Конфигурационное пространство (топология)

Конфигурационное пространство $\operatorname {UConf} _{2}(S^{1})$ двухэлементных подмножеств окружности гомеоморфно внутренности ленты Мёбиуса

Конфигурационное пространство в топологии — множество наборов различных точек заданного топологического пространства.

Выделяют два типа конфигурационных пространств: пространство $\operatorname {Conf} _{n}(M)$ упорядоченных наборов $n$ различных точек данного пространства $M$ и пространство $\operatorname {UConf} _{n}(M)$ неупорядоченных наборов его $n$ различных точек, где $n\geq 1$.

Введение

Понятие конфигурационного пространства естественно возникает во множестве областей математики и её приложений.

Конфигурационные пространства поверхностей, таких как евклидова плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ и сфера $S^{2}$, тесно связаны с теорией кос и пространствами модулей. Кроме того, конфигурационные пространства многообразий возникают в различных задачах алгебраической топологии и могут быть использованы для гомотопической аппроксимации пространств непрерывных отображений. Широкие приложения допускает задача вычисления гомотопических типов конфигурационных пространств.

Например, пространство $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{3})$ наборов различных точек евклидова пространства $\mathbb {R} ^{3}$ является естественным контекстом гравитационной задачи $n$ тел. Так, существование периодических решений соответствующей гамильтоновой системы может быть получено путём изучения категории Люстерника — Шнирельмана и ряда Пуанкаре пространства петель $\Omega \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{3})$.

Конфигурационные пространства возникают в задачах, известных под общим именем «Тринадцатая проблема Гильберта», а именно, в задаче представления (многозначных) алгебраических функций от нескольких переменных в виде композиции функций меньшего числа переменных. Классическим примером результата в данном направлении является утверждение о том, что при $n\geq 4$ функция, сопоставляющая набору $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ комплексных чисел множество из $n$ корней многочлена

$z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\ldots +a_{n-1}z+a_{n}$,

не может быть представлена в виде композиции функций меньшего чем $n-1$ числа переменных. В 1970 году Владимир Игоревич Арнольд предложил подход к этой задаче, основанный на подсчёте групп когомологий конфигурационного пространства $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ плоскости $\mathbb {R} ^{2}$, и доказал данное утверждение в случае, если число $n$ является степенью двойки.

Родственным к данному является естественное возникновение конфигурационных пространств в теории накрытий. Так, каждое $n$-листное накрытие $p\colon X\to Y$ задаёт непрерывное отображение $Y\to \operatorname {UConf} _{n}(X)$, сопоставляющее точке $y\in Y$ её полный прообраз $p^{-1}(y)$. Данное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп

$p_{*}\colon \pi _{1}(Y)\to B_{n}(X)$,

где $B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X))$ — так называемая группа кос топологического пространства $X$. Этот гомоморфизм является важным инвариантом накрытия $p$.

Определение

Конфигурационное пространство упорядоченных наборов $n$ различных точек топологического пространства $M$ — это множество $n$-компонентных кортежей попарно различных элементов из $M$, то есть подмножество

$\operatorname {Conf} _{n}(M):=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in M^{n}\mid x_{i}\neq x_{j}$ для всех $i\neq j\}$

декартовой степени $M^{n}$, рассматриваемое с топологией, индуцированной с топологии произведения на $M^{n}$. Также используются обозначения $\operatorname {Conf} (M,n)$, ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ и $\mathbb {F} _{n}(M)$.

Конфигурационное пространство неупорядоченных наборов $n$ различных точек топологического пространства $M$ — это пространство $\operatorname {UConf} _{n}(M)$ его $n$-элементных подмножеств. Иными словами, это факторпространство пространства $\operatorname {Conf} _{n}(M)$ по отношению, при котором два кортежа эквивалентны, если один может быть получен из другого перестановкой компонент. Также используются обозначения $\operatorname {Conf} (M,n)/S_{n}$, ${\mathcal {UC}}^{n}(M)$ и $\mathbb {F} _{n}(M)/S_{n}$.

В вырожденном случае $n=1$ имеются равенства $\operatorname {Conf} _{1}(M)=\operatorname {UConf} _{1}(M)=M$.

В литературе также встречаются следующие модификации предыдущих конструкций.

Пространство конечных упорядоченных наборов различных точек топологического пространства $M$ — это дизъюнктное объединение

$\operatorname {Conf} _{<\infty }(M):=\coprod _{n\geq 0}\operatorname {Conf} _{n}(M)$.

Пространство конечных подмножеств топологического пространства $M$ — это дизъюнктное объединение

$\operatorname {UConf} _{<\infty }(M):=\coprod _{n\geq 0}\operatorname {UConf} _{n}(M)$.

Свойства

Конфигурационные пространства гомеоморфных топологических пространств гомеоморфны.

В случае, если $M$ является топологическим многообразием (возможно, с непустым краем) размерности $m$, пространства $\operatorname {Conf} _{n}(M)$ и $\operatorname {UConf} _{n}(M)$ являются многообразиями размерности $n\cdot m$. Кроме того, если $M$ связно и $m\geq 2$, то оба пространства $\operatorname {Conf} _{n}(M)$ и $\operatorname {UConf} _{n}(M)$ связны.

Каноническая проекция $\pi \colon \operatorname {Conf} _{n}(M)\to \operatorname {UConf} _{n}(M)$ совпадает с канонической проекцией на факторпространство пространства $\operatorname {Conf} _{n}(M)$ по следующему действию симметрической группы:

${\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(M)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(M)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)})\end{aligned}}$.

Поскольку данное действие непрерывно и вполне разрывно, отображение $\pi$ является накрытием, причем регулярным. Число его листов равно порядку группы $S_{n}$, то есть $n!$.

Евклидовы пространства

Конфигурационные пространства некоторых евклидовых пространств можно описать в следующих элементарных терминах.

Прямая

Вещественная прямая $\mathbb {R}$ гомеоморфна единичному интервалу $(0,1)$, поэтому для изучения структуры конфигурационных пространств прямой достаточно рассматривать конфигурационные пространства такого интервала. Они, в свою очередь, допускают следующие описания.

Симплексы размерности от нуля до трёх: точка, отрезок, треугольник и тетраэдр

Каждый элемент пространства $\operatorname {UConf} _{n}((0,1))$ неупорядоченных наборов $n$ различных точек интервала $(0,1)$ задаётся такой последовательностью $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ вещественных чисел, что

$0<s_{1}<s_{2}<\ldots <s_{n}<1$.

Непосредственно из его определения следует, что такая последовательность соответствует внутренней точке симплекса размерности $n$, причем данная кодировка непрерывно зависит от исходной последовательности. Таким образом, пространство $\operatorname {UConf} _{n}((0,1))$ гомеоморфно внутренности $n$-мерного симплекса. Например, пространство $\operatorname {UConf} _{2}((0,1))$ гомеоморфно внутренности треугольника, а пространство $\operatorname {UConf} _{3}((0,1))$ — внутренности тетраэдра.

Каждый неупорядоченный набор $n$ различных точек единичного интервала $(0,1)$ можно упорядочить ровно $n!$ способами. Таким образом, пространство $\operatorname {Conf} _{n}((0,1))$ гомеоморфно дизъюнктному объединению $n!$ копий пространства $\operatorname {UConf} _{n}((0,1))$.

В частности, каждая компонента связности пространств $\operatorname {Conf} _{n}((0,1))$ и $\operatorname {UConf} _{n}((0,1))$ стягиваема. Более того, в обоих случаях множество конфигураций, в которых соседние точки (вместе с точками $0$ и $1$) равноудалены друг от друга, является деформационным ретрактом объемлющего пространства: каждый «неровный» набор может быть деформирован в «ровный» путём равномерного расталкивания или сближения его элементов.

Пары точек в евклидовых пространствах

Пара $(x,y)$ различных точек на плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ однозначно определяется первой точкой $x\in \mathbb {R} ^{2}$ и вектором $y-x\in \mathbb {R} ^{2}\backslash \{0\}$, отвечающем за расположение второй точки относительно первой. Данная кодировка непрерывно зависит от исходной пары точек. Следовательно, конфигурационное пространство таких точек гомеоморфно произведению плоскости и проколотой плоскости:

$\operatorname {Conf} _{2}(\mathbb {R} ^{2})\cong \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\backslash \{0\}$.

Данный подход обобщается на произвольное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{m}$. А именно, отображение $(x,y)\mapsto (x,y-x)$ устанавливает гомеоморфизм

$\operatorname {Conf} _{2}(\mathbb {R} ^{m})\cong \mathbb {R} ^{m}\times (\mathbb {R} ^{m}\backslash \{0\})$.

В общем случае $n\geq 2$ отображение

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{1},x_{1}-x_{2},x_{1}-x_{3},\ldots ,x_{1}-x_{n})$

устанавливает гомеоморфизм

$\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})\cong \mathbb {R} ^{m}\times \operatorname {Conf} _{n-1}(\mathbb {R} ^{m}\backslash \{0\})$.

Пространство прямых, проходящих через заданную точку в $\mathbb {R} ^{3}$, гомеоморфно вещественной проективной плоскости $\mathbb {R} P^{2}$

Похожую кодировку допускает пространство $\operatorname {UConf} _{2}(\mathbb {R} ^{m})$ двухэлементных подмножеств евклидова пространства $\mathbb {R} ^{m}$. Так, подобные подмножества $\{x,y\}$ однозначно определяются своим центром масс $(x+y)/2\in \mathbb {R} ^{m}$, расстоянием $|x-y|\in (0,\infty )$ и прямой, проходящей через эти точки, которая представляет собой элемент $\langle x-y\rangle \in \mathbb {R} P^{m-1}$ вещественного проективного пространства размерности $m-1$. Таким образом,

$\operatorname {UConf} _{2}(\mathbb {R} ^{m})\cong \mathbb {R} ^{m}\times (0,\infty )\times \mathbb {R} P^{m-1}\cong \mathbb {R} ^{m+1}\times \mathbb {R} P^{m-1}$.

В частности, пространства $\operatorname {Conf} _{2}(\mathbb {R} ^{m})$ и $\operatorname {UConf} _{2}(\mathbb {R} ^{m})$ гомотопически эквивалентны, соответственно, пространствам $S^{m-1}$ и $\mathbb {R} P^{m-1}$.

Плоскость

Конфигурационное пространство $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ неупорядоченных наборов $n$ различных точек плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ допускает следующую интерпретацию в терминах многочленов без кратных корней, предложенную Владимиром Игоревичем Арнольдом в его работе 1970 года.

Отождествим плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ с комплексной плоскостью $\mathbb {C}$. Множество всех приведённых многочленов степени $n$ одной комплексной переменной, то есть многочленов вида

$z^{n}+a_{1}z^{n-1}+a_{2}z^{n-2}+\ldots +a_{n-1}z+a_{n}$,

где $a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {C}$, может быть отождествлено с произведением $\mathbb {C} ^{n}$. Согласно основной теореме алгебры, сопоставление набору $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ комплексных чисел многочлена

$(z-x_{1})(z-x_{2})\cdot \ldots \cdot (z-x_{n})$

задаёт сюръективное отображение произведения $\mathbb {C} ^{n}$ в пространство таких многочленов. В терминах предыдущего отождествления оно может быть задано формулой

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto (p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})$,

где $p_{k}$ — значение элементарного симметрического многочлена степени $k$ от $n$ переменных на кортеже $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$. Образом сужения этого отображения на конфигурационное пространство $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {C} )$ является множество многочленов без кратных корней. Данное сужение индуцирует гомеоморфизм между конфигурационным пространством $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {C} )$ и множеством приведённых многочленов степени $n$ без кратных корней одной комплексной переменной.

Изучение свойств гомеоморфизма, обратного к указанному выше, является одной из основных тем в классической теории Галуа.

Тройки точек на плоскости

Конфигурационное пространство $\operatorname {UConf} _{3}(\mathbb {R} ^{2})$ гомотопически эквивалентно дополнению узла трилистника

Конфигурационное пространство $\operatorname {UConf} _{3}(\mathbb {C} )$ трёхэлементных подмножеств комплексной плоскости и внутренность дополнения узла трилистника гомотопически эквивалентны. Данная гомотопическая эквивалентность может быть установлена следующим образом.

Как отмечено выше, пространство $\operatorname {UConf} _{3}(\mathbb {C} )$ гомеоморфно пространству кубических приведённых многочленов одной комплексной переменной, не имеющих кратных корней: конфигурации $\{a,b,c\}\subset \mathbb {C}$ соответствует многочлен

$f(z):=(z-a)(z-b)(z-c)=z^{3}-(a+b+c)z^{2}+(ab+ac+bc)z-abc$.

Подпространство многочленов вида $z^{3}+pz+q$, где $p,q\in \mathbb {C}$, является деформационным ретрактом объемлющего пространства многочленов. А именно, искомая деформация многочленов переносит центр масс их корней в начало координат и задаётся формулой

$f(z)\mapsto f_{t}(z):=f(z+t(a+b+c)/3)$.

Многочлен вида $z^{3}+pz+q$ не имеет кратных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант $-4p^{3}-27q^{2}$ не равен нулю. Поэтому пространство таких многочленов гомеоморфно подпространству

$X:=\{(p,q)\in \mathbb {C} ^{2}\mid 4p^{3}+27q^{2}\neq 0\}$

пространства $\mathbb {C} ^{2}$. Далее, пространство

$Y:=\{(p,q)\in \mathbb {C} ^{2}\mid 4p^{3}+27q^{2}\neq 0,\ |p|^{2}+|q|^{2}=1\}$

является деформационным ретрактом пространства $X$. А именно, искомая ретракция представляет собой «подкрученную» радиальную проекцию вида $(x,y)\mapsto (\lambda ^{2}\cdot x,\lambda ^{3}\cdot y)$, где $\lambda \in \mathbb {C}$ — определённая константа.

Поскольку уравнение $4p^{3}+27q^{2}=0$ высекает в трёхмерной сфере

$S^{3}=\{(p,q)\in \mathbb {C} ^{2}:|p|^{2}+|q|^{2}=1\}$

узел трилистник, пространство $Y$ совпадает со внутренностью его дополнения.

Сферы

Неупорядоченный набор различных точек на окружности

Конфигурационное пространство $\operatorname {Conf} _{2}(S^{1})$ гомеоморфно касательному пространству $TS^{1}$ окружности $S^{1}$ и гомеоморфно произведению $S^{1}\times \mathbb {R}$

Окружность

Конфигурационное пространство $\operatorname {Conf} _{n}(S^{1})$ окружности допускает следующее описание в терминах конфигурационного пространства $\operatorname {Conf} _{n-1}((0,1))$ интервала.

Введём на окружности $S^{1}$ координаты, отождествив её со стандартной единичной окружностью на комплексной плоскости. Тогда отображение

$(z,s_{1},\ldots ,s_{n-1})\mapsto (z,z\cdot e^{2\pi is_{1}},\ldots ,z\cdot e^{2\pi is_{n-1}})$

осуществляет гомеоморфизм $S^{1}\times \operatorname {Conf} _{n-1}((0,1))\to \operatorname {Conf} _{n}(S^{1})$. Таким образом, конфигурационное пространство упорядоченных наборов $n$ различных точек окружности гомеоморфно произведению окружности и дизъюнктного объединения $(n-1)!$ копий открытых симплексов размерности $n-1$.

В частности, пространство $\operatorname {Conf} _{n}(S^{1})$ гомотопически эквивалентно дизъюнктному объединению окружностей. Точнее, подобно случаю интервала, множество конфигураций, расположенных в форме правильного многоугольника, является деформационным ретрактом объемлющего пространства.

Аналогичные рассуждения показывают, что множество конфигураций, расположенных в форме правильного многоугольника, является деформационным ретрактом конфигурационного пространства $\operatorname {UConf} _{n}(S^{1})$. Это множество гомеоморфно окружности, и тем самым, конфигурационное пространство гомотопически эквивалентно окружности.

Пары точек на сферах

Конфигурационное пространство $\operatorname {Conf} _{2}(S^{1})$ пар различных точек на окружности $S^{1}$ совпадает с дополнением простой замкнутой кривой $\{(x,x)\mid x\in S^{1}\}$ до тора $S^{1}\times S^{1}$.

Имеется также следующая наглядная кодировка элементов $(x,y)$ пространства $\operatorname {Conf} _{2}(S^{1})$. Для $x\in S^{1}$ стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм $S^{1}\backslash \{x\}\cong \mathbb {R}$. Точнее, в случае окружности возможно сопоставить точке $y\in S^{1}\backslash \{x\}$ координату на дуге $S^{1}\backslash \{x\}$, проложенной в положительном направлении окружности. Данная кодировка непрерывна и устанавливает гомеоморфизм

$\operatorname {Conf} _{2}(S^{2})\cong S^{1}\times \mathbb {R}$

конфигурационного пространства пар различных точек на окружности с бесконечным цилиндром.

Данный подход частично обобщается на произвольную сферу $S^{m}$. Для $x\in S^{m}$ стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм $S^{m}\backslash \{x\}\cong \mathbb {R} ^{m}$. Однако в общем случае может не быть естественного способа сопоставить подобную координату каждой точке $y\in S^{m}\backslash \{x\}$ так, чтобы кодировка осуществляла гомеоморфизм пространств $\operatorname {Conf} _{2}(S^{m})$ и $S^{m}\times \mathbb {R} ^{m}$. В действительности, она осуществляет гомеоморфизм

$\operatorname {Conf} _{2}(S^{m})\cong TS^{m}$

между конфигурационным пространством пар различных точек на сфере $S^{m}$ и его касательным пространством $TS^{m}$ сферы $S^{m}$. Кроме того, отображение

$S^{m}\to \operatorname {Conf} _{2}(S^{m})$,

заданное формулой $x\to (x,-x)$, является гомотопической эквивалентностью. Препятствием к гомеоморфности пространств $\operatorname {Conf} _{2}(S^{m})$ и $S^{m}\times \mathbb {R} ^{m}$ является непараллелизуемость сферы $S^{m}$, имеющая место при $m\neq 1,3,7$.

Модель тора в квадрате с парой отождествлённых противоположных сторон

Конфигурационное пространство $\operatorname {UConf} _{2}(S^{1})$ двухэлементных подмножеств окружности $S^{1}$ может быть получено из пространства $\operatorname {Conf} _{2}(S^{1})$ следующим образом. Представим тор $S^{1}\times S^{1}$ в виде факторпространства квадрата $[0,1]\times [0,1]$ по отношению $(0,y)\sim (1,y)$ и $(x,0)\sim (x,1)$, где $x,y\in [0,1]$. Тогда пространство $\operatorname {Conf} _{2}(S^{1})$ получается из данного факторпространства удалением диагонали $\{(x,x)|x\in [0,1]\}$. Чтобы получить искомое пространство $\operatorname {UConf} _{2}(S^{1})$, требуется отождествить точки полученного пространства, симметричные относительно данной диагонали: $(x,y)\sim (y,x)$. Подобное отождествление равносильно представлению пространства $\operatorname {UConf} _{2}(S^{1})$ в виде факторпространства прямоугольного треугольника с вырезанной гипотенузой

$\{(x,y)\mid x\in [0,1],\,y\in [0,x)\}$

по отношению $(0,x)\sim (1,x)$, где $x\in [0,1]$. Такое факторпространство гомеоморфно внутренности ленты Мёбиуса.

Пространство $\operatorname {UConf} _{2}(S^{1})$ является тотальным пространством одномерного векторного расслоения над окружностью (или, что то же самое, над проективной прямой $\mathbb {R} P^{1}$) и гомеоморфно внутренности ленты Мёбиуса

В общем случае сферы $S^{m}$ конфигурационное пространство $\operatorname {UConf} _{2}(S^{m})$ допускает следующее описание.

Подмножество этого пространства, состоящее из элементов вида $\{x,-x\}$, где $x\in S^{m}$, гомеоморфно вещественному проективному пространству $\mathbb {R} P^{m}$: паре диаметрально противоположных точек на $S^{m}$ соответствует прямая в $\mathbb {R} ^{m+1}$. Данное подмножество является деформационным ретрактом объемлющего пространства $\operatorname {UConf} _{2}(S^{m})$: каждая неантиподальная пара $\{x,y\}$ может быть равномерно деформирована в антиподальную путём расталкивания точек $x$ и $y$ вдоль единственной содержащей их большой окружности сферы $S^{m}$. Например, в случае $m=1$ искомое проективное пространство $\mathbb {R} P^{1}$ вкладывается посредством вышеописанного гомеоморфизма во внутренность ленты Мёбиуса в виде её сердцевины (или средней окружности), а деформационная ретракция стягивает каждый перпендикулярный сердцевине интервал ленты Мёбиуса в точку.

Само пространство $\operatorname {UConf} _{2}(S^{m})$ гомеоморфно тотальному пространству $m$-мерного векторного расслоения $\gamma ^{\bot }$ над $\mathbb {R} P^{m}$, где символ $\gamma \subset \mathbb {R} ^{m+1}$ обозначает одномерное тавтологическое расслоение над $\mathbb {R} P^{m}$, а символ $\gamma ^{\bot }$ — его ортогональное дополнение.

Тройки точек на сферах

Конфигурационное пространство $\operatorname {Conf} _{3}(S^{2})$ допускает следующее описание.

Отождествим сферу $S^{2}$ с комплексным проективным пространством размерности один, то есть со сферой Римана $\mathbb {C} P^{1}$. Тогда для любой тройки $(a,b,c)\in \operatorname {Conf} _{3}(\mathbb {C} P^{1})$ отображение

$f\mapsto (f(a),f(b),f(c))$

устанавливает гомеоморфизм

${\rm {PGL}}_{2}(\mathbb {C} )\cong \operatorname {Conf} _{3}(\operatorname {Conf} _{3}(\mathbb {C} P^{1}))$

между проективной группой преобразований Мёбиуса и конфигурационным пространством троек различных точек сферы. В общем случае $n\geq 3$ для любой тройки $(a,b,c)\in \operatorname {Conf} _{3}(S^{2})$ отображение

$(f,x_{1},\ldots ,x_{n-3})\mapsto (f(a),f(b),f(c),f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots ,f(x_{n-3}))$

устанавливает гомеоморфизм

${\rm {PGL}}_{2}(\mathbb {C} )\times \operatorname {Conf} _{n-3}(S^{3}\backslash \{a,b,c\})\cong \operatorname {Conf} _{n}(S^{2})$.

Проективная специальная унитарная группа ${\rm {PSU}}_{2}(\mathbb {C} )$ является максимальной компактной подгруппой группы ${\rm {PGL}}_{2}(\mathbb {C} )$ и, следовательно, её деформационным ретрактом. Поскольку она гомеоморфна специальной ортогональной группе ${\rm {SO}}_{3}(\mathbb {R} )$ и гомеоморфна трёхмерному вещественному проективному пространству $\mathbb {R} P^{3}$, можно заключить, что конфигурационное пространство $\operatorname {Conf} _{3}(S^{2})$ гомотопически эквивалентно данным пространствам.

Последняя гомотопическая эквивалентность следующим образом обобщается на произвольную сферу $S^{m}$.

Отображение

$(p,v)\mapsto (p,{\rm {exp}}(v),{\rm {exp}}(-v))$

задаёт вложение

$UTS^{m}\to \operatorname {Conf} _{3}(S^{m})$

пространства единичных касательных векторов сферы $S^{m}$ в конфигурационное пространство, где символ

${\rm {exp}}\colon TS^{m}\to S^{m}$

обозначает экспоненциальное отображение. Образ этого вложения является деформационным ретрактом пространства $\operatorname {Conf} _{3}(S^{m})$. Пространство $UTS^{m}$ гомеоморфно многообразию Штифеля $V_{2}(\mathbb {R} ^{m+1})$ ортонормированных $2$-реперов в $\mathbb {R} ^{m+1}$. В случае $m=2$ имеется гомеоморфизм $V_{2}(\mathbb {R} ^{3})\cong {\rm {SO}}_{3}(\mathbb {R} )$.

Роль в теории кос

Петли в конфигурационном пространстве $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ представляют собой геометрические косы из $n$ нитей.

Конфигурационные пространства представляют собой естественную среду для изучения и развития теории кос. Связь с косами состоит в следующем.

Пусть $s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}\colon [0,1]\to M$ — совокупность из $n$ путей попарно различных в каждый момент времени точек в пространстве $M$, то есть путей, для которых выполняются условия $s_{i}(t)\neq s_{j}(t)$ при всех $i\neq j$ и $t\in [0,1]$. Такая совокупность естественным образом задаёт путь в каждом из конфигурационных пространств $\operatorname {Conf} _{n}(M)$ и $\operatorname {UConf} _{n}(M)$, или, иными словами, непрерывное семейство конфигураций точек в $M$. Заданный так путь замкнут, то есть является петлей, если его конечная конфигурация совпадает с начальной. В случае пространства $\operatorname {Conf} _{n}(M)$ это означает равенство точек $s_{k}(1)=s_{k}(0)$ для всех $k\in \{1,2,\ldots ,n\}$, а в случае пространства $\operatorname {UConf} _{n}(M)$ — равенство множеств

$\{s_{1}(1),\ldots ,s_{n}(1)\}=\{s_{1}(0),\ldots ,s_{n}(0)\}$.

Пусть теперь $M=\mathbb {R} ^{2}$. Если подобная совокупность путей $s_{1},\ldots ,s_{n}$ задаёт петлю в пространстве $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$, то она определяет набор кривых

$[0,1]\times \{1,2,\ldots ,n\}\to \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]$,

заданный формулой $(t,k)\mapsto (s_{k}(t),t)$, который представляет собой геометрическую косу из $n$ нитей. А если пути задают петлю в пространстве $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$, то полученная коса является крашеной, то есть конец каждой её нити находится на том же уровне, что и начало.

В действительности фундаментальная группа конфигурационного пространства $\operatorname {UConf} _{n}(X)$ неупорядоченных наборов $n$ различных точек изоморфна группе кос $B_{n}$, а фундаментальная группа конфигурационного пространства $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ упорядоченных наборов $n$ различных точек изоморфна группе крашеных кос $P_{n}$.

Группа кос топологического пространства

Группой кос и группой крашеных кос из $n$ нитей топологического пространства $M$ называются, соответственно, группы

$B_{n}(M):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(M))$ и

$P_{n}(M):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(M))$.

Например, так как

$\operatorname {UConf} _{1}(M)=\operatorname {Conf} _{1}(M)=M$,

имеются равенства

$B_{1}(M)=P_{1}(M)=\pi _{1}(M)$.

Иными словами, группы кос обобщают фундаментальную группу. Кроме того, группы кос поверхностей тесно связаны с их группами классов отображений.

Каждому элементу $\beta \in B_{n}(X)$ можно сопоставить элемент симметрической группы, а именно, перестановку $\tau (\beta )\in S_{n}$ компонент соответствующего упорядоченного кортежа. Иными словами, эта перестановка определяется листом, содержащем конец поднятия петли $\beta$ относительно накрытия

$\pi \colon \operatorname {Conf} _{n}(X)\to \operatorname {UConf} _{n}(X)$.

Функция $\tau$ является гомоморфизмом и задаёт короткую точную последовательность

$1\to P_{n}(X)\to B_{n}(X)\to S_{n}\to 1$.

Приложения

Электростатическое отображение

Конфигурационные пространства $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})$ могут быть использованы для гомотопической аппроксимации пространства ${\rm {Maps}}^{\ast }(S^{m},S^{m})$ сохраняющих отмеченные точки непрерывных отображений сферы $S^{m}$ в себя, рассматриваемого с компактно-открытой топологией. Интерес к изучению гомотопического типа данного пространства вызван тем, что, согласно двойственности Экманна — Хилтона, оно гомеоморфно следующему итерированному пространству петель:

${\rm {Maps}}^{\ast }(S^{m},S^{m})\cong \Omega ^{m}S^{m}$.

Таким образом, его гомотопические группы изоморфны гомотопическим группам сферы $S^{m}$:

$\pi _{k}({\rm {Maps}}^{\ast }(S^{m},S^{m}))\cong \pi _{k}(\Omega ^{m}S^{m})\cong \pi _{k+m}(S^{m})$.

Классический подход к аппроксимации состоит в следующем.

Линии векторного поля, заданного двумя одинаковыми зарядами одного знака на плоскости.

Сопоставим каждому конечному подмножеству $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\subset \mathbb {R} ^{m}$ из $n$ элементов следующее непрерывное отображение из сферы $S^{m}$ в себя.

Пусть $\mathbb {R} ^{m}\backslash \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\to \mathbb {R} ^{m}$ — векторное поле, представляющее собой электрическое поле, полученное путём размещения положительно заряженной частицы в каждую точку $x_{i}$. Данное векторное поле можно доопределить до непрерывного отображения

$\mathbb {R} ^{m}\cup \{\infty \}\to \mathbb {R} ^{m}\cup \{\infty \}$

одноточечных компактификаций правилами $\infty \mapsto 0$ и $x_{i}\mapsto \infty$, где $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$. Композиция с гомеоморфизмом $\mathbb {R} ^{m}\cup \{\infty \}\cong S^{m}$ задаёт искомое непрерывное отображение из сферы $S^{m}$ в себя. Его степень равна $n$.

Таким образом заданное сопоставление определяет непрерывное отображение

$e\colon \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})\to {\rm {Maps}}_{n}^{\ast }(S^{m},S^{m})$

из конфигурационного пространства неупорядоченных наборов $n$ различных точек в подпространство пространства непрерывных отображений $S^{m}\to S^{m}$, состоящее из отображений степени $n$, переводящих отмеченную точку $\infty$ слева в отмеченную точку $0$ справа. Оно называется электростатическим отображением и задаёт отображение

$\operatorname {UConf} _{<\infty }(\mathbb {R} ^{m})\to {\rm {Maps}}^{\ast }(S^{m},S^{m})$

из конфигурационного пространства конечных подмножеств.

Электростатическое отображение используется для гомотопической аппроксимации пространства ${\rm {Maps}}^{\ast }(S^{m},S^{m})$. Например, в простейшем случае $m=1$ оно является слабой гомотопической эквивалентностью. Точнее, каждая компонента ${\rm {Maps}}_{n}(S^{1},S^{1})$ пространства ${\rm {Maps}}(S^{1},S^{1})$ стягиваема: множество отображений вида $z\mapsto z^{n}$, где $n\in \mathbb {Z}$, является его деформационным ретрактом. Пространство $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{1})$ также стягиваемо и гомеоморфно внутренности симплекса размерности $n$.

В общем случае отображение $e$ индуцирует изоморфизм

$e_{*}\colon H_{p}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{m});\mathbb {Z} )\to H_{p}({\rm {Maps}}_{n}^{\ast }(S^{m},S^{m});\mathbb {Z} )$

групп гомологий в размерности $p\leq n/2$.

В случае $m=2$ данный результат свидетельствует о связи между гомотопическими свойствами конфигурационных пространств $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ и пространства ${\rm {Maps}}(S^{2},S^{2})$. Например, он предоставляет подход к вычислению группы

$\pi _{k}({\rm {Maps}}^{\ast }(S^{2},S^{2}))\cong \pi _{k+2}(S^{2})$.

Поскольку пространство $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ является асферическим, все его гомотопические свойства могут быть описаны в терминах его фундаментальной группы, изоморфной группе кос. Данный факт является косвенным подтверждением известной связи между группами кос и гомотопическими группами двумерной сферы.

Вариации и обобщения

Вышеописанные конструкции допускают следующее обобщение. Пусть $S$ и $M$ — топологические пространства. Пространство конфигураций $S$ в $M$ — это множество $\operatorname {Conf} _{S}(M)$ всех топологических вложений пространства $S$ в пространство $M$. Данное подмножество множества всех непрерывных отображений из $S$ в $M$ рассматривается с топологией, индуцированной с компактно-открытой топологии.

Если $S$ является конечным множеством мощности $n$ с дискретной топологией, то пространство $\operatorname {Conf} _{S}(M)$ гомеоморфно пространству $\operatorname {Conf} _{n}(M)$.

Аналогично можно определить обобщение $\operatorname {UConf} _{S}(M)$ пространства $\operatorname {UConf} _{n}(M)$.

См. также

• Симметрическая степень (топология)
• Конфигурационное пространство (физика)

Литература

• Кассель, К., Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
• Berrick, J., Cohen, F. R., Hanbury, E., Wong, Y. L., Wu, J. Braids: Introductory Lectures on Braids, Configurations and Their Applications (англ.). — World Scientific, 2009. — Vol. 19. — 416 p. — (Lecture Notes Series, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore). — doi:10.1142/7550.
• Ghrist, R. W. Elementary Applied Topology (англ.). — CreateSpace, 2014. — 269 p. — ISBN 978-1502880857.
• Fadell, E. R., Husseini, S. Y. Geometry and Topology of Configuration Spaces (англ.). — Springer, 2001. — 313 p. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-642-56446-8. — doi:10.1007/978-3-642-56446-8.
• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия (рус.). — М.: МЦНМО, 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3.

Ссылки

• Westerland, C. Configuration spaces in topology and geometry (англ.) // Australian Mathematical Society Gazette. — 2011. — Vol. 38, no. 5. — P. 279–283.
• Арнольд, В. И. О некоторых топологических инвариантах алгебраических функций // Труды Московского математического общества. — 1970. — Т. 21. — С. 27–46.
• Арнольд, В. И. Топологические инварианты алгебраических функций. II // Функциональный анализ и его приложения. — 1970. — Т. 4, вып. 2. — С. 1–9.
• Лин, В. Я. Алгебраические функции, конфигурационные пространства, пространства Тейхмюллера и новые голоморфно-комбинаторные инварианты // Функциональный анализ и его приложения. — 2011. — Т. 45, вып. 3. — С. 55–78. — doi:10.4213/faa3040.
• Cohen, F. R., Wu, J. On braid groups and homotopy groups (англ.) // Geometry & Topology Monographs. — 2008. — Vol. 13. — P. 169–193. — doi:10.2140/gtm.2008.13.169. — arXiv:0904.0783.
• Segal, G. B. Configuration-spaces and iterated loop-spaces (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1973. — Vol. 21. — P. 213–221. — doi:10.1007/BF01390197.
• Yury Ustinovskiy. Stiefel-Whitney class of unordered configuration space (англ.). MathOverflow (8 сентября 2015). Дата обращения: 26 марта 2023.