Факторкольцо

Факторкольцо́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.

Определение

Пусть $I$ — двусторонний идеал кольца $R$. Определим на $R$ отношение эквивалентности:

$a\sim b$ тогда и только тогда, когда $a-b\in I.$

Класс эквивалентности элемента $a$ обозначается как $[a]$ или $a+I$ и называется классом смежности по модулю идеала. Факторкольцо $R/I$ — это множество классов смежности элементов $R$ по модулю $I$, на котором следующим образом определены операции сложения и умножения:

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$

$(a+I)\cdot (b+I)=ab+I$

Легко проверить, что эти операции определены корректно, то есть не зависят от выбора конкретного представителя $a$ класса смежности $a+I$. Например, корректность умножения проверяется следующим образом: пусть $a_{2}=a+i_{1},b_{2}=b+i_{2},\;i_{1,2}\in I$. Тогда $a_{2}b_{2}=(a+i_{1})(b+i_{2})=ab+i_{1}b+ai_{2}+i_{1}i_{2}\in ab+I$. В последнем шаге доказательства использовалась замкнутость идеала относительно умножения на элемент кольца (как слева, так и справа) и замкнутость относительно сложения.

Связанные теоремы

• Теорема о гомоморфизме колец:

Если $f$ — сюръективный гомоморфизм кольца $\mathrm {K}$ на кольцо $\mathrm {R}$, то ядро $\ker \,f$ является идеалом кольца $\mathrm {K}$, причём кольцо $\mathrm {R}$ изоморфно факторкольцу $\mathrm {K} /\ker \,f$.

Обратно: если $\mathrm {J}$ — идеал кольца $\mathrm {K}$, то отображение $f:\mathrm {K} \to \mathrm {K/J}$, определяемое условием $f(a)=a+\mathrm {J} ,\forall a\in \mathrm {K}$ является гомоморфизмом кольца $\mathrm {J}$ на $\mathrm {K/J}$ с ядром $\mathrm {J}$.

Теорема аналогична теореме о гомоморфизме групп.

• Идеал $\mathrm {J}$ кольца $\mathrm {K}$ является простым (максимальным) в том и только в том случае, когда факторкольцо $\mathrm {K/J}$ является целостным кольцом (полем).
• Согласно китайской теореме об остатках, если $I_{1},I_{2},\ldots I_{n}$ — попарно взаимно простые идеалы (то есть сумма любых двух из них равна всему кольцу), то факторкольцо по их произведению (или, эквивалентно, по их пересечению) изоморфно произведению факторов вида $R/(I_{i})$.

Примеры

• Пусть $\mathbb {Z}$ — кольцо целых чисел, $n\mathbb {Z}$ — идеал, состоящий из чисел, кратных $n$. Тогда $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ — конечное кольцо вычетов по модулю $n$. Такое кольцо также обозначается $\mathbb {Z} _{n}$ или $\mathbb {Z} /(n)$.
• Рассмотрим кольцо многочленов с действительными коэффициентами $\mathbb {R} [x]$ и идеал, состоящий из многочленов, кратных $x^{2}+1$. Факторкольцо $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ изоморфно полю комплексных чисел: класс $[x]$ соответствует мнимой единице. Действительно, в факторкольце элементы $x^{2}+1$ и $0$ эквивалентны, то есть $x^{2}=-1$.
• Обобщая предыдущий пример, факторкольца часто используют для построения расширений полей. Пусть $K$ — некоторое поле и $f(x)$ — неприводимый многочлен в $K[x]$. Тогда $K[x]/(f(x))$ является полем, и это поле содержит по крайней мере один корень многочлена $f(x)$ — класс смежности элемента $x$.
• Важный пример использования предыдущей конструкции — построение конечных полей. Рассмотрим конечное поле $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ из двух элементов (которое в этом контексте обычно обозначается как $\mathbb {F} _{2}$). Многочлен $x^{2}+x+1$ неприводим над этим полем (так как не имеет корней), следовательно, факторкольцо $\mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2}+x+1)$ является полем. Это поле состоит из четырёх элементов: 0, 1, x и x+1. Все конечные поля можно построить аналогичным образом.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998. — 430 с. — ISBN 5-03-000065-8.