Patrulater inscriptibil

În geometria euclidiană un patrulater inscriptibil^[1]^[2]^[3] sau patrulater înscris^[4] este un patrulater ale cărui vârfuri se află toate pe un singur cerc.^[4] Acest cerc se numește cerc circumscris. De obicei se presupune că patrulaterul este convex, dar există și patrulatere inscriptibile autointersectate. Formulele și proprietățile prezentate mai jos sunt valabile în cazul convex.

Toate triunghiurile au un cerc circumscris, dar nu toate patrulaterele au unul. Un exemplu de patrulater care nu este inscriptibil este un romb care nu este și pătrat.

Cazuri particulare

Orice pătrat, dreptunghi, trapez isoscel sau antiparalelogram este inscriptibil. Un romboid este inscriptibil dacă și numai dacă are două unghiuri drepte. Un Patrulater bicentric este un patrulater inscriptibil, fiind atât circumscriptibil, cât și exscriptibil. Un patrulater armonic este un patrulater inscriptibil în care produsele lungimilor laturilor opuse sunt egale.

Caracteristici

Centrul cercului circumscris

Un patrulater convex este inscriptibil dacă și numai dacă cele patru mediatoare ale laturilor sunt concurente. Acest punct comun este centrul cercului circumscris.^[5]

Unghiuri suplementare

Un patrulater convex $ABCD$ este inscriptibil dacă și numai dacă unghiurile sale opuse sunt suplementare, adică^[5]^[6]

\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radiani}}\ (=180^{\circ }).

Teorema directă a fost Propoziția 22 din Cartea a 3-a din Elementele lui Euclid.^[7] Echivalent, un patrulater convex este inscriptibil dacă și numai dacă fiecare unghi exterior este egal cu unghiul interior opus.

În 1836 Duncan Gregory a generalizat acest rezultat după cum urmează: pentru orice 2n-gon inscriptibil convex, cele două sume ale unghiurilor interioare alternate sunt fiecare egală cu ( $n$ − 1) $π$ .^[8] Considerînd proiecția stereografică (tangenta jumătății de unghi) a fiecărui unghi, aceasta poate fi exprimat ca

{\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .

Ceea ce implică^[9]

\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac {\delta }{2}}}=1

Unghiuri dintre laturi și diagonale

Un patrulater convex $ABCD$ este inscriptibil dacă și numai dacă un unghi dintre o latură și o diagonală este egal cu unghiul dintre latura opusă și cealaltă diagonală.^[10] Adică, de exemplu,

\angle ACB=\angle ADB.

Intersecția diagonalelor

Dacă două drepte, una care conține segmentul $AC$ și cealaltă care conține segmentul $BD$ , se intersectează în $P$ , atunci cele patru puncte $A, B, C, D$ sunt pe acelați cerc dacă și numai dacă^[11]

AP\cdot PC=BP\cdot PD.

Intersecția $P$ poate fi internă sau externă cercului. În primul caz, patrulaterul inscriptibil este $ABCD$ , iar în al doilea caz patrulaterul inscriptibil este $ABDC$ . Când intersecția este internă, egalitatea afirmă că produsul lungimii segmentelor în care $P$ împarte o diagonală este egal cu cel al celeilalte diagonale. Aceasta este cunoscută sub denumirea de teorema coardelor concurente, deoarece diagonalele patrulaterului inscriptibil sunt coarde ale cercului circumscris.

Teorema Ptolemeu

Teorema lui Ptolemeu exprimă produsul lungimilor celor două diagonale $e$ și $f$ ale unui patrulater inscriptibil ca sumă a produselor laturilor opuse:^[12]^:p.25^[6]

ef=ac+bd,

unde $a, b, c, d$ sunt lungimile laturilor, în ordine. Inversa acestei teoreme este și ea adevărată. Adică, dacă această ecuație este îndeplinită într-un patrulater convex, atunci patrulaterul este inscriptibil.

Aria

Aria $K$ a unui patrulater inscriptibil cu laturile $a, b, c, d$ este dată de formula lui Brahmagupta^[12]^:p.24

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

unde $s$ este semiperimetrul: $s={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)$ . Acesta este un corolar al formulei lui Bretschneider pentru patrulaterul general, deoarece în cazul patrulaterului inscriptibil unghiurile opuse sunt suplementare. Iar dacă $d$ = 0, patrulaterul inscriptibil devine un triunghi iar formula se reduce la formula lui Heron.

Aria unui patrulater inscriptibil având unghiul $B$ între laturile $a$ și $b$ se poate calcula cu^[12]^:p.25

K={\frac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}.

Diagonale

Într-un patrulater inscriptibil lungimea diagonalelor $e$ și $f$ se poate exprima în funcție de lungimile laturilor^[12]^:p.25,^[13]^[14]^{:p. 84}

e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}

și

f={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}

ceea ce duce la teorema lui Ptolemeu ( $pq=ac+bd.$ .)

Conform celei a doua teoreme a lui Ptolemeu,^[12]^:p.25,^[13]

{\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}.

Formule pentru unghiuri

Pentru un patrulater inscriptibil având unghiul $A$ între laturile $a$ și $d$ , valorile funcțiilor trigonometrice pentru $A$ se obțin din^[15]

\cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},

\sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},

\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.

Unghiul $θ$ dintre diagonale satisface relația^[12]^:p.26

\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.

Anticentrul

Se poate demonstra că, într-un patrulater inscriptibil, perpendicularele duse prin mijlocul fiecarei laturi la latura opusă sunt concurente, punctul de concurență fiind cunoscut ca anticentrul patrulaterului sau punctul lui Mathot.^[16]

Mai întâi se va demonstra următoarea propoziție:

Teorema 1. Dacă $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ sunt centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor AEB, BEC, CED și respectiv DEA, atunci:

(a) Patrulaterul

O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}

este paralelogram.

(b) Dacă

\Gamma

este punctul de intersecție a diagonalelor paralelogramului

O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}

, atunci punctele O, Γ, E sunt coliniare, punctul Γ fiind mijlocul segmentului

[OE]

.

Demonstrație.

(a) Deoarece

O_{1}O_{4}

este mediatoarea segmentului

[AE]

, iar

O_{2}O_{3}

este mediatoarea segmentului

[EC]

, rezultă că

O_{1}O_{4}\perp AC,\;O_{2}O-3\perp AC

, deci

O_{1}O_{4}\parallel O_{2}O_{3}

. La fel se demonstrează că

O_{1}O_{2}\parallel O_{3}O_{4}

. Deci

O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}

este paralelogram.

(b) Se notează cu F piciorul perpendicularei din E pe AB. Din

m({\widehat {FEA}})=90^{o}-m({\widehat {BAE}}),\;m({\widehat {CEO_{3}}})=90^{o}-m({\widehat {CDE}}),\;{\widehat {BAE}}\equiv {\widehat {CDE}}\;

rezultă că

{\widehat {FEA}}\equiv {\widehat {CEO_{3}}}

. Așadar,

F,E,O_{3}

sunt coliniare, deci

EO_{3}\perp AB

, deci

O_{3}E\parallel OO_{1}

; analog se demonstrează

O_{1}E\parallel OO_{3},\;O_{4}E\parallel OO_{2},\;O_{2}E\parallel OO_{4}

, de unde rezultă că patrulaterele

O_{1}EO_{3}O,\;O_{2}EO_{4}O

sunt paralelograme. Deci Γ fiind mijlocul segmentului

[OE]

.

Acum se va demonstra următoarea teoremă:

Teorema 2. Se consideră patrulaterul inscriptibil $ABCD$ , înscris în cercul de centru $O$ și fie $E$ intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$ și $H_{1},H_{2},H_{3},H_{4}$ ortocentrele triunghiurilor $AEB,BEC,CED$ și respectiv $DEA$ . Atunci:

(a) Patrulaterul

H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}

este paralelogram;

(b) Intersecția diagonalelor paralelogramului

H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}

este chiar punctul Mathot al patrulaterului

ABCD

.

Demonstrație.

(a)

{\vec {OA}}={\vec {OO_{4}}}+{\vec {O_{4}A}}={\vec {OO_{1}}}+{\vec {O_{1}A}}

și alte trei relații similare pentru

{\vec {OB}},{\vec {OC}},{\vec {OD}}

. Prin însumarea acestor patru relații se obține:

2({\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}+{\vec {OD}})=2({\vec {OO_{1}}}+{\vec {OO_{2}}}+{\vec {OO_{3}}}+{\vec {OO_{4}}})+({\vec {O_{1}A}}+{\vec {O_{1}B}}+{\vec {O_{1}E}})+

+({\vec {O_{2}B}}+{\vec {O_{2}C}}+{\vec {O_{2}E}})+({\vec {O_{3}C}}+{\vec {O_{3}D}}+{\vec {O_{3}E}})+({\vec {O_{4}D}}+{\vec {O_{4}A}}+{\vec {O_{4}E}})+({\vec {EO_{1}}}+{\vec {EO_{2}}}+{\vec {EO_{3}}}+{\vec {EO_{4}}}).

În continuare se aplică relația Sylvester. Rezultă în continuare:

2({\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}+{\vec {OD}})=2({\vec {OO_{1}}}+{\vec {OO_{2}}}+{\vec {OO_{3}}}+{\vec {OO_{4}}})+{\vec {O_{1}H_{1}}}+{\vec {O_{2}H_{2}}}+{\vec {O_{3}H_{3}}}+{\vec {O_{4}H_{4}}}+{\vec {EO_{1}}}+{\vec {EO_{2}}}+{\vec {EO_{3}}}+{\vec {EO_{4}}}

.

Se va ține cont că ${\vec {OO_{1}}}+{\vec {O_{1}H_{1}}}={\vec {OH_{1}}}$ și celelalte trei similare.

În continuare, se va ține cont că, deoarece $O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}$ este paralelogram, $\Gamma$ fiind intersecția diagonalelor, pentru orice punct $M$ din spațiu:

(1)\;\;4{\vec {M\Gamma }}={\vec {MO_{1}}}+{\vec {MO_{2}}}+{\vec {MO_{3}}}+{\vec {MO_{4}}},

Deci:

{\vec {OO_{1}}}+{\vec {OO_{2}}}+{\vec {OO_{3}}}+{\vec {OO_{4}}}=4{\vec {O\Gamma }}

.

Deoarece $\Gamma$ este mijlocul segmentului $[OE]$ , rezultă: ${\vec {O\Gamma }}+{\vec {E\Gamma }}={\vec {0}}$ . Se notează $\Omega '$ intersecția diagonalelor paralelogramului $H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}$ . Aplicând formula (1), se va obține:

{\vec {OH_{1}}}+{\vec {OH_{2}}}+{\vec {OH_{3}}}+{\vec {OH_{4}}}=4{\vec {O\Omega '}}

.

Așadar, $2({\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}+{\vec {OD}})=4{\vec {O\Omega '}}$ .

Mai departe se va ține cont că, deoarece $\Omega$ este punctul Mathot al patrulaterului inscriptibil $ABCD$ , există relația:

{\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}+{\vec {OD}}=2{\vec {O\Omega }}

Va rezulta că $4{\vec {O\Omega }}=4{\vec {O\Omega '}}$ , deci $\Omega$ coincide cu $\Omega '$ și astfel teorema este demonstrată.

Observație. Din relația (1) se poate deduce:

{\vec {O_{1}H_{1}}}+{\vec {O_{2}H_{2}}}+{\vec {O_{3}H_{3}}}+{\vec {O_{4}H_{4}}}=4{\vec {\Gamma \Omega }}

.

Note

^ „inscriptibil” la DEX online
^ Dorin Andrica, Syllabus masterat matematică, Universitatea Babeș-Bolyai, 9 noiembrie 2011, accesat 2021-12-03
^ Oana Adriana Constandache, Tema 10: patrulatere inscriptibile, puterea punctului fata de cerc, tangente la cerc, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2021-12-04
^ ^a ^b „înscris” la DEX online
^ ^a ^b en Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), „10. Cyclic quadrilaterals”, The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, pp. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8
^ ^a ^b en Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2020), „Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 51 (6): 913–938, doi:10.1080/0020739X.2019.1683772
^ en Joyce, D. E. (iunie 1997), „Book 3, Proposition 22”, Euclid's Elements, Clark University
^ en Gregory, Duncan (1836), „Geometrical Theorem”, Cambridge Mathematical Journal, 1: 92 .
^ en Hajja, Mowaffaq (2008), „A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic” (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103–6, arhivat din original (PDF) la 26 noiembrie 2019, accesat în 18 decembrie 2021
^ en Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), „2.3 Cyclic quads”, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, pp. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063
^ en Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, p. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC 213434422
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f en Durell, C. V.; Robson, A. (2003) [1930], Advanced Trigonometry, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8
^ ^a ^b en Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), „On the diagonals of a cyclic quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147–9
^ en Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
^ en Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, p. 202, OCLC 429528983
^ D. Mihalcea, I. Chițescu, M. Chiriță - Geometria patrulaterului, Editura Teora, 1998.

Lectură suplimentară

en D. Fraivert: Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral

legături externe

en Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral
en Incenters in Cyclic Quadrilateral la cut-the-knot
en Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral la cut-the-knot
en Eric W. Weisstein, Cyclic quadrilateral la MathWorld.

Portal Matematică

[1] „inscriptibil” la DEX online

[2] Dorin Andrica, Syllabus masterat matematică, Universitatea Babeș-Bolyai, 9 noiembrie 2011, accesat 2021-12-03

[2-3] Oana Adriana Constandache, Tema 10: patrulatere inscriptibile, puterea punctului fata de cerc, tangente la cerc, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2021-12-04

[DEX-4] „înscris” la DEX online

[Usiskin-5] Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), „10. Cyclic quadrilaterals”, The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, pp. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8

[Fraivert-6] Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2020), „Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 51 (6): 913–938, doi:10.1080/0020739X.2019.1683772

[7] Joyce, D. E. (iunie 1997), „Book 3, Proposition 22”, Euclid's Elements, Clark University

[8] Gregory, Duncan (1836), „Geometrical Theorem”, Cambridge Mathematical Journal, 1: 92 .

[9] Hajja, Mowaffaq (2008), „A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic” (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103–6, arhivat din original (PDF) la 26 noiembrie 2019, accesat în 18 decembrie 2021

[Andreescu-10] Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), „2.3 Cyclic quads”, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, pp. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063

[11] Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, p. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC 213434422

[Durell-12] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f en Durell, C. V.; Robson, A. (2003) [1930], Advanced Trigonometry, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8

[Alsina2-13] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), „On the diagonals of a cyclic quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147–9

[Johnson-14] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[15] Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, p. 202, OCLC 429528983

[16] D. Mihalcea, I. Chițescu, M. Chiriță - Geometria patrulaterului, Editura Teora, 1998.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

v d m Poligoane
Triunghiuri	Ascuțitunghic de aur Dreptunghic Echilateral Ideal Isoscel Obtuzunghic
Patrulatere	Antiparalelogram Armonic Bicentric Circumscriptibil Dreptunghi de aur Echidiagonal Exscriptibil Inscriptibil Lambert Ortodiagonal Paralelogram Pătrat Romb de aur Romboid dreptunghic Saccheri Trapez isoscel circumscriptibil
După numărul de laturi	Monogon (1) Digon (2) Triunghi (3) Patrulater (4) Pentagon (5) Hexagon (6) Heptagon (7) Octogon (8) Eneagon (9) Decagon (10) Endecagon (11) Dodecagon (12) Tridecagon (13) Tetradecagon (14) Pentadecagon (15) Hexadecagon (16) Heptadecagon (17) Octodecagon (18) Eneadecagon (19) Icosagon (20) Icosidigon (22) Triacontagon (30) Tetracontagon (40) Pentacontagon (50) Hexacontagon (60) Heptacontagon (70) Octocontagon (80) Eneacontagon (90) Hectogon (100) 120-gon 257-gon 360-gon Chiliagon (1000) Miriagon (10 000) 65537-gon Megagon (1 000 000) Apeirogon (∞) necoliniar
Poligoane stelate	Pentagramă Hexagramă Heptagramă Octagramă Eneagramă Decagramă Endecagramă Dodecagramă
Clase	Bicentrice Circumscriptibile Concave Convexe Duale Echilaterale Echiunghiulare Izogonale Izotoxale Inscriptibile Monotone Pseudotriunghiuri Regulate Reinhardt Simple Stea Strâmbe