Inverso aditivo

Em matemática, o inverso aditivo de um número $a$ (por vezes chamado de oposto de $a$ ) ^[1] é o número que, quando adicionado a $a$ , resulta em zero. A operação que leva um número ao seu inverso aditivo é conhecida como mudança de sinal ^[2] ou negação.^[3] Para um número real, inverte seu sinal: o inverso aditivo (número oposto) de um número positivo é negativo, e o inverso aditivo de um número negativo é positivo. Zero é o inverso aditivo de si mesmo.

O inverso aditivo de $a$ é denotado por menos unário : $- a$ (ver também § Relação com a subtração abaixo). ^[4] Por exemplo, o inverso aditivo de 7 é −7, porque 7 + (−7) = 0, e o inverso aditivo de −0,3 é 0,3, porque −0.3 + 0.3 = 0.

Da mesma forma, o inverso aditivo de $a - b$ é $-(a - b)$ que pode ser simplificado para $b - a$ . O inverso aditivo de 2x − 3 é 3 − 2x, porque 2x − 3 + 3 − 2x = 0.^[5]

O inverso aditivo é definido como o seu elemento inverso na operação binária da adição (ver também § Definição formal abaixo), o que permite uma ampla generalização para outros objetos matemáticos além dos números. Como para qualquer operação inversa, o inverso aditivo duplo não tem efeito líquido : $-(- x) = x$ .

Estes números complexos, dois dos oito valores de ⁸√1, são mutuamente opostos.

Exemplos comuns

Num número (e geralmente em qualquer anel), o inverso aditivo pode ser calculado usando a multiplicação por -1; isto é, -n = -1 × n. Exemplos de anéis de números incluem inteiros, números racionais, números reais e números complexos.

Relação com a subtração

O inverso aditivo está intimamente relacionado com a subtração, que pode ser vista como uma adição do oposto:

a - b = a + (- b)

.

Por outro lado, o inverso aditivo pode ser pensado como subtração a partir de zero:

- a = 0 - a

.

Assim, a notação do sinal de menos unário pode ser considerada como uma abreviação para a subtração (com o símbolo "0" omitido), embora numa tipografia correta não deva haver espaço após o "−" unário.

Outras propriedades

Além das identidades listadas acima, a negação possui as seguintes propriedades algébricas:

$-(- a) = a$ , é uma operação de involução
$-(a + b) = (- a) + (- b)$
$-(a - b) = b - a$
$a - (- b) = a + b$
$(- a) \times b = a \times (- b) = -(a \times b)$
(−a) × (−b) = a × b
- nomeadamente, $(- a) 2 = a 2$

Referências

↑ Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Elementary Algebra, ISBN 9781133710790 5th ed. , Cengage Learning, p. 40 .
↑ Brase, Corrinne Pellillo; Brase, Charles Henry (1976). Basic Algebra for College Students (em inglês). [S.l.]: Houghton Mifflin. 54 páginas. ISBN 978-0-395-20656-0
↑ The term "negation" bears a reference to negative numbers, which can be misleading, because the additive inverse of a negative number is positive.
↑ Weisstein, Eric W. «Additive Inverse». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 27 de agosto de 2020
↑ «Additive Inverse». www.learnalberta.ca. Consultado em 27 de agosto de 2020

[1] Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Elementary Algebra, ISBN 9781133710790 5th ed. , Cengage Learning, p. 40 .

[2] Brase, Corrinne Pellillo; Brase, Charles Henry (1976). Basic Algebra for College Students (em inglês). [S.l.]: Houghton Mifflin. 54 páginas. ISBN 978-0-395-20656-0

[3] The term "negation" bears a reference to negative numbers, which can be misleading, because the additive inverse of a negative number is positive.

[4] Weisstein, Eric W. «Additive Inverse». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 27 de agosto de 2020

[5] «Additive Inverse». www.learnalberta.ca. Consultado em 27 de agosto de 2020

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