Экранированное уравнение Пуассона

В математике экранированное уравнение Пуассона — это дифференциальное уравнение в частных производных вида:

$\left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} ),$

где ${\nabla }^{2}$ — оператор Лапласа, $\lambda$ — константа, $f$ — произвольная функция позиции (известна как «функция источника»), а $u$ — искомая функция. Экранированное уравнение Пуассона часто используется в физике, включая теорию Юкавы о мезонном экранировании и экранировании электрического поля в плазме.

Когда $\lambda$ равна нулю, уравнение превращается в уравнение Пуассона. Следовательно, когда $\lambda$ очень мала, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое является суперпозицией $1/r$ функций, статистически взвешенной функцией источника $f$:

$u(\mathbf {r} )_{(Poisson)}=\int d^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.$

С другой стороны, когда $\lambda$ очень велика, $u$ приближается к значению $f/\lambda ^{2}$, которое в свою очередь приближается к нулю, когда $\lambda$ уходит на бесконечность. Как мы увидим, решение для средних значений $\lambda$ ведёт себя как суперпозиция экранированных (или затухающих) $1/r$ функций, причём $\lambda$ будет являться силой экранирования.

Экранированное уравнение Пуассона может быть решено для общего $f$ с использованием функции Грина. Функция Грина $G$ определяется как

$\left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ).$

Допустив, что $u$ и её производные пренебрежимо малы на больших $r$, мы можем выполнить преобразование Фурье в пространственных координатах:

$G(\mathbf {k} )=\int d^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

где интеграл берётся по всему пространству. Затем можно показать, что

$\left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.$

Следовательно, функция Грина на $r$ даётся обратным преобразованием Фурье:

$G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\int d^{3}\!k\;{\frac {e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.$

Этот интеграл может быть оценён с использованием сферических координат в $k$-пространстве. Интегрирование по угловым координатам несложно, и интеграл упрощается — теперь интегрировать нужно только по одной радиальной координате $k$:

$G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int \limits _{0}^{\infty }dk\;{\frac {k\,\sin kr}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.$

Этот интеграл может быть оценён путём интегрирования по контуру (теории вычетов). В итоге получаем:

$G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-|\lambda |r}}{4\pi r}}.$

Итоговое решение всей задачи:

$u(\mathbf {r} )=\int d^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int d^{3}r'{\frac {e^{-|\lambda ||\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').$

Как было указано выше, это суперпозиция экранированных $1/r$ функций, статистически взвешенных функцией источника $f$, причём $\lambda$ является коэффициентом экранирования. Экранированная $1/r$ функция часто появляется в физике как экранированный кулоновский потенциал, также известен и «потенциал Юкавы».

См. также

• Взаимодействие Юкавы