Многогранник Силаши

многогранник Силаши
Многогранник Силаши
Тип	тороидальный многогранник
Свойства	невыпуклый
Комбинаторика
Элементы	21 ребро 14 вершин Χ = 0 (род 1)
Грани	7 шестиугольников
Конфигурация вершины	6.6.6
Двойственный многогранник	Многогранник Часара
Классификация
Группа симметрии	C1, [ ]+, (11)

Многогранник Силаши — пример невыпуклого многогранника, топологически эквивалентного тору. Назван по имени венгерского математика Лайоша Силаши, обнаружившего многогранник в 1977 году.

Свойства

• Имеет 7 шестиугольных граней.
• Каждая грань этого многогранника имеет общее ребро с любой другой гранью.
  • Как результат, для его правильной раскраски (чтобы смежные грани имели разные цвета) требуется семь цветов. Это даёт нижнюю оценку в теореме о семи красках.
• Многогранник имеет ось симметрии.
• Три пары граней попарно конгруэнтны, а одна непарная грань сама имеет вращательную симметрию, ту же самую, что и у многогранника.
• 14 вершин и 21 ребро многогранника Силаши образуют вложение графа Хивуда в поверхность тора.

• Тетраэдр и многогранник Силаши — единственные известные многогранники, у которых любые две грани имеют общее ребро.
  • Если многогранник с f гранями вложен в поверхность с h дырами таким образом, что каждые две грани имеют общее ребро, из эйлеровой характеристики следует, что

    $h={\frac {(f-4)(f-3)}{12}}.$

Это равенство выполняется для тетраэдра с h = 0 и f = 4 и для многогранника Силаши с h = 1 и f = 7. Следующее возможное решение с h = 6 и f = 12 могло бы соответствовать многограннику с 44 вершинами и 66 рёбрами, но неизвестно, существует ли такой многогранник. В общем случае это уравнение может выполняться только при f, сравнимом с 0, 3, 4 или 7 по модулю 12.

• Двойственный многограннику Силаши многогранник Часара был открыт Акошем Часаром в 1949 году. Он имеет семь вершин, 21 ребро, соединяющие каждую пару вершин, и 14 треугольных граней. Подобно многограннику Силаши, многогранник Часара имеет топологию тора.

Литература

• Ákos Császár. A polyhedron without diagonals // Acta Sci. Math. Szeged. — 1949. — Т. 13. — С. 140—142.
• Martin Gardner. Mathematical Games // Scientific American. — 1978. — Т. 239, вып. 5. — С. 22—32. — doi:10.1038/scientificamerican1178-22.
• M. Jungerman, Gerhard Ringel. Minimal triangulations on orientable surfaces // Acta Mathematica. — 1980. — Т. 145, вып. 1–2. — С. 121—154. — doi:10.1007/BF02414187.
• Ivars Peterson. MathTrek. — Mathematical Association of America, 2007.
• Lajos Szilassi. Regular toroids // Structural Topology. — 1986. — Т. 13. — С. 69—80. (недоступная ссылка)
• Клиффорд Пиковер. Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов. 250 основных вех в истории математики = Clifford Alan Pickover. The Math Book. From Pythagoras to the 57^th Dimension. 250 Milestones in the History of Mathematics / пер. с английского С. А. Иванова. — М. : Бином. Лаборатория знаний, 2014. — Гл. «1977 г. Многогранник Силаши». — ISBN 978-5-9963-0514-8.

Ссылки

• Tom Ace. The Szilassi polyhedron..
• Weisstein, Eric W. Szilassi Polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Szilassi Polyhedron — Papercraft model at CutOutFoldUp.com