Аксиома объёмности

Аксиомой объёмности (Axiom of extensionality) называется следующее высказывание теории множеств:

$~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2})$

Если переписать аксиому объёмности в виде

$~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\to b\in a_{2})\ \land \ \forall b\ (b\in a_{2}\to b\in a_{1})\to a_{1}=a_{2})$,

тогда названную аксиому можно сформулировать по-русски:

"Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству."

Другие формулировки аксиомы объёмности

$~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\ \land \ a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{2})$

$~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists b\ (b\in a_{1}\ \veebar \ b\in a_{2})\ )$

Примечания

Аксиома объёмности выражает необходимое условие равенства двух множеств. Достаточное условие равенства множеств выводится из аксиом предиката $~=$ и имеет вид

$~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\ )$

Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следущий критерий равенства множеств:

$~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\ )$

Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:

1) критерий равенства комплексных чисел

$~\forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x+iy=u+iv\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v))$,

2) критерий равенства упорядоченных пар

$~\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v)\ )$,

3) критерий равенства неупорядоченных пар

$~\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v\quad \lor \quad x=v\ \land \ y=u)\ )$,

4) критерий равенства двух последовательностей

$~\{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})$.

Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.

Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано [аксиомой} либо установлено [доказательством теоремы].

Примеры

1. Доказательство единственности пустого множества

Cуществование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой

$~\exists a\forall b\ (b\notin a)$.

Требуется доказать существование не более, чем одного множества $~a$, для которого верно высказывание

$~\forall b\ (b\notin a)$.

Иначе говоря, требуется доказать

$~\exists \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))$

Или, что то же самое, требуется доказать

$~\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\to a_{1}=a_{2})$

Доказательство

${\begin{aligned}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\Rightarrow \forall b(b\notin a_{1}\leftrightarrow b\notin a_{2})\\\ \Leftrightarrow \forall b(b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}\end{aligned}}$

Поскольку $~\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a\forall b\ (b\notin a)$, постольку доказательство единственности пустого множества завершено.

2. Доказательство единственности множества подмножеств

Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой

$~\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$

Требуется доказать существование не более, чем одного множества $~d$, для которого верно высказывание

$~\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$

Иначе говоря, требуется доказать

$~\exists \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))$

Или, что то же самое, требуется доказать

$~\forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b\ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})$

Доказательство

${\begin{aligned}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\ \Rightarrow \forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\in d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{aligned}}$

Поскольку $~\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$, постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.

См. также

• Аксиоматика теории множеств