Теория гомологий

Теория гомоло́гий (др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.

В простейшем случае топологическому пространству $X$ сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий $H_{k}(X)$, занумерованных натуральными числами $k$. Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп, они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информации.

Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию, и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры, так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга.

Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии $H_{k}(X,A)$ с коэффициентами в абелевой группе $A$, относительные гомологии $H_{k}(X,Y)$ пары пространств $X\supset Y$ и когомологии $H^{k}(X)$, определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения $H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\to H^{k+l}(X)$, превращающего их в градуированную алгебру.

Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — группам, алгебрам Ли, пучкам. Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий цепного комплекса — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам топологические пространства с подходящими гомологиями.

Общее определение

Напомним, что $k$-я гомотопическая группа $\pi _{k}(X)$ пространства $X$ — это множество отображений из $k$-мерной сферы в $X$, рассмотренное с точностью до непрерывной деформации. Для определения гомологий $H_{k}(X)$ отображения сфер заменяют на $k$-циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности $k$ внутри $X$, но в разных определениях формализуют по-разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие того, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.

В стандартных обозначениях группа $k$-циклов — $Z_{k}(X)$ (от нем. Zyklus — «цикл»), группа $k$-границ — $B_{k}(X)$ (от англ. boundary — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как

$H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)$.

Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности $k>2$ приводит к некоторым трудностям. Решением является определение промежуточного понятия группы $k$-цепей $C_{k}(X)$, состоящей из формальных линейных комбинаций отображений в $X$ неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементов размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы $\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)$. Тогда $k$-циклы определяются как $k$-цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются ядром, а границы — образом отображения границы:

$Z_{k}(X)=Ker(\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X)=Im(\partial _{k+1}:C_{k+1}(X)\to C_{k}(X))$.

Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия цепного комплекса: $\partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0$, а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.

Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории сингулярных гомологий такими элементами являются симплексы, а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории симплициальных гомологий, определённых для симплициальных комплексов, — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории клеточных гомологий, определённых для клеточного комплекса, это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.

Гомологические теории

• Симплициальные гомологии — гомологии определяются для очень простых пространств (симплициальных комплексов).

Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.

• Сингулярные гомологии — другая теория гомологий, предложенная Лефшецом. Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.
• Гомологии Чеха — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.

Гомологии с коэффициентами в произвольных группах

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы $G$. То есть, вместо групп $C_{k}(X)$ рассматривать группы $C_{k}(X)\otimes G$.

Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства $X$ с коэффициентами в группе $G$ обозначаются $H_{k}(X;G).$ Обычно применяют группу действительных чисел $\mathbb {R}$, рациональных чисел $\mathbb {Q}$, или циклическую группу вычетов по модулю $m$ — $\mathbb {Z} _{m}$, причём обычно берётся $m=p$ — простое число, тогда $\mathbb {Z} _{p}$ является полем.

Другое описание. Применяя к комплексу $C_{*}(X)$

$\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\xleftarrow {}}\ldots$

функтор $\cdot \otimes G$, мы получим комплекс

$\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}\ldots$,

гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в $G$.

Когомологии

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу $G$. То есть, пространство коцепей $C^{k}(X)=\operatorname {Hom} (C_{k}(X),G)$.

Граничный оператор $\delta ^{k}:C^{k}\to C^{k+1}$ определяется по формуле: $(\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)$ (где $x\in C^{k},\;c\in C_{k+1}$). Для такого граничного оператора также выполняется

$\delta ^{k+1}\delta ^{k}=0$, а именно

$(\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0$.

Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов $Z^{k}(X,G)=\operatorname {Ker} \delta ^{k}$, кограниц $B^{k}(X,G)=\operatorname {Im} \delta ^{k-1}$ и когомологий $H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)$.

Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.

Если $G$ — кольцо, то в группе когомологий $H^{*}(X,G)$ определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или $\cup$-произведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.

В случае, когда $X$ — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий $H^{*}(X,\mathbb {R} )$ может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на $X$ (см. Теорема де Рама).

Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.

Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность

Возьмём случай двух топологических пространств $Y\subset X$. Группа цепей $C_{k}(Y)\subset C_{k}(X)$ (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе $G$). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы $C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)$. Так как граничный оператор $d$ на группе гомологий подпространства $Y$ переводит $d_{k}\colon C_{k}(Y)\to C_{k-1}(Y)$, то можно определить на факторгруппе $C_{k}(X,Y)$ граничный оператор (мы его обозначим так же) $d_{k}\colon C_{k}(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)$.

Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в $0$ будут называться относительными циклами $Z_{k}(X,Y)$, а цепи, которые являются его значениями — относительными границами $B_{k}(X,Y)$. Так как $dd=0$ на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда $B_{k}(X,Y)\subset Z_{k}(X,Y)$. Факторгруппа $H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)$ называется группой относительных гомологий.

Так как каждый абсолютный цикл в $H_{k}(X)$ является также и относительным то имеем гомоморфизм $j_{k}:H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)$ По функториальному свойству вложение $i_{k}:Y\to X$ приводит к гомоморфизму $i_{*}:H_{k}(Y)\to H_{k}(X)$.

В свою очередь можно построить гомоморфизм $d_{*k}:H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$, который мы определим следующим образом. Пусть $c_{k}\in C_{k}(X,Y)$ — относительная цепь, которая определяет цикл из $H_{k}(X,Y)$. Рассмотрим её как абсолютную цепь в $C_{k}(X)$ (с точностью до элементов $C_{k}(Y)$). Так как это относительный цикл, то $d_{k}c$ будет равен нулю с точностью до некоторой цепи $c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)$. Положим $d_{*k}$ равным классу гомологий цепи $c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)$.

Если мы возьмём другую абсолютную цепь $c'_{k}\in C_{k}(X)$, определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь $c=c'+u$, где $u\in C_{k}(Y)$. Имеем $d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u$, но так как $d_{k}u$ является границей в $Z_{k-1}(Y)$ то $d_{k}c$ и $d_{k}c'$ определяют один и тот же элемент в группе гомологий $H_{k-1}(Y)$. Если взять другой относительный цикл $c''$, дающий тот же элемент в группе относительных гомологий $c=c''+b$, где $b$ — относительная граница, то в силу того, что $b$ граница для относительных гомологий $b=d_{k+1}x+v$, где $v\in C_{k}(Y)$ , отсюда $d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v$, но $dd=0$, а $d_{k}v$ — граница в $Z_{k-1}(Y)$.

Поэтому класс гомологий $d_{*k}c_{k}$ определен однозначно. Ясно по линейности оператора $d_{*k}$, что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:

$i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)$;

$j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)$ и

$d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$;

$...\to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to ...$

Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

Аксиомы Стинрода — Эйленберга

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар $D$ топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Если $(X,Y)\in D,$ то $(X,X)\in D,$ $(X,\varnothing )\in D,$ $(Y,Y)\in D$ и $(Y,\varnothing )\in D$.
2. Если $(X,Y)\in D$, то и $(X\times I,Y\times I)\in D$, где $I$ — замкнутый интервал [0,1].
3. $(*,\varnothing )\in D$, где $*$ — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа $H_{k}(X,Y)$ и непрерывному отображению пар $f\colon (X,Y)\to (X',Y')$ соответствует гомоморфизм $f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')$ (Пространство $X$ отождествляется с парой $(X,\varnothing )$), а $H_{k}(X)$ с $H_{k}(X,\varnothing )$), причём выполняются следующие аксиомы:

1. Тождественному отображению пары $id$ соответствует тождественный гомоморфизм $id_{*k}$.
2. $(gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}$ (функториальность)
3. Определен граничный гомоморфизм $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$, причём если $f\colon (X,Y)\to (X',Y')$, то для соответствующего гомоморфизма $f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')$ верно $d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}$ для любой размерности $k$.
4. Пусть $i\colon Y\to X$ и $j\colon X\to (X,Y)$ — вложения, $i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)$ и $j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)$ — соответствующие гомоморфизмы, $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
   $\ldots \to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to \ldots$
   точна (аксиома точности).
5. Если отображения $f,g\colon (X,Y)\to (X',Y')$ гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны $f_{*k}=g_{*k}$ для любой размерности $k$ (аксиома гомотопической инвариантности).
6. Пусть $U\subset X$ — открытое подмножество $X$, причём его замыкание содержится во внутренности множества $Y$, тогда если пары $(X\setminus U,Y\setminus U)$ и $(X,Y)$ принадлежат допустимому классу, то для любой размерности $k$ вложению $(X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)$ соответствует изоморфизм $H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)$ (аксиома вырезания).
7. Для одноточечного пространства $H_{k}(*)=0$ для всех размерностей $k>0$. Абелева группа $G=H_{0}(*)$ называется группой коэффициентов (аксиома размерности).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе $G$ их отображения и граничный гомоморфизм $d_{*}$ удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.

Необходимо только иметь в виду, что отображению $f\colon (X,Y)\to (X',Y')$ соответствует $f^{*k}\colon H^{k}(X',Y')\to H^{k}(X,Y)$ (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм $\delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\to H^{k}(X,Y)$ увеличивает размерность.

Экстраординарные гомологии

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.

Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей $k>0$, называются экстраординарными, или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р. Тома.

См. также

• Гомологическая алгебра
• Гомотопия
• Фундаментальный класс
• Гомотопические группы

Литература

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5020139297.
• Hatcher A. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0521795400.