=x$	$-1\leq x\leq 1$	${\textstyle 0\leq y\leq \pi }$
$y=\arctan x$	$\tan y=x$	$-\infty <x<\infty$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$
$y=\operatorname {arccot} x$	$\cot y=x$	$-\infty <x<\infty$	${\textstyle 0<y<\pi }$
$y=\operatorname {arcsec} x$	$\sec y=x$	$x<-1{\text{ ou }}x>1$	${\textstyle 0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}}$
$y=\operatorname {arccsc} x$	$\csc y=x$	$x<-1{\text{ ou }}x>1$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0}$

As notações $sen -1$ , $cos -1$ , etc. são frequentemente usadas para $arcsen$ e $arccos$ , etc. Quando essa notação é usada, funções inversas podem ser confundidas com inversos multiplicativos. A notação com o prefixo "arc" evita tal confusão, embora "arcsec" para arcossecante possa ser confundido com "arcossegundo" (em inglês).

Assim como o seno e o cosseno, as funções trigonométricas inversas também podem ser expressas em termos de séries infinitas. Elas também podem ser expressas em termos de logaritmos complexos.

Aplicações

Ângulos e lados de um triângulo

Nesta seção $A$ , $B$ , e $C$ denotam os três ângulos (internos) de um triângulo, e $a$ , $b$ , e $c$ denotam os comprimentos das respectivas arestas opostas. Eles são relacionados por várias fórmulas, que são nomeadas pelas funções trigonométricas que envolvem.

Lei dos senos

A lei dos senos afirma que para um triângulo arbitrário com lados $a$ , $b$ , e $c$ e ângulos opostos a esses lados $A$ , $B$ e $C$ : ${\frac {\operatorname {sen} A}{a}}={\frac {\operatorname {sen} B}{b}}={\frac {\operatorname {sen} C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}}$ onde $Δ$ é a área do triângulo, ou, equivalentemente, ${\frac {a}{\operatorname {sen} A}}={\frac {b}{\operatorname {sen} B}}={\frac {c}{\operatorname {sen} C}}=2R$ onde $R$ é o raio do círculo circunscrito do triângulo.

Pode ser provado dividindo o triângulo em dois retângulos e usando a definição de seno acima. A lei dos senos é útil para calcular os comprimentos dos lados desconhecidos em um triângulo se dois ângulos e um lado são conhecidos. Esta é uma situação comum que ocorre na triangulação, uma técnica para determinar distâncias desconhecidas medindo dois ângulos e uma distância fechada acessível.

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos (também conhecida como fórmula do cosseno ou regra do cosseno) é uma extensão do teorema de Pitágoras: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ ou equivalentemente, $\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$ Nesta fórmula, o ângulo em $C$ é oposto ao lado $c$ . Este teorema pode ser provado dividindo o triângulo em dois retângulos e usando o teorema de Pitágoras.

A lei dos cossenos pode ser usada para determinar um lado de um triângulo se dois lados e o ângulo entre eles forem conhecidos. Ele também pode ser usado para encontrar os cossenos de um ângulo (e consequentemente os próprios ângulos) se os comprimentos de todos os lados forem conhecidos.

Lei das tangentes

A lei das tangentes diz que:

{\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}

Lei das cotangentes

Se s é o semiperímetro do triângulo, (a + b + c)/2, e r é o raio do círculo inscrito do triângulo, então rs é a área do triângulo. Portanto, a fórmula de Heron implica que:

r={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}

A lei das cotangentes diz que:^[11]

\cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{r}}

Segue-se que

{\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{r}}

Funções periódicas

As funções trigonométricas também são importantes na física. As funções seno e cosseno, por exemplo, são usadas para descrever o [pmovimento harmônico simples]], que modela muitos fenômenos naturais, como o movimento de uma massa presa a uma mola e, para ângulos pequenos, o movimento pendular de uma massa pendurada por uma corda. As funções seno e cosseno são projeções unidimensionais de movimento circular uniforme.

As funções trigonométricas também se mostram úteis no estudo de funções periódicas gerais. Os padrões de onda característicos de funções periódicas são úteis para modelar fenômenos recorrentes, como ondas sonoras ou luminosas.^[12]

Sob condições bastante gerais, uma função periódica $f (x)$ pode ser expressa como uma soma de ondas senoidais ou ondas cosseno em uma série de Fourier.^[13] Denotando as funções de base seno ou cosseno por $φ k$ , a expansão da função periódica $f (t)$ assume a forma: $f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t)$ Por exemplo, a onda quadrada pode ser escrita como a série de Fourier $f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\operatorname {sen} {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}$ Na animação de uma onda quadrada no canto superior direito, pode-se ver que apenas alguns termos já produzem uma aproximação razoavelmente boa. A superposição de vários termos na expansão de uma onda dente de serra é mostrada abaixo.

História

Embora o estudo inicial da trigonometria possa ser rastreado até a antiguidade, as funções trigonométricas como são usadas hoje foram desenvolvidas no período medieval. A função corda foi descoberta por Hiparco de Niceia (180–125 AEC) e Ptolomeu do Egito Romano (90–165 EC). As funções de seno e seno verso (1 – cosseno) podem ser rastreadas até as funções jyā e koti-jyā usadas na astronomia indiana do período Gupta (Āryabhaṭīya, Sūrya Siddhānta), por meio da tradução do sânscrito para o árabe e depois do árabe para o latim.^[14]

Todas as seis funções trigonométricas em uso atual eram conhecidas na matemática islâmica no século IX, assim como a lei dos senos, usada na resolução de triângulos.^[15] Com exceção do seno (que foi adotado da matemática indiana), as outras cinco funções trigonométricas modernas foram descobertas por matemáticos persas e árabes, incluindo o cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante.^[15] al-Khwārizmī (c. 780–850) produziu tabelas de senos, cossenos e tangentes. Por volta de 830, Habash al-Hasib al-Marwazi descobriu a cotangente e produziu tabelas de tangentes e cotangentes.^[16]^[17] Muḥammad ibn Jābir al-Ḥarrānī al-Battānī (853–929) descobriu as funções recíprocas de secante e cossecante e produziu a primeira tabela de cossecantes para cada grau de 1° a 90°.^[17] As funções trigonométricas foram posteriormente estudadas por matemáticos, incluindo Omar Caiam, Bhaskara II, Naceradim de Tus, Alcaxi (século XIV), Ulugue Begue (século XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus e o aluno de Rheticus, Valentinus Otho.

Madhava de Sangamagrama (c. 1400) fez avanços iniciais na análise de funções trigonométricas em termos de séries infinitas.^[18] (Veja tabela de senos de Mādhava.)

A função tangente foi trazida para a Europa por Giovanni Bianchini em 1467 em tabelas de trigonometria que ele criou para dar suporte ao cálculo de coordenadas estelares.^[19]

Os termos tangente e secante foram introduzidos pela primeira vez pelo matemático dinamarquês Thomas Fincke em seu livro Geometria rotundi (1583).^[20]

O matemático francês do século XVII Albert Girard fez o primeiro uso publicado das abreviações sen, cos e tan em seu livro Trigonométrie.^[21]

Em um artigo publicado em 1682, Gottfried Leibniz provou que $sen x$ não é uma função algébrica de $x$ .^[22] Embora introduzido como razões de lados de um triângulo retângulo, e assim parecendo ser funções racionais, o resultado de Leibniz estabeleceu que elas são na verdade funções transcendentais de seu argumento. A tarefa de assimilar funções circulares em expressões algébricas foi realizada por Euler em sua Introdução à Análise do Infinito (1748). Seu método era mostrar que as funções seno e cosseno são séries alternadas formadas a partir dos termos pares e ímpares, respectivamente, da série exponencial. Ele apresentou a "fórmula de Euler", bem como abreviações quase modernas (sen., cos., tang., cot., sec., e cosec.).^[14]

Algumas funções eram comuns historicamente, mas agora são raramente usadas, como a corda, o seno verso (que apareceu nas primeiras tabelas^[14]), o seno coverso, o seno semiverso,^[23] a secante externa, a cossecante externa, o cosseno verso e o cosseno coverso. A lista de identidades trigonométricas mostra mais relações entre essas funções.

$\mathrm {crd(\theta )} =2sen({\frac {\theta }{2}})$
$\mathrm {senver(\theta )} =1-\cos(\theta )=2\operatorname {sen} ^{2}({\frac {\theta }{2}})$
$\mathrm {sencover(\theta )} =1-\operatorname {sen}(\theta )=\mathrm {senver({\frac {\pi }{2}}-\theta )}$
$\mathrm {sensever(\theta )} ={\frac {1}{2}}\mathrm {senver(\theta )} =\operatorname {sen} ^{2}({\frac {\theta }{2}})$
$\mathrm {secex} (\theta )=\sec(\theta )-1$
$\mathrm {cscex} (\theta )=\mathrm {secex} ({\frac {\pi }{2}}-\theta )=\csc(\theta )-1$
$\mathrm {cosver} (\theta )=1+\cos(\theta )$
$\mathrm {coscover(\theta )} =\mathrm {cosver} ({\frac {\pi }{2}}-\theta )=1+\operatorname {sen}(\theta )$

Historicamente, as funções trigonométricas eram frequentemente combinadas com logaritmos em funções compostas como o seno logarítmico, o cosseno logarítmico, a secante logarítmica, a cossecante logarítmica, a tangente logarítmica e a cotangente logarítmica.^[24]^[25]^[26]^[27]

Etimologia

A palavra sine deriva^[28] do latim sinus, que significa "curvatura; baía", e mais especificamente "a dobra pendurada da parte superior de uma toga", "o seio de uma vestimenta", que foi escolhida como a tradução do que foi interpretado como a palavra árabe jaib, que significa "bolso" ou "dobra" nas traduções do século XII das obras de al-Battānī e al-Khwārizmī para o latim medieval.^[29] A escolha foi baseada em uma leitura errada da forma escrita árabe j-y-b (جيب), que se originou como uma transliteração do sânscrito jīvā, que junto com seu sinônimo jyā (o termo sânscrito padrão para o seno) se traduz como "corda de arco", sendo por sua vez adotado do grego antigo χορδή "corda".^[30]

A palavra tangente vem do latim tangens que significa "tocar", já que a linha toca o círculo de raio unitário, enquanto secante deriva do latim secans — "cortar" — já que a linha corta o círculo.^[31]

O prefixo "co-" (em "cosseno", "cotangente", "cossecante") é encontrado em Canon triangulorum de Edmund Gunter (1620), que define o cosinus como uma abreviação para sinus complementi (seno do ângulo complementar) e prossegue para definir cotangens de forma semelhante.^[32]^[33]

Ver também

Nota

↑ Também igual a ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$

Referências

↑ Klein, Felix (1924) [1902]. «Die goniometrischen Funktionen». Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (em alemão). 1 3rd ed. Berlin: J. Springer. Ch. 3.2, pgs 175 ff. Traduzido como «The Goniometric Functions». Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis (em inglês). Traduzido por Hedrick, E. R.; Noble, C. A. [S.l.]: Macmillan. 1932. Ch. 3.2, pgs 162 ff.
↑ Protter & Morrey (1970, pp. APP-2, APP-3)
↑ «Sine, Cosine, Tangent». www.mathsisfun.com (em inglês). Consultado em 29 de agosto de 2020
↑ Protter & Morrey (1970, p. APP-7)
↑ ^a ^b Rudin, Walter, 1921–2010. Principles of mathematical analysis (em rundi) Third ed. New York: [s.n.] ISBN 0-07-054235-X. OCLC 1502474
↑ Diamond, Harvey (2014). «Defining Exponential and Trigonometric Functions Using Differential Equations». Mathematics Magazine (em inglês). 87 (1): 37–42. ISSN 0025-570X. doi:10.4169/math.mag.87.1.37
↑ Spivak, Michael (1967). «15». Calculus (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley. pp. 256–257. LCCN 67-20770
↑ Stueben, Michael; Sandford, Diane (1998). Twenty years before the blackboard: the lessons and humor of a mathematics teacher. Col: Spectrum series. Washington, DC: Mathematical Association of America. p. 119. ISBN 978-0-88385-525-6
↑ Bityutskov, V.I. (7 de fevereiro de 2011). «Trigonometric Functions». Encyclopedia of Mathematics (em inglês). Consultado em 29 de dezembro de 2017. Cópia arquivada em 29 de dezembro de 2017
↑ Larson, Ron (2013). Trigonometry 9th ed. [S.l.]: Cengage Learning. p. 153. ISBN 978-1-285-60718-4. Cópia arquivada em 15 de fevereiro de 2018 Extrato da página 153 Arquivado em 2018-02-15 no Wayback Machine
↑ ';The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, pp. 529–530. Versão em inglês George Allen e Unwin, 1964. Traduzido da versão alemã Meyers Rechenduden, 1960.
↑ Farlow, Stanley J. (1993). Partial differential equations for scientists and engineers (em inglês) Reprint of Wiley 1982 ed. [S.l.]: Courier Dover Publications. p. 82. ISBN 978-0-486-67620-3. Cópia arquivada em 20 de março de 2015
↑ Ver por exemplo, Folland, Gerald B. (2009). «Convergence and completeness». Fourier Analysis and its Applications (em inglês) Reprint of Wadsworth & Brooks/Cole 1992 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. pp. 77ff. ISBN 978-0-8218-4790-9. Cópia arquivada em 19 de março de 2015
↑ ^a ^b ^c Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (em inglês) (2nd ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7, p. 210.
↑ ^a ^b Gingerich, Owen (1986). «Islamic Astronomy». Scientific American (em inglês). 254. p. 74. Consultado em 13 de julho de 2010. Cópia arquivada em 19 de outubro de 2013
↑ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, em Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, eds. (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics (em inglês). [S.l.]: Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4020-0260-1
↑ ^a ^b «trigonometry» (em inglês). Encyclopedia Britannica. 17 de novembro de 2023
↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. «Madhava of Sangamagrama» (em inglês). School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Consultado em 8 de setembro de 2007. Arquivado do original em 14 de maio de 2006
↑ Van Brummelen, Glen (2018). «The end of an error: Bianchini, Regiomontanus, and the tabulation of stellar coordinates». Archive for History of Exact Sciences (em inglês). 72 (5): 547–563. JSTOR 45211959. doi:10.1007/s00407-018-0214-2
↑ «Fincke biography» (em inglês). Consultado em 15 de março de 2017. Cópia arquivada em 7 de janeiro de 2017
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Função trigonométrica», MacTutor History of Mathematics archive (em inglês), Universidade de St. Andrews
↑ Bourbaki, Nicolás (1994). Elements of the History of Mathematics (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 9783540647676
↑ Nielsen (1966, pp. xxiii–xxiv)
↑ von Hammer, Ernst Hermann Heinrich, ed. (1897). Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Zum Gebrauch bei Selbstunterricht und in Schulen, besonders als Vorbereitung auf Geodäsie und sphärische Astronomie (em alemão) 2 ed. Stuttgart, Germany: J. B. Metzlerscher Verlag. Consultado em 6 de fevereiro de 2024
↑ Heß, Adolf (1926). Trigonometrie für Maschinenbauer und Elektrotechniker - Ein Lehr- und Aufgabenbuch für den Unterricht und zum Selbststudium (em alemão) 6 ed. Winterthur, Switzerland: Springer. ISBN 978-3-662-35755-2. doi:10.1007/978-3-662-36585-4 Parâmetro desconhecido |orig-date= ignorado (ajuda)
↑ Lötzbeyer, Philipp (1950). «§ 14. Erläuterungen u. Beispiele zu T. 13: lg sin X; lg cos X und T. 14: lg tg x; lg ctg X». Erläuterungen und Beispiele für den Gebrauch der vierstelligen Tafeln zum praktischen Rechnen (em alemão) 1 ed. Berlin, Germany: Walter de Gruyter & Co.. ISBN 978-3-11114038-4. doi:10.1515/9783111507545. Archive ID 541650. Consultado em 6 de fevereiro de 2024
↑ Roegel, Denis, ed. (30 de agosto de 2016). A reconstruction of Peters's table of 7-place logarithms (volume 2, 1940) (em inglês). Vandoeuvre-lès-Nancy, France: Université de Lorraine. hal-01357842. Consultado em 6 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada em 6 de fevereiro de 2024
↑ A forma anglicizada foi registrada pela primeira vez em 1593 em Horologiographia, the Art of Dialling de Thomas Fale.
↑
Várias fontes atribuem o primeiro uso de sinus à:
- tradução de Platão Tiburtino de 1116 de Astronomia de al-Battānī;
- tradução de Gerardo de Cremona de Álgebra de al-Khwārizmī;
- tradução de Robert de Chester de 1145 das tabelas de al-Khwārizmī.
Ver Merlet, A Note on the History of the Trigonometric Functions (em inglês) em Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms (em inglês), Springer, 2004
Ver Maor (1998), capítulo 3, para uma etimologia anterior creditando Gerard.
Ver Katx, Victor (julho de 2008). A history of mathematics (em inglês) 3rd ed. Boston: Pearson. p. 210 (barra lateral). ISBN 978-0321387004
↑ Ver Plofker, Mathematics in India (em inglês), Princeton University Press, 2009, p. 257
Ver «Clark University» (em inglês). Cópia arquivada em 15 de junho de 2008
Ver Maor (1998), capítulo 3, sobre a etimologia.
↑ Oxford English Dictionary
↑ Gunter, Edmund (1620). Canon triangulorum. [S.l.: s.n.]
↑ Roegel, Denis, ed. (6 de dezembro de 2010). «';A reconstruction of Gunter's Canon triangulorum (1620)» (Research report) (em inglês). HAL. inria-00543938. Consultado em 28 de julho de 2017. Cópia arquivada em 28 de julho de 2017

Ligações externas

Wikilivros

O Wikilivros tem um livro chamado Trigonometria

[11] Também igual a ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$

[klein-1] Klein, Felix (1924) [1902]. «Die goniometrischen Funktionen». Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (em alemão). 1 3rd ed. Berlin: J. Springer. Ch. 3.2, pgs 175 ff. Traduzido como «The Goniometric Functions». Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis (em inglês). Traduzido por Hedrick, E. R.; Noble, C. A. [S.l.]: Macmillan. 1932. Ch. 3.2, pgs 162 ff.

[2] Protter & Morrey (1970, pp. APP-2, APP-3)

[3] «Sine, Cosine, Tangent». www.mathsisfun.com (em inglês). Consultado em 29 de agosto de 2020

[4] Protter & Morrey (1970, p. APP-7)

[:0-5] Rudin, Walter, 1921–2010. Principles of mathematical analysis (em rundi) Third ed. New York: [s.n.] ISBN 0-07-054235-X. OCLC 1502474

[6] Diamond, Harvey (2014). «Defining Exponential and Trigonometric Functions Using Differential Equations». Mathematics Magazine (em inglês). 87 (1): 37–42. ISSN 0025-570X. doi:10.4169/math.mag.87.1.37

[:1-7] Spivak, Michael (1967). «15». Calculus (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley. pp. 256–257. LCCN 67-20770

[steuben-8] Stueben, Michael; Sandford, Diane (1998). Twenty years before the blackboard: the lessons and humor of a mathematics teacher. Col: Spectrum series. Washington, DC: Mathematical Association of America. p. 119. ISBN 978-0-88385-525-6

[9] Bityutskov, V.I. (7 de fevereiro de 2011). «Trigonometric Functions». Encyclopedia of Mathematics (em inglês). Consultado em 29 de dezembro de 2017. Cópia arquivada em 29 de dezembro de 2017

[Larson_2013-10] Larson, Ron (2013). Trigonometry 9th ed. [S.l.]: Cengage Learning. p. 153. ISBN 978-1-285-60718-4. Cópia arquivada em 15 de fevereiro de 2018 Extrato da página 153 Arquivado em 2018-02-15 no Wayback Machine

[Allen_1976-12] ';The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, pp. 529–530. Versão em inglês George Allen e Unwin, 1964. Traduzido da versão alemã Meyers Rechenduden, 1960.

[Farlow_1993-13] Farlow, Stanley J. (1993). Partial differential equations for scientists and engineers (em inglês) Reprint of Wiley 1982 ed. [S.l.]: Courier Dover Publications. p. 82. ISBN 978-0-486-67620-3. Cópia arquivada em 20 de março de 2015

[Folland_1992-14] Ver por exemplo, Folland, Gerald B. (2009). «Convergence and completeness». Fourier Analysis and its Applications (em inglês) Reprint of Wadsworth & Brooks/Cole 1992 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. pp. 77ff. ISBN 978-0-8218-4790-9. Cópia arquivada em 19 de março de 2015

[Boyer_1991-15] Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (em inglês) (2nd ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7, p. 210.

[Gingerich_1986-16] Gingerich, Owen (1986). «Islamic Astronomy». Scientific American (em inglês). 254. p. 74. Consultado em 13 de julho de 2010. Cópia arquivada em 19 de outubro de 2013

[Sesiano-17] Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, em Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, eds. (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics (em inglês). [S.l.]: Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4020-0260-1

[Britannica-18] «trigonometry» (em inglês). Encyclopedia Britannica. 17 de novembro de 2023

[mact-biog-19] O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. «Madhava of Sangamagrama» (em inglês). School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Consultado em 8 de setembro de 2007. Arquivado do original em 14 de maio de 2006

[20] Van Brummelen, Glen (2018). «The end of an error: Bianchini, Regiomontanus, and the tabulation of stellar coordinates». Archive for History of Exact Sciences (em inglês). 72 (5): 547–563. JSTOR 45211959. doi:10.1007/s00407-018-0214-2

[Fincke-21] «Fincke biography» (em inglês). Consultado em 15 de março de 2017. Cópia arquivada em 7 de janeiro de 2017

[MacTutor-22] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Função trigonométrica», MacTutor History of Mathematics archive (em inglês), Universidade de St. Andrews

[Bourbaki_1994-23] Bourbaki, Nicolás (1994). Elements of the History of Mathematics (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 9783540647676

[24] Nielsen (1966, pp. xxiii–xxiv)

[Hammer_1897-25] von Hammer, Ernst Hermann Heinrich, ed. (1897). Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Zum Gebrauch bei Selbstunterricht und in Schulen, besonders als Vorbereitung auf Geodäsie und sphärische Astronomie (em alemão) 2 ed. Stuttgart, Germany: J. B. Metzlerscher Verlag. Consultado em 6 de fevereiro de 2024

[Heß_1916-26] Heß, Adolf (1926). Trigonometrie für Maschinenbauer und Elektrotechniker - Ein Lehr- und Aufgabenbuch für den Unterricht und zum Selbststudium (em alemão) 6 ed. Winterthur, Switzerland: Springer. ISBN 978-3-662-35755-2. doi:10.1007/978-3-662-36585-4 Parâmetro desconhecido |orig-date= ignorado (ajuda)

[Lötzbeyer_1950-27] Lötzbeyer, Philipp (1950). «§ 14. Erläuterungen u. Beispiele zu T. 13: lg sin X; lg cos X und T. 14: lg tg x; lg ctg X». Erläuterungen und Beispiele für den Gebrauch der vierstelligen Tafeln zum praktischen Rechnen (em alemão) 1 ed. Berlin, Germany: Walter de Gruyter & Co.. ISBN 978-3-11114038-4. doi:10.1515/9783111507545. Archive ID 541650. Consultado em 6 de fevereiro de 2024

[Roegel_2016-28] Roegel, Denis, ed. (30 de agosto de 2016). A reconstruction of Peters's table of 7-place logarithms (volume 2, 1940) (em inglês). Vandoeuvre-lès-Nancy, France: Université de Lorraine. hal-01357842. Consultado em 6 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada em 6 de fevereiro de 2024

[29] A forma anglicizada foi registrada pela primeira vez em 1593 em Horologiographia, the Art of Dialling de Thomas Fale.

[30] Várias fontes atribuem o primeiro uso de sinus à:
tradução de Platão Tiburtino de 1116 de Astronomia de al-Battānī;

tradução de Gerardo de Cremona de Álgebra de al-Khwārizmī;

tradução de Robert de Chester de 1145 das tabelas de al-Khwārizmī.
Ver Merlet, A Note on the History of the Trigonometric Functions (em inglês) em Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms (em inglês), Springer, 2004
Ver Maor (1998), capítulo 3, para uma etimologia anterior creditando Gerard.
Ver Katx, Victor (julho de 2008). A history of mathematics (em inglês) 3rd ed. Boston: Pearson. p. 210 (barra lateral). ISBN 978-0321387004

[31] tradução de Platão Tiburtino de 1116 de Astronomia de al-Battānī;

[32] tradução de Gerardo de Cremona de Álgebra de al-Khwārizmī;

[33] tradução de Robert de Chester de 1145 das tabelas de al-Khwārizmī.

[Plofker_2009-31] Ver Plofker, Mathematics in India (em inglês), Princeton University Press, 2009, p. 257
Ver «Clark University» (em inglês). Cópia arquivada em 15 de junho de 2008
Ver Maor (1998), capítulo 3, sobre a etimologia.

[32] Oxford English Dictionary

[Gunter_1620-33] Gunter, Edmund (1620). Canon triangulorum. [S.l.: s.n.]

[Roegel_2010-34] Roegel, Denis, ed. (6 de dezembro de 2010). «';A reconstruction of Gunter's Canon triangulorum (1620)» (Research report) (em inglês). HAL. inria-00543938. Consultado em 28 de julho de 2017. Cópia arquivada em 28 de julho de 2017

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[a]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]