Фундированное множество

Фундированное множество — частично упорядоченное множество $\langle M,R\rangle$ , у которого любое непустое подмножество $S\subseteq M$ имеет минимальный элемент. Под минимальным элементом в $S$ здесь понимается $m\in S$ , такой, что для любого $x\in S$ из $x\,R\,m$ следует $x=m$ ^[1]. В математике фундированное множество также известно как полная полурешётка.

(Некоторые авторы^{[какие?]} дополнительно требуют, чтобы отношение R было связным.)

Эквивалентное определение при условии использования аксиомы выбора состоит в том, что множество M с отношением R является фундированным тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей, то есть не существует бесконечной последовательности x₀, x₁, x₂, … элементов из M такой, что x_n+1 R x_n для любого индекса n.

Примеры

Примеры фундированных множеств без полного порядка.

Множество целых чисел с частичным порядком a < b тогда и только тогда, когда a делит b и a ≠ b
Множество всех конечных строк на конечном алфавите с частичным порядком s < t тогда и только тогда, когда s строго включается как подстрока в t

Принцип трансфинитной индукции

Пусть $\langle M,R\rangle$ — фундированное множество и $S\subseteq M$ . Тогда если для любого $m\in M$ из включения $\{s\in M:s\,R\,m,s\not =m\}\subseteq S$ следует $m\in S$ , то $M$ совпадает с $S$ ^[2].

Нётерова индукция

Нётерова индукция — это обобщение трансфинитной индукции, которое заключается в следующем.

Пусть $\langle X,R\rangle$ — фундированное множество, $P(x)$ — некоторое утверждение об элементах множества $X$ , и пусть мы хотим показать, что $P(x)$ верно для всех $x\in X$ . Для этого достаточно показать, что если $x\in X$ , и $P(y)$ верно для всех таких $y\in X$ , что $y\,R\,x$ , то $P(x)$ также верно. Другими словами $\forall x\in X\,((\forall y\in X\,(y\,R\,x\to P(y)))\to P(x))\to \forall x\in X\,(P(x)).$