В математике лемма Гронуолла , также называемая леммой Гронуолла-Беллмана , позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения[ 1] [ 2] . Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений . В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши .
Пусть
u
(
t
)
≥
0
{\displaystyle u(t)\geq 0\ }
f
(
t
)
≥
0
{\displaystyle f(t)\geq 0\ }
u
(
t
)
,
f
(
t
)
∈
C
[
t
0
,
∞
)
,
{\displaystyle u(t),f(t)\in C[t_{0},\infty ),}
при этом для
t
≥
t
0
{\displaystyle t\geq t_{0}}
выполняется неравенство:
u
(
t
)
≤
c
+
∫
t
0
t
f
(
t
1
)
u
(
t
1
)
d
t
1
,
(
1
)
{\displaystyle u(t)\leq c+\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1},\qquad (1)}
где
c
{\displaystyle c}
— положительная константа.
Тогда при
t
≥
t
0
{\displaystyle t\geq t_{0}}
имеем оценку:
u
(
t
)
≤
c
⋅
exp
∫
t
0
t
f
(
t
1
)
d
t
1
.
(
2
)
{\displaystyle u(t)\leq \,c\cdot \exp \int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,dt_{1}.\qquad (2)}
Из неравенства (1) получим:
u
(
t
)
c
+
∫
t
0
t
f
(
t
1
)
u
(
t
1
)
d
t
1
≤
1
{\displaystyle {\frac {u(t)}{c\ +\ \int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}}}\,\leq 1}
и
f
(
t
)
u
(
t
)
c
+
∫
t
0
t
f
(
t
1
)
u
(
t
1
)
d
t
1
≤
f
(
t
)
,
(
3
)
{\displaystyle {\frac {f(t)u(t)}{c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}}}\,\leq \,f(t),\qquad (3)}
А так как
d
d
t
[
c
+
∫
t
0
t
f
(
t
1
)
u
(
t
1
)
d
t
1
]
=
f
(
t
)
u
(
t
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}{\bigg ]}=f(t)u(t),}
то, проинтегрировав неравенство (3) в пределах от
t
0
{\displaystyle t_{0}}
до
t
{\displaystyle t}
, получим:
ln
[
c
+
∫
t
0
t
f
(
t
1
)
u
(
t
1
)
d
t
1
]
−
ln
c
≤
∫
t
0
t
f
(
t
1
)
d
t
1
.
{\displaystyle \ln {\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}{\bigg ]}\,-\,\ln c\,\leq \,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,dt_{1}.}
Отсюда, используя неравенство (1), получаем:
u
(
t
)
≤
c
+
∫
t
0
t
f
(
t
1
)
u
(
t
1
)
d
t
1
≤
c
exp
∫
t
0
t
f
(
t
1
)
d
t
1
,
{\displaystyle u(t)\,\leq \,c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}\,\leq \,c\,\exp \int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,dt_{1},}
что и требовалось доказать.
Пусть функция
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
неотрицательна и непрерывна в промежутке
[
x
0
,
x
0
+
h
]
{\displaystyle \left[x_{0},x_{0}+h\right]}
и удовлетворяет там неравенству[ 3] :
0
⩽
u
(
x
)
⩽
A
+
B
∫
x
0
x
u
(
t
)
d
t
+
ϵ
(
x
−
x
0
)
,
A
⩾
0
,
B
⩾
0
,
ϵ
⩾
0
{\displaystyle 0\leqslant u(x)\leqslant A+B\int _{x_{0}}^{x}u(t)dt+\epsilon (x-x_{0}),A\geqslant 0,B\geqslant 0,\epsilon \geqslant 0}
.
Тогда при
x
∈
[
x
0
,
x
0
+
h
]
{\displaystyle x\in \left[x_{0},x_{0}+h\right]}
справедливо неравенство:
u
(
x
)
⩽
A
e
B
(
x
−
x
0
)
+
ϵ
B
(
e
B
(
x
−
x
0
)
−
1
)
{\displaystyle u(x)\leqslant Ae^{B(x-x_{0})}+{\frac {\epsilon }{B}}(e^{B(x-x_{0})}-1)}
.
↑ Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, ИЛ, 1954
↑ Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94
↑ Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. - М., Наука, 1981. - c. 26-27
PlanetMath
Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.