Проект:Математика/Списки/Список математических функций

В математике, многие функции и группы функций настолько важны, что заслужили право на собственные имена. Ниже приведён список статей, которые содержат подробные описания некоторых из таких функций.

Элементарные функции

Элементарные функции — функции, построенные на основе базовых арифметических действий (например: сложение, возведение в степень, логарифм).

Алгебраические функции

Алгебраические функции являются функциями, которые могут быть описаны как многочлен с целыми коэффициентами.

• Многочлен (также известный как «полином»): может быть создан с использованием функций сложения, произведения и возведения в степень.
  • Линейная функция: многочлен первой степени, графиком функции является прямая линия.
  • Квадратичная функция: многочлен второй степени, графиком функции является парабола.
  • Кубическая функция: многочлен третьей степени, графиком функции является кубическая парабола.
  • Биквадратная функция: многочлен четвертой степени (ранее так назывались все подобные многочлены, сейчас только один из видов).
  • Возвратная функция: многочлен четвертой степени, у которого коэффициенты, стоящие на симметричных относительно середины позициях — равны.
  • Триквадратная функция: многочлен шестой степени, по виду подобный биквадратному.
  • Бикубическая функция: вид многочленов шестой степени.
• Рациональная функция: дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.
• Арифметический корень
  • Квадратный корень
  • Кубический корень

Трансцендентные функции

Трансцендентные функции: аналитические функции, не являющиеся алгебраическими.

• Показательная функция: особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).
• Гиперболические функции: выражаются через экспоненту и тесно связаны с тригонометрическими функциями.
• Логарифмы: инверсия показательной функции, широко используются для упрощения трудоёмких вычислений в практике экспериментов.
  • Натуральный логарифм: логарифм по основанию e.
  • Десятичный логарифм: логарифм по основанию 10.
  • Двоичный логарифм: логарифм по основанию 2.
• Периодические функции: функции, повторяющие свои значения через какой-то регулярный интервал.
  • Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и другие функции, использующиеся в геометрии.
  • Функция Гудермана: связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.
  • Пилообразная волна
  • Меандр
  • Треугольная волна

Специальные функции

Базовые специальные функции

• Индикаторная функция: также известна как характеристическая функция или индикатор.
• Кусочно-заданные функции
  • Функция пол и аналогичная функция потолок — определяют правило округления до целого в меньшую и большую сторону соответственно.
  • Функция Хевисайда: равна нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных.
  • Сигнум
• Абсолютная величина: также известна как модуль.

Функции теории чисел

• Функция делителей, также известная как сигма-функция: сумма степеней делителей целого числа.
• Функция Эйлера: количество натуральных чисел, меньших данного и взаимно простых (не имеющих общих делителей кроме 1) с ним.
• Пи-функция: равна числу простых чисел, меньше либо равных данному действительному числу.

Первообразные элементарных функций

• Интегральный логарифм: специальная функция, определяемая интегралом. Играет важную роль в теореме о распределении простых чисел.
• Интегральная экспонента
• Интегральные тригонометрические функции
  • Интегральный синус
  • Интегральный косинус
• Функция ошибок, также известная как функция Лапласа
  • Интегралы Френеля: используются в оптике
  • Функция Доусона

Гамма-функции

• Гамма-функция: расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел.
• G-функция Барнса: расширяет понятие суперфакториала на поле комплексных чисел.
• Бета-функция, также известная как бета-функция Эйлера или интеграл Эйлера I рода.
• Дигамма-функция, также известная как пси-функция: логарифмическая производная гамма-функции.
• Полигамма-функция
• Неполная бета-функция: обобщение бета-функции.
• Неполная гамма-функция
• K-функция: расширяет понятие гиперфакториала на поле комплексных чисел.
• Распределение Стьюдента: однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Эллиптические функции

• Эллиптический интеграл: появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса.
  • Дзета-функция Якоби
  • Лямбда-функция Хеймана
• Эллиптическая функция: периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости.
  • Эллиптические функции Вейерштрасса, также известные как $\wp$-функции Вейерштрасса.
  • Эллиптические функции Якоби: имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника).
• Тэта-функции, также известные как θ-функции: специальные целые функции, отношения которых представляют эллиптические функции.
• Модулярная функция: голоморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости.
  • j-инвариант: основной модулярный инвариант.
  • Ряды Эйзенштейна: специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда.

Функции Бесселя

• Функция Эйри: описывает вид звезды (точечного источника света) в телескопе. Также является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.
• Функции Бесселя: применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах, а также в решении других задач, например, при обработке сигналов.
  • Функции Инфельда: модифицированные функции Бесселя первого рода.
  • Функция Макдональда: модифицированная функция Бесселя второго рода.
• Функции Скорера
• Кардинальный синус
• Многочлены Эрмита: возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.
• Многочлены Чебышёва: играют важную роль в теории приближений.
• Функции Кельвина

Дзета-функция Римана и связанные с нею

• Дзета-функция Римана: специальный случай ряда Дирихле.
• Дзета-функция Гурвица: обобщение дзета-функции Римана.
• Полилогарифм: определяется как бесконечный степенной ряд.
  • Дилогарифм: частный случай полилогарифма.
  • Интеграл Ферми — Дирака: альтернативное определение для полилогарифма.
• Дзета-функция Лерха
• Хи-функция Лежандра: является частным случаем дзета-функции Лерха.

Гипергеометрические функции

• Гипергеометрическая функция: многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.
• Функция Лежандра

Повторяющиеся экспоненциальные функции

• Гипероператор: обобщение арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень.
• Тетрация: повторяющееся возведение в степень.
• Пентация: повторяющаяся тетрация.
• Суперлогарифм и Суперкорень: обратные функции тетрации.
• W-функция Ламберта: не может быть выражена в элементарных функциях. Применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.

Другие специальные функции

• Лямбда-функция
• Функция Миттаг-Леффлера: обобщение показательной функции.
• Функции параболического цилиндра

Прочие функции

• Функция Аккермана: простой пример вычислимой функции в теории алгоритмов, которая не является примитивно рекурсивной.
• Дельта-функция, также известная как δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция: позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т.п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.
• Функция Дирихле: применяется в теории вероятностей и математической статистике.
• Символ Кронекера, также известный как дельта Кронекера: индикатор равенства элементов.
• Функция Минковского, также известная как функция «вопросительный знак» Минковского: монотонная сингулярная функция.
• Функция Вейерштрасса: непрерывная функция, нигде не имеющая производной.
• R-функция: числовая функция действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками её аргументов
• S-функция: гладкая дифференцируемая функция, которые позволяет строить поверхности типа поверхностей Ляпунова