Лемма Гронуолла — Беллмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Версия для печати больше не поддерживается и может содержать ошибки обработки. Обновите закладки браузера и используйте вместо этого функцию печати браузера по умолчанию.

В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения[1][2]. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.

Формулировка

Пусть

при этом для выполняется неравенство:

где — положительная константа.

Тогда при имеем оценку:

Доказательство

Из неравенства (1) получим:

и

А так как

то, проинтегрировав неравенство (3) в пределах от до , получим:

Отсюда, используя неравенство (1), получаем:

что и требовалось доказать.

Усиленная лемма Гронуолла

Пусть функция неотрицательна и непрерывна в промежутке и удовлетворяет там неравенству[3]: . Тогда при справедливо неравенство: .

Примечания

  1. Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, ИЛ, 1954
  2. Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94
  3. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. - М., Наука, 1981. - c. 26-27

Ссылки

  • PlanetMath
  • Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.