Диагональный аргумент: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
м викификация |
Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5 |
||
(не показано 18 промежуточных версий 13 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Диагональный аргумент''' ('''диагональный метод Кантора''') — доказательство [[Теорема Кантора|теоремы Кантора]] о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую [[Мощность множества|мощность]], чем само множество. В частности, множество всех подмножеств натурального ряда имеет мощность большую, чем [[алеф]]-0, и, значит, не является [[Счётное множество|счётным]]<ref>{{cite web|title=Диагональный метод Кантора|url=https://studfiles.net/preview/1587940/page:19/|website=studfiles.net}}</ref>. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе: |
'''Диагональный аргумент''' ('''диагональный метод Кантора''') — доказательство [[Теорема Кантора|теоремы Кантора]] о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую [[Мощность множества|мощность]], чем само множество. В частности, множество всех подмножеств натурального ряда имеет мощность большую, чем [[Иерархия алефов|алеф]]-0, и, значит, не является [[Счётное множество|счётным]]<ref>{{cite web|title=Диагональный метод Кантора|url=https://studfiles.net/preview/1587940/page:19/|website=studfiles.net}}</ref>. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе: |
||
⚫ | [[Файл:Diagonal_argument_01_svg.svg|thumb| |
||
⚫ | [[Файл:Diagonal_argument_01_svg.svg|thumb|'''Диагональный аргумент Кантора''': Каждое множество записывается как последовательность 0 и 1, где 1 на месте <math>x</math> значит, что <math>x</math> является элементом множества. Красным выделена последовательность на диагонали. Последовательность <math>s</math> является дополнением этой последовательности: <math>s(x)=1-s_x(x)</math>. Тогда <math>s</math> отличается от всех <math>s_x</math> хотя бы в одном месте (а именно — в месте <math>x</math>).]] |
||
: Пусть есть [[взаимнооднозначное соответствие]], которое каждому элементу <math>x</math> множества <math>X</math> ставит в соответствие подмножество <math>s_x</math> множества <math>X.</math> Пусть <math>d</math> будет множеством, состоящим из элементов <math>x</math> таких, что <math>x\in s_x</math> (''диагональное множество''). Тогда дополнение этого множества <math>s=\overline d</math> не может быть ни одним из <math>s_x.</math> А следовательно, соответствие было не взаимнооднозначным. |
: Пусть есть [[взаимнооднозначное соответствие]], которое каждому элементу <math>x</math> множества <math>X</math> ставит в соответствие подмножество <math>s_x</math> множества <math>X.</math> Пусть <math>d</math> будет множеством, состоящим из элементов <math>x</math> таких, что <math>x\in s_x</math> (''диагональное множество''). Тогда дополнение этого множества <math>s=\overline d</math> не может быть ни одним из <math>s_x.</math> А следовательно, соответствие было не взаимнооднозначным. |
||
Кантор использовал диагональный аргумент при доказательстве несчётности действительных чисел в 1891 году. (Это не первое его доказательство несчётности действительных чисел, но наиболее простое)<ref>{{Citation |
Кантор использовал диагональный аргумент при доказательстве [[Несчётное множество|несчётности]] [[Вещественное число|действительных чисел]] в 1891 году. (Это не первое его доказательство несчётности действительных чисел, но наиболее простое)<ref>{{Citation|surname=Gray|given=Robert|year=1994|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf|title=Georg Cantor and Transcendental Numbers|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=101|pages=819–832|doi=10.2307/2975129|access-date=2019-01-15|archive-date=2022-01-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20220121155859/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf|url-status=live}} {{Cite web |url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf |title=Источник |access-date=2019-01-15 |archive-date=2022-01-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220121155859/http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf |deadlink=unfit }}</ref>. |
||
Диагональный аргумент использовался во многих областях математики. Так, например, он является центральным аргументом в [[Теорема Гёделя о неполноте|теореме Гёделя о неполноте]], в доказательстве существования неразрешимого [[Перечислимое множество|перечислимого множества]] и, в частности, в доказательстве [[Неразрешимость|неразрешимости]] [[Проблема остановки|проблемы остановки]]<ref>{{Книга|автор=John B. Bacon, Michael Detlefsen, David Charles McCarty|часть=Diagonal argument|заглавие=Logic from A to Z: The Routledge Encyclopedia of Philosophy Glossary of Logical and Mathematical Terms|ссылка=https://books.google.com/books?id=1ci3AAAAQBAJ&pg=PA36|издательство=Routledge|год=2013-09-05|страниц=126|isbn=9781134970971}}</ref>. |
Диагональный аргумент использовался во многих областях математики. Так, например, он является центральным аргументом в [[Теорема Гёделя о неполноте|теореме Гёделя о неполноте]], в доказательстве существования неразрешимого [[Перечислимое множество|перечислимого множества]] и, в частности, в доказательстве [[Неразрешимость|неразрешимости]] [[Проблема остановки|проблемы остановки]]<ref>{{Книга|автор=John B. Bacon, Michael Detlefsen, David Charles McCarty|часть=Diagonal argument|заглавие=Logic from A to Z: The Routledge Encyclopedia of Philosophy Glossary of Logical and Mathematical Terms|ссылка=https://books.google.com/books?id=1ci3AAAAQBAJ&pg=PA36|издательство=Routledge|год=2013-09-05|страниц=126|isbn=9781134970971}}</ref>. |
||
Строка 12: | Строка 11: | ||
== Примечания == |
== Примечания == |
||
{{примечания}} |
{{примечания}} |
||
{{Теория множеств}} |
|||
[[Категория:Теория множеств]] |
[[Категория:Теория множеств]] |
Текущая версия от 08:45, 16 апреля 2024
Диагональный аргумент (диагональный метод Кантора) — доказательство теоремы Кантора о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую мощность, чем само множество. В частности, множество всех подмножеств натурального ряда имеет мощность большую, чем алеф-0, и, значит, не является счётным[1]. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе:
- Пусть есть взаимнооднозначное соответствие, которое каждому элементу множества ставит в соответствие подмножество множества Пусть будет множеством, состоящим из элементов таких, что (диагональное множество). Тогда дополнение этого множества не может быть ни одним из А следовательно, соответствие было не взаимнооднозначным.
Кантор использовал диагональный аргумент при доказательстве несчётности действительных чисел в 1891 году. (Это не первое его доказательство несчётности действительных чисел, но наиболее простое)[2].
Диагональный аргумент использовался во многих областях математики. Так, например, он является центральным аргументом в теореме Гёделя о неполноте, в доказательстве существования неразрешимого перечислимого множества и, в частности, в доказательстве неразрешимости проблемы остановки[3].
Примечания
[править | править код]- ↑ Диагональный метод Кантора . studfiles.net.
- ↑ Gray, Robert (1994), "Georg Cantor and Transcendental Numbers" (PDF), American Mathematical Monthly, 101: 819—832, doi:10.2307/2975129, Архивировано (PDF) 21 января 2022, Дата обращения: 15 января 2019 Источник . Дата обращения: 15 января 2019. Архивировано 21 января 2022 года.
- ↑ John B. Bacon, Michael Detlefsen, David Charles McCarty. Diagonal argument // Logic from A to Z: The Routledge Encyclopedia of Philosophy Glossary of Logical and Mathematical Terms. — Routledge, 2013-09-05. — 126 с. — ISBN 9781134970971.