Транспозиция (математика)

Транспозиция — перестановка множества, меняющая местами два его элемента.

Определение

Транспозицией конечного множества $X=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$ называется такая его перестановка $f$, то есть биекция из $X$ в $X$, что существуют такие индексы $i$ и $j$, что $f(a_{i})=a_{j}$, $f(a_{j})=a_{i}$ и $f(a_{k})=a_{k}$ для всех остальных индексов $k$.

Транспозиция называется элементарной, если индексы $i$ и $j$ — соседние.

Транспозиция является частным случаем циклической перестановки и часто обозначается символом $(a_{i},a_{j})$ или $(a_{j},a_{i})$.

Пример

Перестановка $f$ множества $X=\{a,b,c,d,e\}$, заданная правилом

$f(a)=a,\ f(b)=e,\ f(c)=c,\ f(d)=d,\ f(e)=b,$

является транспозицией и записывается символом $(b,e)$.

Свойства

Любая перестановка конечного множества может быть представлена в виде композиции элементарных транспозиций.

Знак перестановки может быть вычислен из разложения перестановки в произведение транспозиций: $\operatorname {sgn}(\sigma )=(-1)^{m}$, где $m$ — число транспозиций в разложении.

Литература

• Транспози́ция // Математический энциклопедический словарь / Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 586. — 847 с. — 150 000 экз.
• Транспози́ция // Тихоходки — Ульяново. — М. : Советская энциклопедия, 1977. — С. 153. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 26).
• Транспози́ция // Толковый словарь математических терминов : (Около 1800 терминов) : [Пособие для учителей] / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин; под ред. проф. В. А. Диткина. — Москва : Просвещение, 1965. — С. 457. — 539 с. : ил.; 22 см.
• Транспози́ція // Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1984. — Т. 11, кн. 1 : Стодола — Фітогеографія. — С. 325. — 606, [2] с., [22] арк. іл. : іл., портр., карти с. (укр.)