Двойственная категория

Двойственная категория (дуальная категория) — категория, построенная из заданной согласно теоретико-категорному принципу двойственности, то есть, для категории ${\mathcal {C}}$ двойственной является категория ${\mathcal {C}}^{op}$ с теми же объектами, что и ${\mathcal {C}}$ и с множествами морфизмов ${\text{Hom}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(A,B)={\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)$ («обращение стрелок»). Композиция морфизмов в $f$ и $g$ в категории ${\mathcal {C}}^{op}$ определяется как композиция $g$ и $f$ в ${\mathcal {C}}$. Понятия и утверждения, относящиеся к категории ${\mathcal {C}}$, заменяются двойственными понятиями и утверждениями в ${\mathcal {C}}^{op}$. Применение двойственности дважды переводит категорию в себя.

Примеры

• Категория булевых алгебр эквивалентна двойственной категории пространств Стоуна и непрерывных функций.
• Категория аффинных схем эквивалентна двойственной категории коммутативных колец.
• Двойственность Понтрягина можно ограничить на эквивалентность категории компактных хаусдорфовых абелевых топологических групп и двойственной категории (дискретных) абелевых групп.
• Согласно теореме Гельфанда — Ноймарка категория локально измеримых пространств (и измеримых функций) эквивалентна двойственной категории коммутативных алгебр фон Неймана.

Свойства

• $({\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}})^{op}\cong {\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {D}}^{op}$ (см. категория произведения)
• $(Funct({\mathcal {C}},{\mathcal {D}}))^{op}\cong Funct({\mathcal {C}}^{op},{\mathcal {D}}^{op})$ (см. категория функторов)
• $(F\downarrow G)^{op}\cong (G^{op}\downarrow F^{op})$ (см. категория запятой)

Литература

• Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.