Теорема о примитивном элементе

Теорема о примитивном элементе — это результат в теории полей, описывающий условия, при которых конечное расширение поля является простым. Более подробно, теорема о примитивном элементе характеризует расширения конечной степени $E\supseteq F$ , такие что существует примитивный элемент $\alpha \in E$ с $E=F[\alpha ]=F(\alpha )$ .

Терминология

Пусть $E\supseteq F$ — произвольное расширение поля. Элемент $\alpha \in E$ называется примитивным элементом для расширения $E\supseteq F$ , если

E=F(\alpha ).

Расширения, для которых существует хотя бы один примитивный элемент, называются простыми расширениями. Любой элемент $x\in E$ простого расширения можно записать в виде

x={\frac {f_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +f_{1}{\alpha }+f_{0}}{g_{k-1}{\alpha }^{k-1}+\cdots +g_{1}{\alpha }+g_{0}}}

где

f_{i},g_{i}\in F,\alpha \in E

Если же, кроме того $E\supseteq F$ сепарабельно и имеет степень n, существует $\alpha \in E$ , такое что множество

\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{n-1}\}

образует базис E как векторного пространства над F.

Формулировка

Следующая формулировка теоремы принадлежит Эмилю Артину:

Теорема. Пусть $E\supseteq F$ — конечное расширение поля. Тогда $E=F(\alpha )$ для некоторого $\alpha \in E$ тогда и только тогда, когда число промежуточных полей K вида $E\supseteq K\supseteq F$ конечно.

Из этого утверждения следует более традиционная формулировка теоремы о примитивном элементе:

Следствие. Пусть $E\supseteq F$ — конечное сепарабельное расширение. Тогда $E=F(\alpha )$ для некоторого $\alpha \in E$ .

Это следствие можно немедленно применить к произвольным алгебраическим числовым полям, так как поле $\mathbb {Q}$ имеет характеристику 0, следовательно, любое его расширение сепарабельно.

Пример

Далеко не очевидно, что если добавить в $\mathbb {Q}$ корни многочленов $x^{2}-2$ и $x^{2}-3$ , получив поле $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ степени 4 над $\mathbb {Q}$ , то существует элемент $\gamma \in \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ , через степени которого выражаются как ${\sqrt {2}}$ , так и ${\sqrt {3}}$ . Оказывается, однако, что этому условию удовлетворяет

\gamma ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}

Степени $\gamma ,\gamma ^{2},\gamma ^{3}$ выражаются как сумма ${\sqrt {2}},{\sqrt {3}}$ и ${\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}$ с целыми коэффициентами. Записав соответствующую систему линейных уравнений, можно выразить из неё ${\sqrt {2}}$ и ${\sqrt {3}}$ (например, ${\sqrt {2}}=\scriptstyle {\frac {\gamma ^{3}-9\gamma }{2}}$ ), откуда следует, что $\gamma$ является примитивным элементом.