Транспозиция (математика)

В математике, транспозиция — биекция множества в себя, переставляющая местами два элемента этого множества.

Формальное определение

Пусть дано конечное множество $X=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$, транспозицией на нём называется перестановка (биективная функция из $X$ в $X$) $f$ такая, что существуют индексы $i$ и $j$ такие, что $f(a_{i})=a_{j}$, $f(a_{j})=a_{i}$ и $f(a_{k})=a_{k}$ для всех остальных индексов $k.$

Транспозиция часто представляется в виде цикла $(a_{i},a_{j}).$

Пример

Например, если $X=\{a,b,c,d,e\}$, функция $\sigma$ определена как

${\begin{matrix}\sigma (a)&=&a\\\sigma (b)&=&e\\\sigma (c)&=&c\\\sigma (d)&=&d\\\sigma (e)&=&b\end{matrix}},$

то данная перестановка является транспозицией.

Свойства

Любая перестановка может быть представлена в виде композиции (произведения) транспозиций.

Знак перестановки может быть определен из разложения перестановки в произведение транспозиций: $\operatorname {sgn}(\sigma )=(-1)^{m}$, где $m$ — число транспозиций в разложении.

См. также

• Перестановка